2027版53B版新高考版数学总复习分层训练3.3　导数的综合应用

专题三导数及其应用3.3导数的综合应用目录考点1利用导数研究不等式考点2利用导数研究函数零点五年高考·考点练三年模拟·限时练基础强化练综合提升练考点1利用导数研究不等式五年高考·考点练1.★★★(2023新课标Ⅰ,19,12分)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当a>0时,f(x)>2lna+

.解析

(1)由已知得函数f(x)的定义域为R,f'(x)=aex-1.①当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在R上单调递减;②当a>0时,令f'(x)=0,则x=ln

,当x<ln

时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>ln

时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上所述,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;当a>0时,f(x)在

上单调递减,在

上单调递增.(2)证明:由(1)知,当a>0时,f(x)在

上单调递减,在

上单调递增,则f(x)min=f

=a

-ln

=1+a2+lna.要证明f(x)>2lna+

,只需证明1+a2+lna>2lna+

,即证a2-lna-

>0.令g(x)=x2-lnx-

(x>0),则g'(x)=2x-

=

.当0<x<

时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>

时,g'(x)>0,g(x)单调递增,∴g(x)min=g

=

-ln

-

=-ln

=ln

>0,∴g(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即a2-lna-

>0,∴f(x)>2lna+

.2.★★★★(2024新课标Ⅰ,18,17分)已知函数f(x)=ln

+ax+b(x-1)3.(1)若b=0,且f'(x)≥0,求a的最小值;(2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形;(3)若f(x)>-2当且仅当1<x<2,求b的取值范围.解析

(1)f(x)的定义域为(0,2).当b=0时,f(x)=ln

+ax,所以f'(x)=

'+a=

+a,因为f'(x)≥0,所以a≥

=

=

,依题意得a≥

,所以当x=1时,a取到最小值-2.(2)证明:因为f(x)=ln

+ax+b(x-1)3,所以f(2-x)=ln

+a(2-x)+b(1-x)3,所以f(2-x)+f(x)=2a,所以曲线y=f(x)关于(1,a)中心对称,即曲线y=f(x)是中心对称图形.(3)由(2)知曲线y=f(x)关于(1,a)中心对称,且f(x)在(0,2)内连续,故f(1)=a=-2,即f(x)=ln

-2x+b(x-1)3,x∈(1,2),f'(x)=

(x-1)2,易知y=

∈(2,+∞),所以当b≥-

时,f'(x)>0在(1,2)上恒成立,f(x)单调递增,所以f(x)>f(1)=-2成立.当b<-

时,存在x0∈(1,2),使得

+3b=0,即3b=

.在(1,x0)上,f'(x)<0,f(x)单调递减,又f(1)=-2,所以在(1,x0)上有f(x)<-2,不符合题意.综上,可得b≥-

.3.★★★★(2022新高考Ⅱ,22,12分)已知函数f(x)=xeax-ex.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x>0时,f(x)<-1,求a的取值范围;(3)设n∈N*,证明:

+

+…+

>ln(n+1).解析

(1)当a=1时,f(x)=xex-ex,则f'(x)=xex,当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.(2)解法一:不等式f(x)<-1等价于xeax-ex+1<0,令g(x)=xeax-ex+1,x>0,则g'(x)=(ax+1)eax-ex,且g'(x)=eax(ax+1-ex-ax)≤eax[ax+1-(x-ax+1)]=(2a-1)xeax,①当a≤

时,g'(x)≤(2a-1)xeax≤0,g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)<g(0)=0,满足题意;②当a>

时,令h(x)=g'(x)=(ax+1)eax-ex,则h'(x)=(a2x+2a)eax-ex,故h'(0)=2a-1>0,所以存在δ>0,使得当x∈(0,δ)时,h'(x)>0,所以h(x)在(0,δ)上单调递增,故当x∈(0,δ)时,h(x)>h(0)=0,所以g(x)在(0,δ)上单调递增,故g(x)>g(0)=0,不满足题意.综上可知,a的取值范围是

.解法二:函数f(x)的定义域为R,f'(x)=(1+ax)eax-ex.(导函数中含有参数,要根据参数对导函数取值符号的影响分段讨论)对于x∈(0,+∞),当a≥1时,f'(x)=(1+ax)eax-ex>eax-ex≥ex-ex=0,∴f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单

调递增.∵f(0)=-1,∴f(x)>-1,不满足题意.当a≤0时,f'(x)≤eax-ex≤1-ex<0且等号不恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.∵f(0)=-1,∴f(x)<-1,满足题意.当0<a≤

时,f'(x)≤

-ex=

.(当导函数的正负不能直接判断时,可考虑构造新函数,通过研究新函数的单调性判断)令g(x)=1+

-

,则g'(x)=

-

<0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递减,∴g(x)<g(0)=0,∴f'(x)<

·g(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.∵f(0)=-1,∴f(x)<-1,满足题意.当

<a<1时,f'(x)=eax[1+ax-e(1-a)x].令h(x)=1+ax-e(1-a)x,则h'(x)=a+(a-1)e(1-a)x.∵h'(x)为减函数,又h'(0)=2a-1>0,x→+∞,h'(x)<0,∴∃x0∈(0,+∞),使得h'(x0)=0.(当导函数的零点存在,但不易求出时,可引入虚拟零点)∴当x∈(0,x0)时,h'(x)>0,h(x)在(0,x0)上单调递增,h(x)>h(0)=0,∴当x∈(0,x0)时,f'(x)=eax·h(x)>0,f(x)在(0,x0)上单调递增.∵f(0)=-1,∴f(x)>-1,不满足题意.综上,a的取值范围是

.(3)证法一:构造函数h(x)=x-

-2lnx(x>1),则h'(x)=1+

-

=

=

,易知h'(x)>0,∴h(x)在(1,+∞)上单调递增,∴h(x)>h(1)=0,∴x-

>2lnx,令x=

,则有

-

>2ln

,∴

>ln

,∴

+

+…+

>ln

+ln

+…+ln

=ln(n+1).原式得证.证法二:由(2)可知,当a=

时,f(x)=x

-ex<-1(x>0),令x=ln

(n∈N*),得ln

·

-

<-1,整理得

ln

-

<0,∴

>ln

,∴

>ln

,∴

>

ln

=ln

=ln(n+1),即

+

+…+

>ln(n+1).4.★★★★★(2025全国一卷,19,17分)(1)求函数f(x)=5cosx-cos5x在区间

的最大值;(2)给定θ∈(0,π)和a∈R,证明:存在y∈[a-θ,a+θ]使得cosy≤cosθ;(3)设b∈R,若存在φ∈R使得5cosx-cos(5x+φ)≤b对x∈R恒成立,求b的最小值.解析

(1)∵f'(x)=5(sin5x-sinx)=5[sin(3x+2x)-sin(3x-2x)]=10cos3x·sin2x,令f'(x)=0,由x∈

,解得x=0或

.结合单调性可知,当x∈

时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈

时,f'(x)<0,f(x)单调递减.故f(x)max=f

=3

.(2)证明:假设不存在y∈[a-θ,a+θ],使得cosy≤cosθ,则对任意y∈[a-θ,a+θ]都有cosy>cosθ.即y∈(2kπ-θ,2kπ+θ)(k∈Z).因此[a-θ,a+θ]⊆(2kπ-θ,2kπ+θ)(k∈Z),∴

k∈Z,因此a<2kπ且a>2kπ,矛盾.所以存在y∈[a-θ,a+θ],使得cosy≤cosθ.(3)由(1)知当x∈

时,f(x)≤3

,当x∈

时,f(x)<5cos

-(-1)<3

,又f(x)是周期为2π的偶函数,所以f(x)≤3

对x∈R恒成立,所以当b≥3

时,存在φ=0使得5cosx-cos(5x+φ)≤b对x∈R恒成立,当b<3

时,令θ=

,由(2)知对任意φ存在y∈

使得cosy≤cos

π=-

,令x=

,则x∈

,故5cosx-cos(5x+φ)=5cosx-cosy≥5×

-

=3

>b,因此b<3

时,均不符合题意.综上,b的最小值为3

.5.★★★★★(2026全国Ⅱ卷,19,17分)已知函数f(x)=xex+ax+b,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处

的切线方程为y=-2x+1.(1)求a,b;(2)当x>0时,f(x+m)-f(x)>m,求m的取值范围;(3)当x>0时,f(k+x)+f(k-x)>2f(k),求k的最小值.解析

(1)因为f(x)=xex+ax+b,所以f'(x)=ex+xex+a=(x+1)ex+a.

(1分)因为点(0,f(0))处的切线为y=-2x+1,所以切点坐标为(0,b),则b=-2×0+1=1.

(2分)因为切线斜率f'(0)=-2,则(0+1)e0+a=-2,解得a=-3.故a=-3,b=1.

(3分)(2)由(1)知f(x)=xex-3x+1.当x>0时,f(x+m)-f(x)>m恒成立,即f(x+m)-(x+m)>f(x)-x恒成立.

(4分)令g(x)=f(x)-x=xex-4x+1,则题意等价于对任意x>0,g(x+m)-g(x)>0.

(5分)令H(x)=g(x+m)-g(x).①若m≤0,当m=0时,H(x)=0,不满足H(x)>0;当m<0时,H(x)=(x+m)ex+m-4(x+m)+1-(xex-4x+1)=ex[x(em-1)+mem]-4m.因为em-1<0,m<0,取x0=

+1,则x0>0,此时x0(em-1)+mem=4m+em-1.因为em-1<0,故x0(em-1)+mem<4m<0.又x0>0,则

>1,所以

[x0(em-1)+mem]<x0(em-1)+mem<4m,则H(x0)<0,与对任意x>0有H(x)>0矛盾.

(7分)②若m>0,g'(x)=(x+1)ex-4,令h(x)=g'(x),则h'(x)=(x+2)ex.当x≥0时,h'(x)>0,故h(x)在[0,+∞)上单调递增.因为m>0,对任意x>0,有x+m>x>0.所以h(x+m)>h(x),即g'(x+m)-g'(x)>0,则H'(x)=g'(x+m)-g'(x)>0.故H(x)在[0,+∞)上单调递增.

(8分)要使对任意x>0有H(x)>0恒成立,只需H(0)≥0即可.因为H(0)=g(m)-g(0)=(mem-4m+1)-1=m(em-4),又m(em-4)≥0,m≥0,所以em-4≥0,解得m≥ln4.综上所述,m的取值范围是[ln4,+∞).

(9分)(3)当x>0时,f(x+k)+f(k-x)>2f(k)恒成立,即(x+k)ex+k-3(x+k)+1+(k-x)ek-x-3(k-x)+1>2(kek-3k+1),整理得(x+k)ex+k+(k-x)ek-x>2kek.

(10分)因为ek>0,所以(x+k)ex+k+(k-x)ek-x-2kek>0对x>0恒成立.令m(x)=(x+k)ex+k+(k-x)ek-x-2kek(x≥0),m(0)=0,m'(x)=ex+(x+k)ex-e-x-(k-x)e-x=(x+k+1)ex+(x-k-1)e-x,m(0)=k+1+(-k-1)=0.令n(x)=m'(x),n'(x)=ex+(x+k+1)ex+e-x-(x-k-1)e-x=(x+k+2)ex-(x-k-2)e-x,整理得n(x)=x(ex-e-x)+(k+2)(ex+e-x).(11分)①当k≥-2时,因为x>0,所以ex>e-x>0,则ex-e-x>0,ex+e-x>0.所以x(ex-e-x)>0.又k+2≥0,所以(k+2)(ex+e-x)≥0,则n'(x)>0恒成立,即n(x)在(0,+∞)上单调递增,n(x)>n(0)=0.所以m'(x)>0恒成立,故m(x)在(0,+∞)上单调递增,m(x)>m(0)=0,满足题意.

(13分)②当k<-2时,令k=-2-c(c>0),n'(x)=x(ex-e-x)-c(ex+e-x).先证明当x∈(0,ln2)时,ex-e-x<3x.令u(x)=3x-ex+e-x,u'(x)=3-ex-e-x.因为x∈(0,ln2),所以ex∈(1,2),e-x∈

,则ex+e-x<2+1=3,u'(x)>0,即u(x)在(0,ln2)上单调递增,u(x)>u(0)=0,即ex-e-x<3x成立.

(14分)记x=min{a,b}为取a,b中的较小值,取x0=min

,x0>0.对于任意x∈(0,x0),有x<ln2,ex+e-x≥2

=2(当且仅当x=0时取等),所以n'(x)<x(3x)-2c=3x2-2c.

(15分)因为x<x0≤

,所以3x2-2c<

-2c=

c-2c=-

c<0,则在区间(0,x0)上,n'(x)<0恒成立,即n(x)在(0,x0)上单调递减,n(x)<n(0)=0.所以m'(x)<0在(0,x0)上成立,则m(x)在(0,x0)上单调递减,m(x)<m(0)=0,与对任意x>0有m(x)>0恒成立矛盾.

(16分)综上所述,k≥-2,故k的最小值为-2.

(17分)考点2利用导数研究函数零点1.★★★(2022全国乙文,20,12分)已知函数f(x)=ax-

-(a+1)lnx.(1)当a=0时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.解析

(1)当a=0时,f(x)=-

-lnx(x>0),∴f'(x)=

-

(x>0),令f'(x)=0,得x=1,x∈(0,1)时,f'(x)>0,x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.∴f(x)max=f(1)=-1.(2)f'(x)=a+

-

=

.(i)当a≤0时,ax-1≤0恒成立,∴0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴f(x)max=f(1)=a-1<0.此时f(x)无零点,不合题意.(ii)当a>0时,令f'(x)=0,解得x=1或x=

,①当0<a<1时,1<

,∴1<x<

时,f'(x)<0,f(x)单调递减,0<x<1或x>

时,f'(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)在(0,1),

上单调递增,在

上单调递减,f(x)的极大值为f(1)=a-1<0,x→+∞时,f(x)>0,∴f(x)恰有1个零点.②当a=1时,1=

,f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(1)=0,符合题意.③当a>1时,

<1,f(x)在

,(1,+∞)上单调递增,在

上单调递减,f(x)的极小值为f(1)=a-1>0,x→0时,f(x)→-∞,∴f(x)恰有1个零点.综上所述,a>0.2.★★★★(2022全国乙理,21,12分)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.解析

(1)当a=1时,f(x)=ln(1+x)+xe-x,其定义域为(-1,+∞),f'(x)=

+(1-x)e-x,又f(0)=0,f'(0)=2,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.(2)f(x)=ln(1+x)+axe-x有零点,即方程ln(x+1)=-axe-x有根,设g(x)=ln(x+1),h(x)=-axe-x,因为f(x)

在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,所以g(x)和h(x)的图象在(-1,0),(0,+∞)上各恰有一

个交点.易知g'(x)=

,h'(x)=-a(1-x)e-x,g(0)=h(0)=0.当x∈(-1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.①若a=0,显然不满足.②若a>0,则当x∈(-1,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,此

时g(x)和h(x)在(-1,0)上无交点.③若a<0,则当x∈(-1,1)时,h'(x)>0,h(x)在(-1,1)上单调递增,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)在

(1,+∞)上单调递减.(i)当x→+∞时,h(x)→0,g(x)→+∞,且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(0,+∞)上有

一个交点,需g'(0)<h'(0),解得a<-1;(ii)当x=-1时,h(-1)=ae,当x→-1时,g(x)→-∞,且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(-1,0)上有一个交点,也需要g'(0)<h'(0),解得a<-1.综上所述,a的取值范围为(-∞,-1).3.★★★★(2021新高考Ⅱ,22,12分)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)从下面两个条件中选一个,证明:f(x)有一个零点.①

<a≤

,b>2a;②0<a<

,b≤2a.解析

(1)∵f(x)=(x-1)ex-ax2+b,∴f'(x)=xex-2ax=x(ex-2a).①当a≤0时,ex-2a>0对任意x∈R恒成立,当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.因此y=f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.②当a>0时,令ex-2a=0⇒x=ln(2a).(i)当0<a<

时,ln(2a)<0.y=f'(x)的大致图象如图1所示.

图1

图2因此当x∈(-∞,ln(2a))∪(0,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(ln(2a),0)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,ln(2a))和(0,+∞)上单调递增,在(ln(2a),0)上单调递减.(ii)当a=

时,ln(2a)=0,此时f'(x)≥0对任意x∈R恒成立,故f(x)在R上单调递增.(iii)当a>

时,ln(2a)>0,y=f'(x)的大致图象如图2所示.因此,当x∈(-∞,0)∪(ln(2a),+∞)时,f'(x)>0,当x∈(0,ln(2a))时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)和(ln(2a),+∞)上单调递增,在(0,ln(2a))上单调递减.(2)选①.证明:由(1)知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,ln(2a))上单调递减,在(ln(2a),+∞)上单调递

增,又f(0)=b-1>0,f

=

<0,所以f(x)在(-∞,0]上有唯一零点.当x∈(0,+∞)时,f(x)≥f(ln(2a))=[ln(2a)-1]·2a-aln2(2a)+b=aln(2a)[2-ln(2a)]+b-2a>aln(2a)·[2-ln(2a)].因为

<a≤

,所以0<ln(2a)≤2,所以f(x)>0对任意x>0恒成立.综上,f(x)在R上有一个零点.选②.证明:由(1)知f(x)在(-∞,ln(2a))上单调递增,在(ln(2a),0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,f(0)=b-1<0,当x→+∞时,f(x)→+∞,所以一定存在x0∈(0,+∞),使得f(x0)=0.结合单调性知f(x)在[0,+∞)上有唯一零点.当x∈(-∞,0)时,f(x)≤f(ln(2a))=aln(2a)·[2-ln(2a)]+b-2a<0,即f(x)<0对任意x<0恒成立.综上,f(x)在R上有一个零点.三年模拟·限时练基础强化练

限时60分钟1.(2026安徽皖北协作区联考)已知函数f(x)=

-x3-2,若函数g(x)=f

+f(2ax-3)恰有3个零点,则a的取值范围是

()A.

B.

C.

D.

A

解析因为f(-x)+f(x)=

-(-x)3-2+

-x3-2=

-4=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以g(x)=0,即f

=-f(2ax-3)=f(3-2ax),易知f(x)单调递减,则

+3=3-2ax,即

=-2a,所以g(x)恰有3个零点等价于函数φ(x)=

的图象与直线y=-2a恰有3个不同的交点.φ'(x)=

,令φ'(x)<0,得x∈(0,2),令φ'(x)>0,得x∈(-∞,0)∪(2,+∞),所以φ(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,当x→0时,φ(x)→+∞,当x→+∞时,φ(x)→+∞,当x→-∞时,φ(x)→0,作出φ(x)的大致图象,如图所示.

由图可知-2a>

,即a<-

,所以a的取值范围是

.2.(2026黑龙江省实验中学模拟)已知函数f(x)=a(x+1)2+x+lnx(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当-

≤a<0时,求证:f(x)≤2a-

-1.解析

(1)函数f(x)=a(x+1)2+x+lnx(a∈R)的定义域为(0,+∞),f'(x)=

,当a≥0时,f'(x)>0;当a<0时,x∈

时,f'(x)>0,x∈

时,f'(x)<0.综上,当a≥0时,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;当a<0时,函数f(x)在区间

上单调递增,在区间

上单调递减.(2)证明:由(1)可知,当-

≤a<0时,函数f(x)在区间

上单调递增,在区间

上单调递减.所以f(x)max=

-

+ln

=a-1-

-ln(-2a),要证f(x)≤2a-

-1,只需证a-1-

-ln(-2a)≤2a-

-1,即需证a-

+ln(-2a)≥0,-

≤a<0恒成立,令g(a)=a-

+ln(-2a),-

≤a<0,则g'(a)=1+

+

=

≥0,所以函数g(a)在区间

上单调递增,故g(a)≥g

=0,所以a-

+ln(-2a)≥0,-

≤a<0恒成立,所以当-

≤a<0时,f(x)≤2a-

-1.3.(2026山东烟台一模)已知函数f(x)=

ln(1+x)-ax(a∈R),f'(x)为f(x)的导函数,且f'(0)=0.(1)求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)证明:当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.解析

(1)f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=

ln(x+1)+

·

-a.因为f'(0)=1-a=0,所以a=1.所以f(x)=

ln(1+x)-x,f(1)=

ln2-1,f'(1)=

ln2-

,所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-

=

(x-1),即(2ln2-1)x-4y+4ln2-3=0.(2)证明:设g(x)=f'(x)=

ln(x+1)-

,则g'(x)=

-

=

-

=

,当-1<x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,即f'(x)≥0,所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增,又f(0)=0,故当-1<x

<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.4.(2026江苏苏北七市一模)已知函数f(x)=alnx+x-2a(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若曲线y=f(x)经过点A(1,-1),且在A处的切线为l.证明:除切点A外,曲线y=f(x)在直线l的

下方.解析

(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=

+1=

.①当a≥0时,f'(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增.②当a<0时,令f'(x)>0,得x>-a;令f'(x)<0,得0<x<-a;所以f(x)在(-a,+∞)上单调递增,在(0,-a)上单调递减.(2)证明:因为曲线y=f(x)经过点A(1,-1),所以1-2a=-1,解得a=1.所以f(x)=lnx+x-2,f'(x)=

+1.因为f'(1)=2,所以l的方程为y=2x-3.下证:lnx+x-2<2x-3(x>0,x≠1),只需证:lnx-x+1<0(x>0,x≠1).设g(x)=lnx-x+1(x>0,x≠1),则g'(x)=

,令g'(x)>0,得0<x<1;令g'(x)<0,得x>1,所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以g(x)<g(1)=0.所以当x>0,x≠1时,lnx+x-2<2x-3,所以原命题得证.5.(2026广东深圳一模)已知函数f(x)=lnx-a

+4.(1)当a=

时,求f(x)的单调区间.(2)若f(x)有两个零点.(i)求a的取值范围;(ii)证明:f(x)<

.解析

(1)f'(x)=

-

=

(x>0),令f'(x)=0,得x=2,令f'(x)>0,得x∈(0,2),f(x)在(0,2)上单调递增;令f'(x)<0,得x∈(2,+∞),f(x)在(2,+∞)上单调递减,所以f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+∞).(2)(i)f'(x)=

-

=

=

(x>0),若a≤0,则2

-ax>0,f'(x)>0,于是f(x)在(0,+∞)上单调递增,至多与x轴只有一个交点,矛盾,所以a>0,令f'(x)=0,则等价于a2x2-4x-4=0,易得Δ=16+16a2>0,因为x>0,则x=

,令x0=

,则f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,则f(x)max=f(x0)=lnx0-a

+4,因为a2

-4x0-4=0,所以a2=

,所以f(x)max=lnx0-

+2,显然f(x0)≤0不符合题意,故f(x0)>0,即lnx0-

+2>0,令h(x)=lnx-

+2(x>0),则h'(x)=

+

>0,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,且h(1)=0,由于h(x0)=lnx0-

+2>0,所以x0>1,由于

=

,令t=

,t∈(0,1),y=t2+t在(0,1)上单调递增,则a∈(0,2

),由于x0=

>

>

>

,f

=-a

<0,所以由零点存在定理,知存在x1∈

,使得f(x1)=0,当x>0时,易证lnx≤x-1,则ln

≤

-1,即lnx≤4

-4,由于f(x)=lnx-a

+4<lnx-a

+4≤4

-a

=

(4-a

),取x2∈(x0,+∞),且x2>

,则f(x2)<0,则由零点存在定理,知存在x3∈(x0,x2),使得f(x3)=0,所以当a∈(0,2

)时,f(x)在(0,+∞)上有两个零点.(ii)证明:由(i)可知,f(x)max=lnx0-

+2,其中x0=

,则x0=

=

,下证:lnx0-

+2<x0(x0>1),即证lnx0-

-x0+2<0,设m(x)=lnx-

-x+2(x>1),m'(x)=

+

-1=

=

,令m'(x)=0,得x=2,于是m(x)在(1,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,则m(x)≤m(2)=ln2-1<0,即证.综合提升练

限时30分钟1.(2026湖南长沙雅礼中学月考)已知函数f(x)=alnx-2x+2a(a∈R).(1)若f(x)恰有两个零点,求实数a的取值范围;(2)当a>

时,证明:a2ex>xf(x)+2x2-2ax.解析

(1)由题得f'(x)=

-2,x∈(0,+∞),当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(x)最多有一个零点,不符合题意;当a>0时,令f'(x)=0,得x=

,当x∈

时,f'(x)>0,当x∈

时,f'(x)<0,所以f(x)在

上单调递增,在

上单调递减,所以f(x)max=f

=aln

+a=a

1+ln

,又x→0+时,f(x)→-∞,x→+∞时,f(x)→-∞,所以只需f(x)max=a

1+ln

>0,解得a>

,故实数a的取值范围是

.(2)证明:当a>

时,a2ex>xf(x)+2x2-2ax⇔

>lnx⇔

>

.令g(x)=

(x>0),则g'(x)=

=

,令g'(x)=0,得x=2,当0<x<2时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x>2时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(2)=

,所以当a>

时,

>

×

=

.令h(x)=

,x>0,则h'(x)=

=

,令h'(x)=0,得x=e,当0<x<e时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x>e时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)max=h(e)=

,因为

>

,所以当a>

时,

>

.故当a>

时,a2ex>xf(x)+2x2-2ax.2.(2026安徽马鞍山二中二模)已知函数f(x)=x-1-alnx.(1)讨论f(x)单调性;(2)若f(x)≥0恒成立,求a的值;(3)当a>

时,证明:当x>1时,

f(x)<ex-1-1恒成立.解析

(1)由f(x)=x-1-alnx,得其定义域为(0,+∞),f'(x)=1-

=

,①当a≤0时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a,当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,

a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.(2)①当a≤0时,由(1)知f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f

=-

+aln2<0,所以a≤0不满足题意;②当a>0时,由(1)知,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(a)=a-1-alna

≥0,令g(a)=a-1-alna,则g'(a)=1-lna-1=-lna,当a>1时,g'(a)<0,g(a)单调递减;当0<a<1时,g'(a)>0,g(a)单调递增,又因为g(1)=0,所以g(a)≤0,当且仅当a=1时取等号,所以满足f(a)=a-1-alna≥0的a的值

为1,所以实数a的值为1.(3)证明:当a>

,且x>1时,0<

<2,x-1>0,可得-

(x-1)>-2(x-1).要证明ex-1-1>

f(x),即证ex-1-1-

f(x)>0,而ex-1-1-

f(x)=ex-1-

(x-1)+lnx-1>ex-1-2x+1+lnx,令g(x)=ex-1-2x+1+lnx,x>1,只需证明g(x)>0即可,对g(x)=ex-1+lnx-2x+1求导得g'(x)=ex-1-2+

,令h(x)=g'(x)=ex-1-2+

,得h'(x)=ex-1-

,由于函数y=ex-1,y=-

在(1,+∞)上单调递增,所以h'(x)在(1,+∞)上单调递增,则h'(x)>h'(1)=e0-1=0,即g'(x)=h(x)在(1,+∞)上单调递增,可得g'(x)>g'(1)=e0-2+1=0,即g(x)在(1,+∞)上单调递增,故g(x)>g(1)=e0-2+1+ln1=0,得证.3.(2026江西上饶一模)已知函数f(x)=xlnx+2ax2-2a(a∈R).(1)当a=-

时,判断f(x)的单调性;(2)若f(x)有极值点,求a的取值范围;(3)若f(x)有三个零点,求a的取值范围.解析

(1)当a=-

时,f(x)=xlnx-

x2+

,函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx+1-x,令p(x)=lnx-x+1,其中x>0,则p'(x)=

-1=

,当x∈(0,1)时,p'(x)>0,即函数f'(x)在(0,1)上单调递增,当x∈(1,+∞)时,p'(x)<0,即函数f'(x)在(1,+∞)上单调递减,所以f'(x)≤f'(1)=0,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.(2)因为f(x)=xlnx+2ax2-2a(a∈R),所以f'(x)=lnx+1+4ax,由f'(x)=0可得-4a=

,设g(x)=

,其中x>0,若函数f(x)有极值点,则直线y=-4a与函数g(x)的图象有交点(非切点).g'(x)=

=-

,当0<x<1时,g'(x)>0,即函数g(x)在(0,1)上单调递增,当x>1时,g'(x)<0,即函数g(x)在(1,+∞)上单调递减,

则g(x)max=g(1)=1,又x→0时,g(x)→-∞,x→+∞时,g(x)→0,如图所示,

由图可知-4a<1,解得a>-

,故实数a的取值范围是

.(3)由f(x)=xlnx+2ax2-2a=0可得2ax+lnx-

=0,所以函数f(x)有三个零点⇔方程2ax+lnx-

=0有三个不等正实根,令h(x)=2ax+lnx-

,其中x>0,则h(1)=2a+ln1-2a=0,h'(x)=2a+

+

=