2027版53B版新高考版数学总复习分层训练5.1　平面向量

专题五平面向量与复数5.1平面向量目录考点1平面向量的概念及运算考点2平面向量的平行与垂直考点3平面向量的模与夹角考点4平面向量数量积的综合应用五年高考·考点练三年模拟·限时练基础强化练综合提升练考点1平面向量的概念及运算五年高考·考点练1.★(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记

=m,

=n,则

=()A.3m-2n

B.-2m+3n

C.3m+2n

D.2m+3nB

解析解法一:由题意可知,

=

-

=m-n,又BD=2DA,所以

=2

=2(m-n),所以

=

+

=n-2(m-n)=3n-2m,故选B.解法二:因为点D在边AB上,且BD=2DA,所以

=2

,即

-

=2(

-

),所以

=3

-2

=-2m+3n,故选B.2.★★(2025全国一卷,6,5分)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,

测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与

船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相

等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运

动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代

表速度大小,单位:m/s),则该时刻的真风为()

A

级数名称风速大小(单位:m/s)2轻风1.6~3.33微风3.4~5.44和风5.5~7.95劲风8.0~10.7

A.轻风

B.微风

C.和风

D.劲风图1解析设真风风速为v1,船行风风速为v2,视风风速为v,依题意得v=(-3,-1),v2=(-1,-3)(注:船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、

方向相反),且v=v1+v2,∴v1=v-v2=(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2).因此|v1|=

=2

<3.3,∴该时刻的真风为轻风,故选A.考点2平面向量的平行与垂直1.★(2024全国甲文,3,5分)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),c=(1,1),若a-2b与c共线,则x=

()A.

B.

C.-

D.-

A解析由已知得a-2b=(1-x,x-4).由a-2b与c=(1,1)共线得

=

,解得x=

.故选A.2.★(2024新课标Ⅰ,3,5分)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=

()A.-2

B.-1

C.1

D.2

D

解析因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则b2-4a·b=22+x2-4(0×2+1×x)=0,即x2-4x+4=(x-2)2=0,

解得x=2,故选D.一题多解因为b-4a=(2,x-4),又b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4+x(x-4)=0,解得x=2,故选D.3.★★(2023新课标Ⅰ,3,5分)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则

()A.λ+μ=1

B.λ+μ=-1

C.λμ=1

D.λμ=-1

D

解析由题意得(a+λb)·(a+μb)=0,即a2+(λ+μ)a·b+λμb2=0,∵a=(1,1),b=(1,-1),∴a2=2,b2=2,a·b=0,∴2+2λμ=0,解得λμ=-1,故选D.4.★★(2026全国Ⅰ卷,2,5分)已知平面向量a,b不共线,且2a+yb=xa-3b,则

()A.x=2,y=-3

B.x=-2,y=3C.x=2,y=3

D.x=-2,y=-3

A

解析已知平面向量a,b不共线,且2a+yb=xa-3b,由平面向量基本定理知

故选A.5.★★(2024全国甲理,9,5分)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则()A.x=-3是a⊥b的必要条件B.x=1+

是a∥b的必要条件C.x=0是a⊥b的充分条件D.x=-1+

是a∥b的充分条件

C

解析由a⊥b得a·b=x2+3x=0,解得x=0或x=-3,因此,选项A错误,选项C正确;由a∥b得x2-2(x+1)=0,即x2-2x-2=0,解得x=1±

,因此,选项B,D错误,故选C.考点3平面向量的模与夹角1.★(2022全国乙文,3,5分)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=

()A.2

B.3

C.4

D.5

D

解析由题意知a-b=(4,-3),所以|a-b|=

=5,故选D.2.★(2023北京,3,4分)已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2=()A.-2

B.-1

C.0

D.1

B

解析由题知

则

所以|a|2-|b|2=4-5=-1.3.★(2024新课标Ⅱ,3,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=()A.

B.

C.

D.1

B

解析∵(b-2a)⊥b,∴b2-2a·b=0,即b2=2a·b.又∵|a+2b|=

,∴a2+4a·b+4b2=4,∴a2+6b2=4.又∵|a|=1,∴b2=

,∴|b|=

,故选B.4.★(2026全国Ⅱ卷,3,5分)已知向量a,b满足|a+b|=1,|a-b|=

,则a·b=

()A.

B.

C.-

D.-

D

解析由|a+b|=1,得a2+b2+2a·b=1①,由|a-b|=

,得a2+b2-2a·b=3②,①-②得4a·b=-2,a·b=-

,故选D.闪击高考由极化恒等式可得,a·b=

=

=

=-

,故选D.5.★(2023全国甲文,3,5分)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos<a+b,a-b>=

()A.

B.

C.

D.

B

解析因为a=(3,1),b=(2,2),所以a+b=(5,3),a-b=(1,-1),所以cos<a+b,a-b>=

=

=

,故选B.6.★(2022新高考Ⅱ,4,5分)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t=()A.-6

B.-5

C.5

D.6

C

解析由题意可得c=(3+t,4),由<a,c>=<b,c>得cos<a,c>=cos<b,c>,即

=

,解得t=5,故选C.7.★★(2023全国甲理,4,5分)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=

,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>=

()A.-

B.-

C.

D.

D

解析∵a+b+c=0,∴a+b=-c,∴a2+b2+2a·b=c2,∵|a|=|b|=1,|c|=

,∴1+1+2a·b=2,解得a·b=0,又a+c=-b,∴a2+c2+2a·c=b2,得a·c=-1,同理b·c=-1,∴(a-c)·(b-c)=a·b-a·c-b·c+c2=4,又|a-c|2=

a2+c2-2a·c=1+2+2=5,∴|a-c|=

,同理|b-c|=

,∴cos<a-c,b-c>=

=

=

,故选D.一题多解因为|a|=|b|=1,|c|=

,且a+b+c=0,所以分别以a,b,c为边构造等腰直角三角形OAB,如图所示,

以O为坐标原点,

方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则a=

=(1,0),b=

=(0,1),c=

=(-1,-1),则a-c=(2,1),b-c=(1,2),所以|a-c|=|b-c|=

,所以cos<a-c,b-c>=

=

=

,故选D.8.★(2025全国二卷,12,5分)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=__________.解析解法一:由a⊥(a-b),得a·(a-b)=0,即a2-a·b=0,所以x2+1-[x(x-1)+1·2x]=0,解得x=1,则a

=(1,1),所以|a|=

=

.解法二:由a=(x,1),b=(x-1,2x),得a-b=(1,1-2x).因为a⊥(a-b),所以x+1-2x=0,解得x=1,则a=

(1,1),所以|a|=

=

.9.★★(2023新课标Ⅱ,13,5分)已知向量a,b满足|a-b|=

,|a+b|=|2a-b|,则|b|=___________.解析由|a+b|=|2a-b|,得a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,即a2=2a·b,则由|a-b|=

,得a2-2a·b+b2=b2=3,所以|b|=

.10.★★★(2021新高考Ⅱ,15,5分)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a=_______.

- 解析

解法一:由a+b+c=0,得b+c=-a,则a·(b+c)=-a2,所以a·b+c·a=-12=-1.由b+c=-a,得(b+c)2=(-a)2,则b2+2b·c+c2=a2,即22+2b·c+22=12,所以b·c=-

,所以a·b+b·c+c·a=-

.解法二:由已知可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=9+2(a·b+b·c+c·a)=0,因此a·b+b·c+

c·a=-

.考点4平面向量数量积的综合应用1.★★(2023全国乙文,6,5分)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则

·

=

()A.

B.3

C.2

D.5

B解析解法一:由题意知,

=

+

=

+

,

=

+

=-

+

,∴

·

=

·

=

-

=22-

×22=3.故选B.

解法二:以D为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,

则E(1,2),C(2,0),D(0,0),∴

=(1,-2),

=(-1,-2),∴

·

=1×(-1)+(-2)×(-2)=3.故选B.2.★★(2025北京,10,4分)在平面直角坐标系xOy中,|

|=|

|=

,|

|=2.设C(3,4),则|2

+

|的取值范围是()A.[6,14]

B.[6,12]

C.[8,14]

D.[8,12]

D

解析如图,由|

|=|

|=

,|

|=2,可得OA2+OB2=AB2,

所以△OAB为直角三角形,取AB的中点D,连接OD,CD,则OD=1,故点D的轨迹是以O为圆心,1为半径的圆.|2

+

|=|

+

+

-

|=|

+

|=2|

|,因为CO=

=5,所以CD∈[4,6],故|2

+

|=2|

|∈[8,12],故选D.3.★★★(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分)已知O为坐标原点,点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则

()A.|

|=|

|B.|

|=|

|C.

·

=

·

D.

·

=

·

AC

解析

A项,∵

=(cosα,sinα),

=(cosβ,-sinβ),∴|

|=

=1,|

|=

=1,∴|

|=|

|,A选项正确.B项,∵

=(cosα-1,sinα),

=(cosβ-1,-sinβ),∴|

|=

=

,|

|=

=

,由于α,β的大小关系不确定,从而不能确定|

|=|

|是否成立,B选项不正确.C选项,∵

·

=(1,0)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos(α+β),

·

=(cosα,sinα)·(cosβ,-sinβ)=cosαcosβ-sinα·sinβ=cos(α+β),∴

·

=

·

,C选项正确.D选项,∵

·

=(1,0)·(cosα,sinα)=cosα,

·

=(cosβ,-sinβ)·(cos(α+β),sin(α+β))=cosβ·cos(α+β)-sinβ·sin(α+β)=cos(β+α+β)=cos(α+2β),∴

·

=

·

不一定成立.D选项不正确.故选AC.4.★★★(2025天津,14,5分)在△ABC中,

=

,

=

.记

=a,

=b,用a和b表示

=_______________;若|

|=5,且AE⊥BC,则

·

=__________.

a+ b

-15

解析第一空:

=

+

=b+

=b+

(

-

)=b+

=

a+

b.第二空:解法一:因为|

|=5,AE⊥CB,∴

=

=

a2+

a·b+

b2=25,

·

=

·(a-b)=

a2+

a·b-

b2=0,∴a2+3a·b=4b2,∴a2+4a·b=180,∴

·

=

·

=

a2+

a·b-

b2=

(a2+2a·b-8b2)=

(a2+2a·b-2a2-6a·b)=

(-a2-4a·b)=-15.解法二:延长AE交BC于点F,则

·

=

·(

+

)=

·

+

·

=0+

·

=-

·

=-

×5×|

|,设

=λ

=λ

=

λ

+

,由于B,F,C三点共线,∴

λ+

=1,∴λ=

,∴

=

,∴|

|=6,∴

·

=-

×5×6=-15.

5.★★★(2024天津,14,5分)已知正方形ABCD的边长为1,

=2

.若

=λ

+μ

,其中λ,μ为实数,则λ+μ=___________;设F是线段BE上的动点,G为线段AF的中点,则

·

的最小值为_________.

- 

解析依题意,

=

+

=

+

,故λ=

,μ=1,从而λ+μ=

.依题意,

·

=0,设

=t

(0≤t≤1),则

=

-

=t

-

=

+t

,

=

+

=-

+

=

+

,从而

·

=

+t

·

+

=

|

|2+t

|

|2=

(10t2-24t+9).所以当t=1时,

·

取得最小值-

.6.★★★(2023天津,14,5分)在△ABC中,BC=1,∠A=60°,

=

,

=

.记

=a,

=b.用a和b表示

=_______________;若

=

,则

·

的最大值为___________.

a+ b

解析由题意知E为CD的中点,D为AB的中点,所以

=

+

=

+

=

a+

b.∵

=

,∴

=

+

=

+

=

+

(

-

)=

+

=

a+

b.设|a|=x,|b|=y,则

·

=

·

=

(2a2+5a·b+2b2)=

2x2+

xy+2y2

.①

∵

=

-

=b-a,且|

|=1,∴(b-a)2=b2-2a·b+a2=y2-xy+x2=1.②将②代入①得

·

=

,由②得x2+y2=1+xy≥2xy,∴xy≤1,当且仅当x=y=1时取等号,∴

·

=

≤

.故

·

的最大值为

.三年模拟·限时练基础强化练

限时30分钟1.(2026河北名校协作体模拟)已知在平面直角坐标系中,点A,B,C,D如图所示,则2

+

=

()

A.(7,5)

B.(1,5)

C.(5,7)

D.(5,1)

C

解析由题图可得A(1,0),B(5,2),C(4,1),D(1,4),所以

=(4,2),

=(-3,3),则2

+

=(5,7).故选C.2.(2026广东茂名一模)已知向量a=(3,-2),b=(x,6),且a⊥b,则x=

()A.4

B.-4

C.9

D.-9

A

解析因为a=(3,-2),b=(x,6),a⊥b,所以3x+(-2)×6=0,解得x=4.故选A.3.(2026广东适应性测试)已知平面向量a=(1,k),b=(3,2k+2),若a∥(2a+b),则k=

()A.-2

B.-1

C.1

D.2

D

解析由a=(1,k),b=(3,2k+2),得2a+b=(5,4k+2),因为a∥(2a+b),所以4k+2=5k,解得k=2.故选D.4.(2026广东深圳一模)已知向量a=(2,4),a·b=10,则向量b在向量a上的投影向量为

()A.(4,2)

B.(2,4)

C.(

,2

)

D.(1,2)

D解析

b在向量a上的投影向量为|b|cos<a,b>

=|b|

=

a=

(2,4)=(1,2).故选D.5.(2026湖南长沙雅礼中学月考)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,|a-b|=

,则a与b的夹角为

()A.

B.

C.

D.

B

解析因为|a-b|=

,所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=22-2×2×3cos<a,b>+32=7,所以cos<a,b>=

,所以<a,b>=

.故选B.6.(2026河南南阳一模)已知向量a,b满足|a|=1,b=(1,1),|a-b|=

,则向量a在向量b方向上的投影向量为

()A.

B.

C.

D.

A

解析

设a=(x,y),则|a|=

=1①,a-b=(x-1,y-1),则|a-b|=

=

②,联立①②解得

或

所以a=(0,-1)或a=(-1,0).当a=(0,-1)时,a·b=0×1+(-1)×1=-1,当a=(-1,0)时,a·b=(-1)×1+0×1=-1,又|b|2=12+12=2,所以向量a在向量b方向上的投影向量为

b=-

(1,1)=

.故选A.7.(2026湖北十一校第二次联考)若单位平面向量a,b的夹角为

,向量m=a+b,向量n=a-b,则下列命题为假命题的是

()A.|m|=|n|

B.m·a=1

C.m∥n

D.m⊥n

C

解析对于A,|m|=

=

=

,|n|=

=

=

,则|m|=|n|,A中命题为真命题.对于B,m·a=(a+b)·a=a2+a·b=1,B中命题为真命题.对于C,显然不存在实数λ,使m=λn,所以m与n不平行,C中命题为假命题.对于D,m·n=(a+b)·(a-b)=a2-b2=1-1=0,所以m⊥n,D中命题为真命题.故选C.8.(2026河北五个一名校联盟联考)在平行四边形ABCD中,

=-

,

=

,CE和DF交于点O,若

=a,

=b,则

=

()A.

a+

b

B.

a+

b

C.

a+

b

D.

a+

b

B

解析设CE的中点为G,连接GF,因为

=

,所以F是BC的中点,所以GF∥BE,且GF=

BE,因为四边形ABCD是平行四边形,所以BE∥CD,且AB=CD,所以GF∥CD.因为

=-

,所以BE=

AB,因为AB=CD,所以BE=

CD,所以GF=

BE=

CD,因为GF∥CD,所以

=

=

,所以

=

+

=

+

=

+

(

+

)=

+

+

=

+

+

×

=

+

-

=

+

=

b+

a.故选B.

一题多解延长DF,交AB的延长线于点G,易证DC=BG,

因为

=-

,

=

,

=

=

,所以

=

+

=

+

=

a+

b.故选B.方法技巧如图所示,点M是BC上一点,且满足

=

,则

=

+

.

9.(2026河北部分高中联考)已知向量a,b,c均为单位向量,且a·b=-

,|3a+b|=|a-2c|,则a·c=

()A.-

B.-

C.-

D.-

D

解析由(3a+b)2=(a-2c)2,得9a2+b2+6a·b=a2+4c2-4a·c,又|a|=|b|=|c|=1,a·b=-

,则9+1+6×

=1+4-4a·c,所以a·c=-

.故选D.10.(2026广东广州一模)已知向量a=(2,3),b=(0,1),向量c满足c·(a-b)=1,则|c|的取值范围是

()A.

B.

C.

D.

A

解析设c=(x,y).由a=(2,3),b=(0,1),得a-b=(2,2).则c·(a-b)=2x+2y=1,即x+y=

.|c|=

表示点(x,y)到原点的距离,而点(x,y)是直线x+y=

上的点,故|c|的最小值即为原点到直线x+y=

的距离,为d=

=

,因为点(x,y)在直线x+y=

上,所以|c|可无限大,所以|c|的取值范围是

.故选A.11.(2026江苏百校联考一)在平面四边形ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,点M在边

BC(含端点)上运动,设

=x

+y

,则x+y的取值范围是

()A.[1,5]

B.[2,4]

C.[1,3]

D.[1,4]

C

解析如图,以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0).设AB=a,AD=b,则B(a,0),C(2a,b),D(0,b),

=(a,0),

=(a,b),

=(0,b),所以

=x

+y

=x(a,0)+y(0,b)=(ax,by),设

=λ

(0≤λ≤1),则

=

+

=(a,0)+λ(a,b)=((1+λ)a,λb),所以

所以x+y=1+2λ,因为0≤λ≤1,所以1≤1+2λ≤3,即x+y的取值范围是[1,3].一题多解连接AC,BD,设其交点为N,当点M与点B重合时,根据等和线定理知此时x+y=1;当点M与点C重合时,因为AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,所以AB∥CD,所以

=3,根据等和线定理知此时x+y=3,所以x+y的取值范围是[1,3].故选C.1.(2026浙江强基联盟联考)已知向量a,b满足|a-b|=2,|2a+b|=4,且(a-2b)⊥a,则|a|=

()A.

B.

C.

D.2

C综合提升练

限时40分钟解析因为|a-b|=2,|2a+b|=4,所以a2-2a·b+b2=4,4a2+4a·b+b2=16,两式相减得3a2+6a·b=12,即|a|2=4-2a·b.又(a-2b)⊥a,所以|a|2-2a·b=0,联立|a|2=4-2a·b,解得|a|2=2,即|a|=

.故选C.2.(2026湖南长沙一模)已知G为△ABC的重心,过G的直线与AB,AC边分别交于M,N点,若

=x

,

=y

,则x2y的最大值为()A.2

B.

C.4

D.

C

解析因为G为△ABC的重心,所以

=

,又因为

=x

,

=y

,所以

=

=

+

,又因为M,N,G三点共线,所以

+

=1⇒x+y=3,因为M在线段AB上,所以

与

同向且|

|≤|

|,于是x=

≥1,同理,y≥1,结合x+y=3得x∈[1,2],则x2y=x2(3-x),记f(x)=x2(3-x)=3x2-x3,x∈[1,2],则f'(x)=6x-3x2=3x(2-x)≥0,所以f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)max=f(2)=22×1=4.故选C.3.(2026山东名校联盟素养评估)已知点P为△ABC所在平面内一点,若

=

+

,则

=

()A.3

B.

C.

D.

B

解析过点A作

=

,

=

,则

=

+

=

+

,以AE,AF为邻边作平行四边形AEPF,所以S△ABP=2S△AEP=2S△AFP,S△AFP=3S△PFC,可得S△ABP=6S△PFC,S△ACP=4S△PFC,所以

=

=

.

4.(2026浙江宁波十校联考)如图所示,已知△ABC,点M,N满足

=

,

=

,BN与CM交于点P,AP交BC于点D,

=t

,则

()

A.

=

+

B.

=

C.t=

D.

=

+

D

解析由C,P,M三点共线知存在λ,使

=λ

+(1-λ)

=

λ

+(1-λ)

,由B,P,N三点共线知存在μ,使

=μ

+(1-μ)

=μ

+

,则

解得

因此

=

+

,A错误.

=

-

=

+

-

=-

+

,

=

-

=

-

,若

=

,则-

+

=

=-

+

,显然不成立,B错误.由

=t

,且D在BC上,设

=k

+(1-k)

,则

=t

=tk

+t(1-k)

,结合

=

+

,得

解得t=

,C错误.∵B,P,N三点共线,∴

=x

+(1-x)

=x

+

,∵C,P,M三点共线,∴

=y

=y

=

+

,∴

解得

∴

=

+

,D正确.故选D.5.(2026湖南株洲统一检测)已知向量

=(cosβ,sinβ),将向量

绕坐标原点O逆时针旋转θ角得到向量

(0°<θ<180°),则下列说法正确的是

()A.|

|<

B.|

+

|≥|

-

|C.|

+

|≥1

D.(

+

)⊥(

-

)

D

解析因为

=(cosβ,sinβ),所以|

|=

=1,所以|

|=1.对于A,

=

-

,所以|

|=

=

=

=

,当cosθ<0,即90°<θ<180°时,|

|>

,故A错误.对于B,由A可知|

-

|=

,又|

+

|=

=

=

=

,当90°<θ<180°时,cosθ<0,可得|

+

|<|

-

|,故B错误.对于C,由B知当120°<θ<180°时,-1<cosθ<-

,可得

<1,所以|

+

|<1,故C错误.对于D,因为(

+

)·(

-

)=

-

=

-

=1-1=0,所以(

+

)⊥(

-

),故D正确.故选D.6.(2026北京十一学校月考)如图,圆M为△ABC的外接圆,AB=6,AC=8,N为边BC的中点,

则

·

=

()

A.13

B.14

C.20

D.25

D

解析因为N为边BC的中点,所以

=

(

+

),所以

·

=

(

+

)·

=

(

·

+

·

).

取AB的中点D,连接MD,则MD⊥AB,所以

·

=0.所以

·

=

·(

+

)=

·

+

·

=

·

=

=

×62=18.同理可得,

·

=

=

×82=32.所以

·

=

(

·

+

·

)=

×(18+32)=25.故选D.7.(2026山东菏泽期末)已知A,B,C是平面上不共线的三个点,若

+

=λ

+

,λ∈(0,+∞),则△ABC一定是

()A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.锐角三角形

B

解析因为(

+

)·

=λ

·

=λ

=λ

=λ

-

+

=0