高考数学一轮复习（培优版） 第四章　4.4　解三角形小题(一)

§4.4解三角形小题(一)考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正余弦定理解决判断三角形解的个数和形状，以及求解三角形面积等简单应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决平面图形中一些简单的度量问题.1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinA=csinCa2=b2+c2-2bccosA；b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC变形(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；(2)sinA=asinB=bsinC=c2(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCcosA=b2cosB=c2cosC=a2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S=12aha(ha表示边a上的高)(2)S=12absinC=12acsinB=12bc(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径)4.角平分线定理：在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，则ABAC=DB中线长定理：在△ABC中，AD为BC的中线，则AB2+AC2=2(AD2+DC2).1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比. (×)(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则a>b.(√)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(×)(4)在△ABC中，若b2+c2-a2>0，则△ABC为锐角三角形.(×)2.(2025·三门峡模拟)在△ABC中，内角A，B的对边分别为a，b，已知a=3，b=6，A=60°，则B等于(A.45°或135° B.45°C.135° D.60°或120°答案B解析由正弦定理得，asin即332解得sinB=2又a>b，则A>B，所以B=45°.3.已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acosB=bcosA，则△ABC一定是()A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案A解析由正弦定理得，acosB=bcosA⇒sinAcosB=sinBcosA⇒sin(A-B)=0，由于-π<A-B<π，故必有A-B=0，A=B，即△ABC为等腰三角形.4.(2025·辽阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=5，b=7，c=4，则△ABC的面积为.

答案46解析在△ABC中，因为a=5，b=7，c=4，由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac所以sinB=1-cos2B=因此，S△ABC=12acsinB=12×5×4×26熟记以下△ABC中的常用结论：(1)A+B+C=π，A+B2=(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(3)大边对大角，大角对大边，a>b⇔A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC.(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.题型一公式问题命题点1利用公式解三角形例1(2025·重庆模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc=a2.若b=6，a=32sinB，则C等于(A.π4 B.π6 C.π8答案D解析在△ABC中，由b2+c2+bc=a2及余弦定理，可得cosA=b2+由0<A<π，可得A=2π又b=6，a=32sinB，sinB=bsinAa=6sin又sinB>0，解得sinB=2又0<B<π3，因此B所以C=π-A-B=π12命题点2判断三角形解的个数例2(多选)(2025·茂名模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是()A.若A=60°，a=b=2，则△ABC有一解B.若A=30°，a=2，b=43，则△ABCC.若A=150°，a=3，b=4，则△ABC有一解D.若A=45°，a=2，b=3，则△答案ABD解析对于A，因为A=60°，a=b=2，所以B=A=60°，故C=60°，则△ABC是边长为2的等边三角形，有一解，故A正确；对于B，若A=30°，a=2，b=43，由正弦定理得asinA=bsin解得sinB=3>1，△ABC无解，故B正确；对于C，若A=150°，a=3，b=4，由大边对大角可知B>A，此时三角形中有两个钝角，不可能，则△ABC无解，故C错误；对于D，若A=45°，a=2，b=3，由正弦定理得a即2sin45°=3sinB，解得sinB=32，因为b>a，所以所以△ABC有两解，故D正确.命题点3判断三角形的形状例3(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是()A.若a=ccosB，则△ABC是直角三角形B.若cosAcosBcosC>0，则△ABC是锐角三角形C.若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形D.若a-ccosB=acosC，则△ABC是等腰或直角三角形答案ABD解析对于A，方法一由正弦定理可得sinA=sinCcosB，又sinA=sin(C+B)=sinCcosB+cosCsinB，因此可得cosCsinB=0，又因为B∈(0，π)，sinB>0，所以cosC=0，又C∈(0，π)，可得C=π2，所以△ABC是直角三角形，方法二由余弦定理得a=c·a2+c2-b22ac，即2a2=a2+c2-b2，所以△ABC为直角三角形，A正确；对于B，若cosAcosBcosC>0，且A+B+C=π，A，B，C∈(0，π)，则cosA>0，cosB>0，cosC>0，所以A，B，C∈0，π2，故△ABC对于C，若acosA=bcosB，由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，可得2A=2B或2A=π-2B，可得A=B或A+B=π2，所以△ABC是等腰或直角三角形，对于D，由正弦定理可得sinA-sinCcosB=sinAcosC，即sinBcosC+sinCcosB-sinCcosB=sinAcosC，所以sinBcosC=sinAcosC，所以sinB=sinA或cosC=0，所以在△ABC中，A=B或C=π即△ABC为等腰或直角三角形，D正确.思维升华应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用正弦定理变形公式a=bsinA(2)求角：利用正弦定理变形公式sinA=asinB(3)利用式子的特点转化：如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.跟踪训练1(1)(2025·临沂模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O是△ABC的外接圆的圆心，a=42，b=6，sinC+cosC=2，则该外接圆O的面积为(A.8π B.5π C.10π D.20π答案C解析由sinC+cosC=2，得2sinC+π4=2，又因为0<C<π，得π4<C+π4所以C+π4=π2，所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得c2=32+36-2×42×6×22=20，解得c=2由正弦定理得外接圆O的直径2R=csinC=2522=2所以圆O的面积S=πR2=10π.(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A=sinBsinC，(b+c+a)(b+c-a)=3bc，则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形答案C解析因为(b+c+a)(b+c-a)=3bc，所以b2+c2-a2=bc，所以cosA=b2+c2-因为A∈(0，π)，所以A=π又sin2A=sinBsinC，所以a2=bc，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得bc=b2+c2-bc，即(b-c)2=0，所以b=c，所以△ABC是等边三角形.(3)(2025·秦皇岛模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=22，B=π4的三角形有两个，则b的取值范围为(A.(0，22) B.(22，4C.(2，4) D.(2，22)答案D解析在△ABC中，a=22，B=π4，由△ABC有两解即b<22,0<2所以b的取值范围为(2，22).题型二图形问题命题点1中线定理例4在△ABC中，AB=22，AC=6，BC边上的中线AD=5，则△ABC的面积S为A.394 B.234 C.392答案C解析方法一如图所示，延长AD到点E使DE=AD，连接CE，又∵BD=DC，∠ADB=∠CDE，∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB=22，AE=2△ABC的面积等于△ACE的面积.在△ACE中，由余弦定理得cos∠ACE=A=6+8-20=-3又0<∠ACE<π，则sin∠ACE=1-316∴S△ABC=S△ACE=12AC·CEsin∠=12×6×22×=392方法二由中线长定理知AB2+AC2=2(AD2+DC2)，∴8+6=2(5+DC2)，∴DC=2，BC=2∴在△ABC中，cosB=(22)又0<B<π，∴sinB=1-cos2∴S△ABC=12AB·BC·sinB=12×22×22×398方法三(向量法)∵AD=12(AB+∴4AD2=(AB+AC)2即4×5=8+6+2×22×6×cos∠BAC，∴cos∠BAC=3又0<∠BAC<π，∴sin∠BAC=1-cos2∴S△ABC=12AB·ACsin∠BAC=12×22×6×134命题点2张角定理例5(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，BC=6，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD=.答案2解析如图所示，记AB=c=2，AC=b，BC=a，由余弦定理可得，22+b2-2×2×b×cos60°=6，因为b>0，解得b=1+3.方法一由正弦定理可得，6sin60°=bsin解得sinB=6sinC=2因为1+3>6>2，所以B>∠BAC>C，所以C=45°，B=180°-60°-45°=75°，又∠BAD=30°，所以∠ADB=75°，即AD=AB=2.方法二(等面积法)由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得，12×2×b×sin60°=12×2×AD×sin30°+12×AD×b×sin解得AD=3b1+b2方法三(张角定理)由张角定理知sin∠BACAD=sin∠即sin60°AD=sin30°1+即32AD=34，命题点3斯库顿定理例6在△ABC中，AD为角A的平分线，D在线段BC上，若AB=2，AD=AC=1，则BD等于()A.22 B.2 C.2 D.答案B解析方法一如图所示，由角平分线定理知ABAC=BDCD设CD=x，BD=2x，∵cos∠ADB=-cos∠ADC，∴4x2+1-42·2x·1∴BD=2.方法二(斯库顿定理)∵AD为角A的平分线，根据角平分线定理可知ABAC=BDCD设CD=x，BD=2x，根据斯库顿定理可得AD2=AB·AC-BD·CD，∴12=2×1-2x·x，解得2x=BD=2.命题点4托勒密定理例7已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，BD=43，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为(A.163 B.16 C.123 D.12答案C解析设AC=AD=CD=a，由托勒密定理可知AB·CD+AD·BC=AC·BD，即a·AB+a·BC=a·BD，所以AB+BC=BD=43又因为∠ABD=∠ACD=π3，∠CBD=∠CAD故S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12AB·BDsinπ3+12BC·=34(AB+BC)·=34×(43)2=123思维升华张角定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若D为BC上一点，且∠BAD=α，∠CAD=β，则sin(α+β)AD斯库顿定理：如图，AD是△ABC的角平分线，则AD2=AB·AC-BD·CD.就其位置关系而言，可记忆：中方=上积-下积.托勒密定理：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和，即若四边形ABCD内接于圆，则AB·CD+AD·BC=AC·BD.跟踪训练2(1)(2025·天津模拟)在△ABC中，AB=4，E是BC边中点，线段AE长为3，∠BAC=120°，D是BC边上一点，AD是∠BAC的平分线，则AD的长为.答案4解析E是BC边中点，则AE=12(AB+所以AE2=14(AB=14(AB2+2AB即3=14(16+2×4·ACcos120°+AC2)解得AC=2.方法一S△ABC=S△ABD+S△ACD，即12×AB×AC×sin120°=12×AB×AD×sin60°+12×AC×AD×sin即8=4AD+2AD，所以AD=43方法二(张角定理)由张角定理知sin∠BACAD=sin∠即sin120°AD=sin60°2解得AD=43(2)(2025·银川模拟)在△ABC中，已知∠BAC=2π3，AB=2，AC=1，D为BC上一点，且∠BAD=π2，则△ACDA.235 B.32 C.3答案C解析如图，由∠BAC=2π3，∠BAD则∠DAC=π6方法一S△BAD=12AB·AD=ADS△ACD=12AD·ACsinπ6=1∴S△ACD则S△ACD=15S△=15×12AB·AC=15×12×2×1×32方法二由张角定理知sin∠BACAD=sin∠即sin2π3AD=解得AD=2∴S△ACD=12·AC·AD·sin∠=12×1×235×1(3)在△ABC中，AM是∠BAC的平分线，且交BC于M，已知AM=23，BM=2，MC=3，则AC=.答案33解析如图，由角平分线定理知ABAC=BMMC令AB=2t(t>0)，∴AC=3t，由斯库顿定理知，AM2=AB·AC-BM·MC，∴12=2t×3t-2×3⇒t=3(负值舍去)，∴AC=33.课时精练[分值：84分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2，AC=1+3，AB=6，则A等于(A.45° B.60° C.120° D.135°答案A解析方法一由余弦定理得cosA=A=(6)又0°<A<180°，所以A=45°.方法二由题意得BC<AB<AC，所以A<C<B，又A+B+C=180°，所以A<60°，结合选项可知A正确.2.(2025·重庆模拟)已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b+c=2，A=π4，则sinB+sinC等于(A.22 B.223 C.1答案D解析因为a=1，b+c=2，A=π由正弦定理asinA=b+c所以sinB+sinC=2.3.(2025·株洲期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，若12S=3(a2+b2-c2)，则C等于()A.π2 B.π3 C.π4答案D解析依题意，12×12absinC=3(a2+b2-c2)即6absinC=3(a2+b2-c2)，又a2+b2-c2=2abcosC，所以6absinC=23abcosC，则tanC=33，而C∈(0，π所以C=π64.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2ccosB，ccosB+bcosC=2c，则△ABC的形状是()A.等腰非直角三角形B.直角非等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案D解析因为a=2ccosB，所以a=2c×a2+c2-又ccosB+bcosC=2c，所以sinCcosB+sinBcosC=2sinC，即sin(B+C)=sinA=2sinC，即a=2c，又a=2ccosB，所以2c=2ccosB，得cosB=2因为B∈(0，π)，所以B=π所以C=π4，A故△ABC为等腰直角三角形.5.在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=223，AB=32，AD=3，则CDA.32 B.33 C.6 D.62答案B解析方法一sin∠BAD=sin∠=-cos∠BAC=1-sin2由张角定理知sin∠BACAD=sin∠即229=13AC+1∴CD=AC2+AD方法二cos∠BAD=cos∠BAC-π2=sin∴在△ABD中，由余弦定理知BD=A=18+9-2×3∴cos∠BDA=B=3+9-182×∴cos∠ADC=cos(π-∠BDA)=3∴在Rt△ADC中，CD=ADcos∠ADC=336.(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=π3，b2=94ac，则sinA+sinC等于A.23913 B.3913 C.7答案C解析因为B=π3，b2=9则由正弦定理得sinAsinC=49sin2B=1由余弦定理可得，b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=94ac即a2+c2=134ac根据正弦定理得sin2A+sin2C=134sinAsinC=所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=7因为A，C为三角形内角，则sinA+sinC>0，则sinA+sinC=72二、多项选择题(每小题6分，共18分)7.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是()A.若A>B，则sinA>sinBB.若a=10，c=8，C=π3，则符合条件的△C.若B=π6，b=2，c=2，则D.若acosA=bcosB=c答案ACD解析对于A，在△ABC中，根据大角对大边，A>B⇒a>b，由正弦定理asinA=bsinA>sinB，A正确；对于B，根据正弦定理，sinA=a结合选项数据，得sinA=538故这样的三角形不存在，B错误；对于C，由正弦定理得sinC=csinB得sinC=22，因为c>b，所以C>B，故C=π4或C=3π4，△对于D，由acosA=bcosB=ccosC及正弦定理得，sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，即tanA=tanB=tanC，而A，B，C∈(0，8.(2025·益阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，则下列结论中正确的是()A.A∶B∶C=2∶3∶4B.△ABC为钝角三角形C.若a+b+c=18，则△ABC的面积是615D.若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R=16r答案BD解析因为sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，由正弦定理可得a∶b∶c=2∶3∶4，A错误；设a=2x，b=3x，c=4x，x>0，由题意可知，C为最大角，0<C<π，因为cosC=a2+b2-c22ab=4x2若a+b+c=18，则a=4，b=6，c=8，又cosC=-14，所以sinC=1-co所以S△ABC=12absinC=12×4×6×154=315由正弦定理得2R=csinC=4x154=由面积公式可得12(a+b+c)r=12absin即12×9x×r=12×2x×3x所以r=156x，所以Rr=165，故5R=16r，9.在△ABC中，AB=3，AC=6，∠BAC的平分线AD交BC于点D，AD=2，则下列结论正确的是()A.∠BAC=2πB.BC=35C.BC边上的中线长为3D.BC边上的高为3答案ACD解析如图，方法一由角平分线定理知ABAC=BDDC设BD=x，DC=2x，∵cos∠ADB=-cos∠ADC，∴x2+4-92·x·2=-∴BD=7，DC=27，BC由余弦定理得cos∠BAC=AB2+A又∠BAC∈(0，π)，∴∠BAC=2π3，故A正确，方法二设∠BAD=∠CAD=θ，θ∈0∴∠BAC=2θ，由张角定理知sin2θAD=sin即12sin2θ=16sinθ+13⇒sin2θ=sinθ，即cosθ=1又θ∈0，π2，∴∠BAC=2π由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=63，∴BC=37故A正确，B错误；方法三由角平分线定理知ABAC=BDDC设BD=x，DC=2x，由斯库顿定理知AD2=AB·AC-BD·DC，∴4=3×6-x·2x，解得x=7，∴BD=7，DC=27，由余弦定理得cos∠BAC=AB2+A又∠BAC∈(0，π)，∴∠BAC=2π故A正确，B错误；对于C，设E为BC的中点，BE=EC=37方法一由中线长定理知AB2+AC2=2(AE2+EC2)，∴9+36=2AE2+63故C正确；方法二∵AE=12(AB+∴|AE|=1=129+36+2故C正确；对于D，由等面积法知，BC边上的高h=AB·AC·sin∠BAC故D正确.三、填空题(每小题5分，共15分)10.(2026·开封模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC=23，a=3b，则cosA=答案-6解析在△ABC中，cosC=23，a=3由余弦定理可得cosC=a=9b2解得c=6b，再由余弦定理可得cosA=b=b2+6b11.(2025·合肥检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=23，(sinA-sinB)(b+23)=c(sinB+sinC)，则A=.答案2π解析因为a=23且(sinA-sinB)(b+23)=c(sinB+sinC)，所以(sinA-sinB)(a+b)=c(sinB+sinC)，由正弦定理，可得(a-b)(a+b)=c(b+c)，即a2=b2+c2+bc，所以cosA=b2+c2由A∈(0，π)，所以A=2π312.在四边形ABCD中，A=60°，C=120°，AD=DC=3，BC=5，则四边形ABCD的面积为，AC=.

答案3934解析∵A+C=180°，∴A，B，C，D四点共圆，连接BD，在△BCD中，由余弦定理得BD2=CD2+BC2-2CD·BC·cosC=49，∴BD=7，在△ABD中，由余弦定理得，BD2=AD2+AB2-2AD·ABcosA，即AB2-3AB-40=0⇒AB=8(负值舍去)，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12×8×3×sin60°+12×5×3×sin120°=方法一由托勒密定理知AB·CD+BC·AD=AC·BD，即8×3+5×3=7·AC⇒AC=397方法二S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=92sin∠ADC+402sin∠ABC=492sin∠ADC=3934⇒sin∠ADC=393在△ACD中，由余弦定理得，AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC，解得AC=397[13，15，16题每小题5分，14题6分，共21分]13.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，∠ABC=3π4，∠ADC=π6，AB=1，CD=4，则tan∠CADA.1 B.3 C.2 D.4答案C解析设∠CAD=θ，在△ACD中，由正弦定理可得ACsin∠ADC=CD由AB⊥AD可得∠BAD=π则∠BAC=π2