华师大版八年级数学上册《13.1勾股定理及其逆定理》同步练习题（带答案）

第页华师大版八年级数学上册《13.1勾股定理及其逆定理》同步练习题（带答案）一、选择题1.用反证法证明命题“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，第一步应假设（）A.a不平行于bB.a平行于bC.a不垂直于cD.b不垂直于c2.如图，等腰三角形ABC的腰AB的长为13，底边BC的长为10，则这个等腰三角形底边上的高AD的长为（

）A.12B.10C.8D.63.已知△ABC三边长a、b、c，且满足a−22A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=4．分别以AC,BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则SA.πB.2C.3D.45.若3、4、a为勾股数，则a的值为（

）A.7B.5C.6D.26.如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为()A.6B.8C.12D.147.在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点A重合，则的长为（

）A.1B.C.D.1.68.在△ABC中，若∠A+∠B=90∘A.AB.AC.BD.B9.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（

）A.B.3C.D.10.在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如右表格中．则当a=24时，b+c的值为（

）A.162B.200C.242D.28811.如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，BD=32，DE=2，EC=5A.3B.3C.3D.312.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（

）

①△ACE≌△BCD；

②BD+AD=DE；③∠DAB=∠BCD；

④AEA.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10

cm，正方形A、B、C的边长分别为6

cm、5

cm、5

cm，则正方形D的边长为

cm．14.如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是

．15.如图，是的高，分别以线段为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为

．16.如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是

（填序号）①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）．17.如图，在△ABC中，AC=BC=5cm，AB=8cm点P是线段AB上一动点，将△BCP沿直线CP折叠，使点B落在点D处，CD交AP于点E．当△ACE是直角三角形时，BP的长为

三、解答题18.用反证法证明：△ABC的三个内角中至少有一个角不大于60°．19.如图，在长方形ABCD中，E为CD边上的点，CE=3cm,AB=8cm．若沿AE折叠，点D恰好落在BC20.用反证法证明：如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形．21.如图，为上一点，，，，，交于点，且．(1)判断线段，，的数量关系，并说明理由；(2)连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理．22.在Rt△ABC中，∠B=90°，O为AC中点，∠DOE=90°，射线OD、OE分别交直线BC、AB于M、N(1)如图1，OA在射线OE上，连接MN，试判断CM、BM、BN之间的数量关系并证明；(2)如图2，OC在射线OD上，将∠DOE绕点O逆时针旋转α°．①如图3，当射线OE交线段AB于点N时，求证：BM②当0<α<180时，若AB=3，BC=4，当BM=1时，请直接写出AN的长度．参考答案一、选择题1.用反证法证明命题“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，第一步应假设（）A.a不平行于bB.a平行于bC.a不垂直于cD.b不垂直于c【答案】A【解析】用反证法证明命题“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，第一步应假设a不平行于b，故选：A．2.如图，等腰三角形ABC的腰AB的长为13，底边BC的长为10，则这个等腰三角形底边上的高AD的长为（

）A.12B.10C.8D.6【答案】A【解析】△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC∴BD=DC=1∴AD=A故选：A．3.已知△ABC三边长a、b、c，且满足a−22A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【答案】C【解析】∵a−2∴a−2=0，b−2=0，c−22=0∴a=2，b=2，c=22∵2即：a2∴所以此三角形是直角三角形．又∵a=b，∴故此三角形是等腰直角三角形．故选：C．4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=4．分别以AC,BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则SA.πB.2C.3D.4【答案】B【解析】∵∠ACB=90°,AB=4∴AC∵S1∴S1故选B．5.若3、4、a为勾股数，则a的值为（

）A.7B.5C.6D.2【答案】B【解析】若3、4、a为勾股数，当4为最大数时，a2+32=42，解得a=当a为最大数时，32+42=a2，解得a=故a的值为5，故选：B.6.如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为()A.6B.8C.12D.14【答案】C【解析】在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，∠C=90°，∴AB10，由翻折的性质可知：AE=AC=6，CD=DE，∴BE=4，∴△BDE的周长=DE+BD+BE=CD+BD+E=BC+BE=8+4=12．故选：C．7.在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点A重合，则的长为（

）A.1B.C.D.1.6【答案】C【解析】设，则BE=4-x，由题意得，由勾股定理得，∴，解得，即的长为,故答案为：C.8.在△ABC中，若∠A+∠B=90∘A.AB.AC.BD.B【答案】A【解析】在△ABC中，若∠A+∠B=90∴∠C=90∴AC,BC为直角边，AB为斜边，根据勾股定理可得，AC故选：A．9.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（

）A.B.3C.D.【答案】D【解析】∵沿DE翻折，使点A与点B重合，∴，∴，设，则，，在中，∵，∴，解得，∴，故选：D．10.在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如右表格中．则当a=24时，b+c的值为（

）A.162B.200C.242D.288【答案】D【解析】根据表格中数据可得：a2+b则a2当a=24时，242解得：b=143，则c=143+2=145，∴b+c=143+145=288，故选：D．11.如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，BD=32，DE=2，EC=5A.3B.3C.3D.3【答案】D【解析】连接AD，AE，∵DE=2，EC=5∴DC=2+5∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，∴AD=BD=32，∵DE=2，∴AD∴△ADE是直角三角形，∴∠ADE=90°，∴AC=故选：D．12.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（

）

①△ACE≌△BCD；

②BD+AD=DE；③∠DAB=∠BCD；

④AEA.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴CA=CB，CE=CD，∠BCA=∠DCE=90°，∴∠BCA−∠DCA=∠DCE−∠DCA，即∠BCD=∠ACE，∴△ACE≌△BCDSAS，故结论①∵△ACE≌△BCD，∴BD=AE，∴BD+AD=AE+AD=DE，故结论②正确；∵∠BCA=∠DCE=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∠E+∠CDE=90°，∵CA=CB，CE=CD，∴∠CAB=∠CBA=45°，∠E=∠CDE=45°，∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC=∠DBC，∵∠EAC=∠ADC+∠ACD=45°+∠ACD，∠DBC=∠ABC+∠DBA=45°+∠DBA，∴∠DBA=∠ACD，∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC=∠AEC=45°，∴∠ADB=∠ADC+∠BDC=45°+45°=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°，∵∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，∴∠DAB=∠DCB，故结论③正确；∵在Rt△ABD中，B在Rt△ABC中，A∴BD∵BD=AE，AC=BC，∴AE2+A综上，正确的结论有4个．故选：D二、填空题13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10

cm，正方形A、B、C的边长分别为6

cm、5

cm、5

cm，则正方形D的边长为

cm．【答案】14【解析】由题意得：SA∴正方形D的面积为102∴正方形D的边长为14

cm故答案为：14．14.如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是

．【答案】【解析】由勾股定理得：正方形的对角线为，设点A表示的数为x，则，∵，∴，即点A表示的数是．故答案为：．15.如图，是的高，分别以线段为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为

．【答案】2【解析】根据勾股定理可得：，∴，故答案为：2．16.如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是

（填序号）①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）．【答案】①③【解析】①由已知条件证明△DAB≌△EAC即可；②由①可得∠ABD=∠ACE<45°，∠DCB>45°；③由∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=∠ACE+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°可判断③；④由BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2可判断④．∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，∵AD＝AE，AB＝AC，∴∠AED=∠ADE=∠ABC=∠ACB=45°，∵在△DAB和△EAC中，AD＝AEDAB＝EAC∴△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①正确；由①可得∠ABD=∠ACE<45°，∠DCB>45°故②错误；∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=∠ACE+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确；∴BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2．∴BE2＝2（AD2+AB2）－CD2，故④错误．故答案为：①③．17.如图，在△ABC中，AC=BC=5cm，AB=8cm点P是线段AB上一动点，将△BCP沿直线CP折叠，使点B落在点D处，CD交AP于点E．当△ACE是直角三角形时，BP的长为

【答案】1或5【解析】当∠AEC=

∵∠AEC=设BP=xcm∵AC=BC=5cm，CE⊥AB∴AE=BE=1∴CE=A由折叠性质得：BC=CD=5cmBP=PD=xcm∴DE=CD−CE=5−3=2cm在Rt△DEP中，D∴4+4−x解得：x=5∴BP=5当∠ACE=

过点C作CH⊥AB，垂足为H，∴∠AHC=∵AC=BC=5cm，CH⊥AB∴∠B=AH=BH=1∴CH=A由折叠得：BC=CD=5cm∠BCP=∠DCP∴∠D=∵∠ECH+∠HCA+∴∠ECH=∴∠ECH=∵∠CPH是△BCP∴∠CPH=∠PCH=∴∠PCH=HC=HP=3cmBP=BH−HP=1cmBP=DP=1cm综上所述BP的长为1或5故答案为：1或52三、解答题18.用反证法证明：△ABC的三个内角中至少有一个角不大于60°．【答案】证明假设∠A，∠B，∠C都大于60°，则∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾，因此假设不成立，∴∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°．19.如图，在长方形ABCD中，E为CD边上的点，CE=3cm,AB=8cm．若沿AE折叠，点D恰好落在BC【答案】解由折叠可知，△ADE和△AFE关于直线AE成轴对称，所以AF=AD,EF=DE．因为CE=3,AB=8，所以DE=EF=8−3=5．在Rt△ECF中，由勾股定理，得CF=设BF=x，则BC=AD=AF=x+4，在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB2解得x=6．所以阴影部分的面积为：1220.用反证法证明：如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形．【答案】证明如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，假设它是直角三角形，则，由勾股定理可知，三角形的两条较短边的平方和等于较长边的平方，这与题给信息不符合．所以假设错误，所以如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形．21.如图，为上一点，，，，，交于点，且．(1)判断线段，，的数量关系，并说明理由；(2)连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理．【答案】(1)解．理由如下：如图，，，．又，．，，．在和中，，．，．又，．(2)证明，，，．22.在Rt△ABC中，∠B=90°，O为AC中点，∠DOE=90°，