华师大版七年级数学上册《4.1相交线》同步练习题（带答案）

第页华师大版七年级数学上册《4.1相交线》同步练习题（带答案）【题型1】邻补角定义【典例】下列选项中，∠1与∠2互为邻补角的是（）A.B.C.D.【举一反三1】下列各选项，∠1和∠2互为邻补角的是（）A.B.C.D.【举一反三2】如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠COF的邻补角有个．【举一反三3】两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为_________.【题型2】利用邻补角定义求角的度数【典例】已知直线AB与直线CD交于点O，∠AOC＝32°36'，则∠AOD的度数为（）A.32°36'B.147°24'C.148°24'D.57°24'【举一反三1】如图，AB，CD交于点O，∠AOE＝90°，若∠AOC：∠COE＝4：5，则∠AOD为（）A.120°B.130°C.140°D.150°【举一反三2】如图，直线AB，CD相交，∠AOC＝50°，则∠AOD＝．【举一反三3】如果一个角是它的邻补角的13，那么这个角的度数为【举一反三4】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠AOD，求∠EOD的度数．请将以下解答过程补充完整：解：∵O是直线CD上一点∴∠COD＝°．∵∠AOC＝40°∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝°∵OE平分∠AOD∴∠EOD=12∠＝【题型3】对顶角定义【典例】如图所示各图中，∠1和∠2是对顶角的是（）A.B.C.D.【举一反三1】下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A.B.C.D.【举一反三2】光线从空气射入水中会发生折射现象，如图①所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，下列各角中，∠PDM的对顶角是（）A.∠BCDB.∠FDBC.∠BDND.∠CDB【举一反三3】如图，∠1与∠2是邻补角的是.是对顶角的是.(填序号)【举一反三4】观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）．（1）如图1，两条直线相交于一点，共有对对顶角；（2）如图2，三条直线相交于一点，共有对对顶角；（3）如图3，四条直线相交于一点，共有对对顶角；（4）根据填空结果探究：当n条直线相交于一点时，共有对对顶角；（5）根据探究结果，求1000条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．【题型4】利用对顶角相等求角的度数【典例】下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间线段最短；③若AB＝BC，则点B是线段AC的中点；④相等的角是对顶角.其中正确的说法有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【举一反三1】如图，AB、CD相交于O，∠EOB＝90°，那么下列结论错误的是（）A.∠AOC与∠BOD是对顶角B.∠AOC与∠COE互为余角C.∠BOD与∠COE互为余角D.∠COE与∠AOD互为补角【举一反三2】小豆同学周末去香山踏青，看到了一座色彩鲜艳的高塔——琉璃万寿塔.为了测量古塔底部的底角∠AOB的度数，小豆设计了如下测量方案：作AO，BO的延长线OC，OD，量出∠COD的度数，从而得到∠AOB的度数.这个测量方案的依据是___________.【举一反三3】如图1，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如图2，小轩分别延长AO至点C，BO至点D，则可得∠AOB＝∠COD，小轩测量∠AOB的依据是___________.【题型5】综合利用对顶角、邻补角求角的度数【典例】直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，∠EOA：∠AOD＝1：4，∠EOC等于（）A.30°B.36°C.45°D.72°【举一反三1】如图，∠1、∠2、∠3从小到大的顺序为（）A.∠1＜∠2＜∠3B.∠2＜∠1＜∠3C.∠3＜∠2＜∠1D.∠2＜∠3＜∠1【举一反三2】图中，直线a，b相交，∠1：∠2＝2：7，则∠3的度数是（）A.20°B.60°C.45°D.40°【举一反三3】如图，直线AD与BE相交于点O，∠AOC=∠COE=2∠DOE，则∠AOB=.【举一反三4】如图，直线AB和CD相交于点O，OA平分∠COE，∠COE：∠EOD＝4：5，那么∠BOD＝°．【举一反三5】直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠BOD＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝30°，求∠BOD的度数．【举一反三6】如图，直线AB、CD相交于O，且∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOF＝∠BOF＝90°，OE平分∠BOC，求：∠EOF的度数．【题型6】垂直定义【典例】如图，已知OA⊥OB，直线CD经过顶点O，若∠BOC＝28°，则∠BOD﹣∠AOC的值为（）A.80°B.82°C.90°D.92°【举一反三1】如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC.若∠AOC=58°，则∠EOB的大小为()A.29°

B.32°C.45°

D.58°【举一反三2】如图，OA⊥OB，∠COD为平角，若OC平分∠AOB，则∠BOD=°.【举一反三3】如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB，（1）若∠1＝∠2，证明：∠CON＝90°；（2）若∠1=13∠BOC，求：【举一反三4】如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．（1）若∠COE＝35°，则∠AOD的度数为°（直接写出结果）；（2）若∠AOD+∠COE＝170°，求∠COE的度数．【题型7】画垂线【典例】如图，在纸片上有线段AB和线段外一点M，将纸片沿过点M的直线折叠，使线段AB分成两部分并落在同一条直线上，下列说法正确的是（）A.折痕平分线段ABB.折痕与线段AB互相平行C.折痕与线段AB互相垂直D.折痕与线段AB不能相交【举一反三1】下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（）A.B.C.D.【举一反三2】在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝45°时，∠BOD的度数是．【举一反三3】如图，∠ABC＝30°，AD⊥BC，垂足为D，E是射线BA上的点，且∠EDA＝15°，则∠AED的度数为．【举一反三4】如图，直线AB和CD交于点O，射线OE平分∠AOD．（1）求∠COE的度数；（2）若射线OF⊥AB于点O，请补全图形，并求∠EOF的度数．【举一反三5】按要求作图：过点A画BC，CA和AB的垂线.【题型8】垂线段最短【典例】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（）A.3B.2.5C.2.4D.2【举一反三1】如图，AC⊥BC，垂足为C，AC＝6，BC＝8，AB＝10．P是线段AB上一点，连接PC，PC的长不可能是（）A.4B.5C.6D.7【举一反三2】如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（）A.B.C.D.【举一反三3】在数学课上，老师提出如下问题：如图1，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一条最省材料的修建方案．小军同学的作法如下：①连接AB；②过点A作AC垂直直线l于点C，则折线段B﹣A﹣C为所求．老师说：小军同学的方案是正确的．请回答：该方案最节省材料的依据是（填写序号）．（①两点之间，线段最短；②在同一平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③垂线段最短）．【举一反三4】如图是一条河，C是河边AB外一点：现欲用水管从河边AB，将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短.并说明理由.【题型9】点到直线的距离【典例】如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，那么点A到直线BC的距离是（）A.线段AD的长度B.线段AB的长度C.线段CD的长度D.线段BD的长度【举一反三1】下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是()A.

B.C.

D.【举一反三2】下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（）A.B.C.D.【举一反三3】如图，AC⊥BC，且BC＝5，AC＝12，则点A到BC的距离是，ACAB（填＞，＜，＝），理由是．【举一反三4】如图，AC⊥BC，AC＝9，BC＝12，AB＝15．点A到直线BC的距离，C到直线AB的距离是．【举一反三5】如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．（1）点B到AC的距离是cm；点A到BC的距离是cm；（2）画出表示点C到AB的垂线段CD，并求出CD的长；（3）ACCD（填“＞”“＜”或“＝”），理由是．【题型10】对同位角的认识【典例】如图，与∠1构成同位角的有()A.2个

B.3个

C.4个

D.5个【举一反三1】下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（）A.B.C.D.【举一反三2】如图中∠1的同位角是（）A.∠2B.∠AC.∠3D.∠C【举一反三3】如图，与∠A构成同位角的是．【举一反三4】如图，直线CD与∠AOB的边OB相交.(1)写出图中的同位角、内错角和同旁内角；(2)如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等吗？∠1与∠5互补吗？为什么？【题型11】对内错角的认识【典例】如图，下列各角与∠1是内错角的是（）A.∠2B.∠3C.∠4D.∠5【举一反三1】在下列图形中，∠1与∠2是内错角的是()A.

B.C.

D.【举一反三2】如图，按角的位置判断∠1与__________是内错角．【举一反三3】与∠2是内错角的是__________．【题型12】对同旁内角的认识【典例】如图，下列说法中错误的是（）A.∠1与∠4是同位角B.∠3与∠4是内错角C.∠B与∠3是同位角D.∠1与∠3是同旁内角【举一反三1】如图，下列说法错误的是（）A.∠1与∠2是同位角B.∠3与∠4是内错角C.∠1与∠3是同旁内角D.与∠A是同旁内角的角共有4个【举一反三2】如图所示，与∠C构成同旁内角的有个．【举一反三3】如图，找出标注角中的同位角、内错角和同旁内角．参考答案【题型1】邻补角定义【典例】下列选项中，∠1与∠2互为邻补角的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，∴只有选项D中的∠1与∠2互为邻补角．故选：D．【举一反三1】下列各选项，∠1和∠2互为邻补角的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，∴只有选项B中的∠1与∠2互为邻补角．故选：B．【举一反三2】如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠COF的邻补角有个．【答案】2．【解析】根据邻可知：∠COF的邻补角是∠COE或∠FOD，共2个．故答案为：2．【举一反三3】两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为_________.【答案】邻补角【解析】根据邻补角的定义，两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.故答案为：邻补角．【题型2】利用邻补角定义求角的度数【典例】已知直线AB与直线CD交于点O，∠AOC＝32°36'，则∠AOD的度数为（）A.32°36'B.147°24'C.148°24'D.57°24'【答案】B【解析】∵直线AB与直线CD交于点O，∴∠AOC与∠AOD互为邻补角，∴∠AOC+∠AOD＝180°，∵∠AOC＝32°36'，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣32°36'＝147°24'．故选：B．【举一反三1】如图，AB，CD交于点O，∠AOE＝90°，若∠AOC：∠COE＝4：5，则∠AOD为（）A.120°B.130°C.140°D.150°【答案】C【解析】∵∠AOE＝90°＝∠AOC+∠COE，而∠AOC：∠COE＝4：5，∴∠AOC＝90°×44+5∴∠AOE＝180°﹣40°＝140°．故选：C．【举一反三2】如图，直线AB，CD相交，∠AOC＝50°，则∠AOD＝．【答案】130°【解析】∵∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC，∵∠AOC＝50°，∴∠AOD＝130°．故答案为：130°．【举一反三3】如果一个角是它的邻补角的13，那么这个角的度数为【答案】45°【解析】设这个角为α，由题意得，α=1解得α＝45°，故答案为：45°．【举一反三4】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠AOD，求∠EOD的度数．请将以下解答过程补充完整：解：∵O是直线CD上一点∴∠COD＝°．∵∠AOC＝40°∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝°∵OE平分∠AOD∴∠EOD=12∠＝【答案】解∵O是直线CD上一点，∴∠COD＝180°，∵∠AOC＝40°，∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝140°，∵OE平分∠AOD∴∠EOD=12∠AOD故答案为：180，140，AOD，70．【题型3】对顶角定义【典例】如图所示各图中，∠1和∠2是对顶角的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根据对顶角的定义可知，选项B中的∠1与∠2是对顶角，其余均不是对顶角，故选：B．【举一反三1】下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】A．图中，∠1与∠2不是对顶角，不符合题意；B．图中，∠1与∠2不是对顶角，不符合题意；C．图中，∠1与∠2是对顶角，符合题意；D．图中，∠1与∠2不是对顶角，不符合题意；故选：C．【举一反三2】光线从空气射入水中会发生折射现象，如图①所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，下列各角中，∠PDM的对顶角是（）A.∠BCDB.∠FDBC.∠BDND.∠CDB【答案】C【解析】观察图形可知，∠PDM的对顶角是∠BDN．故选：C．【举一反三3】如图，∠1与∠2是邻补角的是.是对顶角的是.(填序号)【答案】①⑤③⑥【举一反三4】观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）．（1）如图1，两条直线相交于一点，共有对对顶角；（2）如图2，三条直线相交于一点，共有对对顶角；（3）如图3，四条直线相交于一点，共有对对顶角；（4）根据填空结果探究：当n条直线相交于一点时，共有对对顶角；（5）根据探究结果，求1000条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．【答案】解（1）如图1，图中共有1×2＝2对对顶角；故答案为：2；（2）如图2，图中共有2×3＝6对对顶角；故答案为：6；（3）如图3，图中共有3×4＝12对对顶角；故答案为：12；（4）若有n条直线相交于一点，则可形成n（n﹣1）对对顶角；故答案为：n（n﹣1）；（5）根据（4）得，所构成的对顶角的对数有1000×999＝999000（对）；故答案为：999000．【题型4】利用对顶角相等求角的度数【典例】下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间线段最短；③若AB＝BC，则点B是线段AC的中点；④相等的角是对顶角.其中正确的说法有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】①两点确定一条直线，正确；②两点之间线段最短，正确；③若AB＝BC，点A、B、C不一定在同一条直线上，所以点B不一定是线段AC的中点，故错误；④相等的角不一定是对顶角，故错误；其中正确的说法有①②，共2个，故选：B.【举一反三1】如图，AB、CD相交于O，∠EOB＝90°，那么下列结论错误的是（）A.∠AOC与∠BOD是对顶角B.∠AOC与∠COE互为余角C.∠BOD与∠COE互为余角D.∠COE与∠AOD互为补角【答案】D【解析】A．∵AB、CD相交于O，∴∠AOC与∠BOD是对顶角，本选项正确，不符合题意；B．∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴∠AOC与∠COE互为余角，本选项正确，不符合题意；C．∵∠AOC与∠BOD是对顶角，且∠AOC与∠COE互为余角，∴∠BOD与∠COE互为余角，本选项正确，不符合题意；D．∵∠COE+∠DOE＝180°，∴∠COE与∠DOE互为补角，本选项错误，符合题意.故选：D.【举一反三2】小豆同学周末去香山踏青，看到了一座色彩鲜艳的高塔——琉璃万寿塔.为了测量古塔底部的底角∠AOB的度数，小豆设计了如下测量方案：作AO，BO的延长线OC，OD，量出∠COD的度数，从而得到∠AOB的度数.这个测量方案的依据是___________.【答案】对顶角相等【解析】这个测量方案的依据是：对顶角相等.故答案为：对顶角相等.【举一反三3】如图1，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如图2，小轩分别延长AO至点C，BO至点D，则可得∠AOB＝∠COD，小轩测量∠AOB的依据是___________.【答案】对顶角相等【解析】由题意得，小轩测量∠AOB的依据是对顶角相等，故答案为：对顶角相等.【题型5】综合利用对顶角、邻补角求角的度数【典例】直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，∠EOA：∠AOD＝1：4，∠EOC等于（）A.30°B.36°C.45°D.72°【答案】A【解析】设∠EOA＝x，∵OE平分∠AOC，∴∠EOC＝x，∵∠EOA：∠AOD＝1：4，∴∠AOD＝4x，∵∠COA+∠AOD＝180°，∴x+x+4x＝180°，解得x＝30°．故∠EOC的度数是30°．故选：A．【举一反三1】如图，∠1、∠2、∠3从小到大的顺序为（）A.∠1＜∠2＜∠3B.∠2＜∠1＜∠3C.∠3＜∠2＜∠1D.∠2＜∠3＜∠1【答案】D【解析】由题意可知，∠1＝180°﹣60°﹣50°＝70°，∠2＝50°，∠3＝60°，∴∠2＜∠3＜∠1，故选：D．【举一反三2】图中，直线a，b相交，∠1：∠2＝2：7，则∠3的度数是（）A.20°B.60°C.45°D.40°【答案】D【解析】∵∠1：∠2＝2：7，∠1+∠2＝180°，∴∠1=29×180°∴∠3＝∠1＝40°．故选：D．【举一反三3】如图，直线AD与BE相交于点O，∠AOC=∠COE=2∠DOE，则∠AOB=.【答案】36°【解析】因为∠AOC=∠COE=2∠DOE，∠AOC+∠COE+∠DOE=180°，所以∠DOE=36°，所以∠AOB=∠DOE=36°.【举一反三4】如图，直线AB和CD相交于点O，OA平分∠COE，∠COE：∠EOD＝4：5，那么∠BOD＝°．【答案】40．【解析】∵OA平分∠COE，∴∠COE＝2∠AOE＝2∠AOC，∵∠COE：∠EOD＝4：5，∵∠COE+∠EOD＝180°，∴∠COE＝80°，∴∠AOC＝40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°，故答案为：40．【举一反三5】直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠BOD＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝30°，求∠BOD的度数．【答案】解（1）∵∠DOF＝90°，∠BOD＝68°，∴∠BOF＝∠DOF﹣∠BOD＝90°﹣68°＝22°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=1∴∠EOF＝∠BOF+∠BOE＝22°+34°＝56°；（2）∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE=1∴∠COE=180°−∠DOE=180°−1∵OF平分∠COE，∴∠EOF===90°−1∵∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE，∴90°−1∴∠BOD＝80°．【举一反三6】如图，直线AB、CD相交于O，且∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOF＝∠BOF＝90°，OE平分∠BOC，求：∠EOF的度数．【答案】解∵由已知：∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC＝60°，∠BOC＝120°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=12∠BOC＝∵∠BOF＝90°，∴∠EOF＝∠BOF﹣∠BOE＝90°﹣60°＝30°．【题型6】垂直定义【典例】如图，已知OA⊥OB，直线CD经过顶点O，若∠BOC＝28°，则∠BOD﹣∠AOC的值为（）A.80°B.82°C.90°D.92°【答案】C【解析】∵OA⊥OB于O，直线CD经过O，∠BOC＝28°，∴∠AOB＝90°，∠AOC＝90°﹣∠BOC＝90°﹣28°，∠BOD＝180°﹣∠BOC＝180°﹣28°，∴∠BOD﹣∠AOC＝180°﹣28°﹣90°+28°＝90°，故选：C．【举一反三1】如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC.若∠AOC=58°，则∠EOB的大小为()A.29°

B.32°C.45°

D.58°【答案】B【解析】因为OE⊥OC，所以∠COE=∠DOE=90°，因为∠BOD=∠AOC=58°，所以∠EOB=90°-58°=32°.【举一反三2】如图，OA⊥OB，∠COD为平角，若OC平分∠AOB，则∠BOD=°.【答案】135【解析】因为OA⊥OB，所以∠AOB=90°，因为OC平分∠AOB，所以∠BOC=12∠AOB=12×90°=45°，因为∠COD为平角，所以∠【举一反三3】如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB，（1）若∠1＝∠2，证明：∠CON＝90°；（2）若∠1=13∠BOC，求：【答案】（1）证明∵OM⊥AB，∴∠AOM＝∠BOM＝90°，∴∠1+∠AOC＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠2+∠AOC＝90°，即∠CON＝90°；（2）解∵∠1=13∠∴∠BOM＝2∠1＝90°，∴∠1＝45°，∴∠BOD＝90°﹣45°＝45°．【举一反三4】如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．（1）若∠COE＝35°，则∠AOD的度数为°（直接写出结果）；（2）若∠AOD+∠COE＝170°，求∠COE的度数．【答案】解（1）∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°，∵∠COE＝35°，∴∠COB＝∠COE+∠EOB＝125°，∴∠AOD＝∠COB＝125°，故答案为：125；（2）∵∠AOD+∠COE＝170°，∴∠BOC+∠COE＝170°，∴∠BOE+∠COE+∠COE＝170°，∴∠BOE+2∠COE＝170°，∵∠BOE＝90°，∴∠COE＝40°，∴∠COE的度数为40°．【题型7】画垂线【典例】如图，在纸片上有线段AB和线段外一点M，将纸片沿过点M的直线折叠，使线段AB分成两部分并落在同一条直线上，下列说法正确的是（）A.折痕平分线段ABB.折痕与线段AB互相平行C.折痕与线段AB互相垂直D.折痕与线段AB不能相交【答案】C【解析】A．将纸片沿过点M的直线折叠，当折痕平分线段AB时，如图所示：∴由折叠性质可知，CB与CB′重合，不符合题意；B．将纸片沿过点M的直线折叠，当折痕与线段AB互相平行时，如图所示：∴由折叠性质可知，CB与A′B′重合，不符合题意；C．将纸片沿过点M的直线折叠，当折痕与线段AB互相垂直时，如图所示：∴由折叠性质可知，CB与CB′重合、CA与CA′重合，符合题意；D．将纸片沿过点M的直线折叠，当折痕与线段AB不能相交时，不妨假设折痕与线段AB互相平行，如图所示：∴由折叠性质可知，CB与A′B′重合，不符合题意；综上所述，折痕与线段AB互相垂直时，满足题意，故选：C．【举一反三1】下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根据解析可得D的画法正确，故选：D．【举一反三2】在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝45°时，∠BOD的度数是．【答案】45°或135°【解析】①当OC、OD在AB的一旁时，∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∵∠AOC＝45°，∴∠BOD＝180°﹣∠COD﹣∠AOC＝45°；②当OC、OD在AB的两旁时，∵OC⊥OD，∠AOC＝45°，∴∠AOD＝45°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝135°．故答案为：45°或135°．【举一反三3】如图，∠ABC＝30°，AD⊥BC，垂足为D，E是射线BA上的点，且∠EDA＝15°，则∠AED的度数为．【答案】105°或45°【解析】如图所示，∵∠ABC＝30°，AD⊥BC∴∠BAD＝90°﹣∠B＝60°当E在BA上时，∠AED＝180°﹣∠BAD﹣∠ADE＝180°﹣60°﹣15°＝105°，当E在BA的延长线上时，∠AED＝180°﹣∠B﹣∠BDE＝180°﹣30°﹣（90°+15°）＝45°，故答案为：105°或45°．【举一反三4】如图，直线AB和CD交于点O，射线OE平分∠AOD．（1）求∠COE的度数；（2）若射线OF⊥AB于点O，请补全图形，并求∠EOF的度数．【答案】解（1）∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=1∵∠BOD＝46°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣46°＝134°，∠AOC＝∠BOD＝46°，∴∠AOE=1∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝46°+67°＝113°，∴∠COE的度数为113°；（2）①当OF在AB上方时，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE＝90°﹣67°＝23°；②OF在AB下方时，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝90°+67°＝157°．∴当OF在AB上方时，∠EOF＝23°；当OF在AB下方时，∠EOF＝157°．【举一反三5】按要求作图：过点A画BC，CA和AB的垂线.【答案】解如图所示，AD，AF，AE即为所求.【题型8】垂线段最短【典例】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（）A.3B.2.5C.2.4D.2【答案】C【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∵当PC⊥AB时，PC的值最小，此时：△ABC的面积=12•AB•PC=12•∴5PC＝3×4，∴PC＝2.4，故选：C．【举一反三1】如图，AC⊥BC，垂足为C，AC＝6，BC＝8，AB＝10．P是线段AB上一点，连接PC，PC的长不可能是（）A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】作CH⊥AB于H，∵AC⊥BC，∴△ABC的面积=12AC•BC=12∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴CH＝4.8，∵PC≥CH＝4.8，∴PC的长不可能4．故选：A．【举一反三2】如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：故选：D．【举一反三3】在数学课上，老师提出如下问题：如图1，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一条最省材料的修建方案．小军同学的作法如下：①连接AB；②过点A作AC垂直直线l于点C，则折线段B﹣A﹣C为所求．老师说：小军同学的方案是正确的．请回答：该方案最节省材料的依据是（填写序号）．（①两点之间，线段最短；②在同一平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③垂线段最短）．【答案】①③【解析】依据是：两点之间，线段最短，垂线段最短，故答案为：①③．【举一反三4】如图是一条河，C是河边AB外一点：现欲用水管从河边AB，将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短.并说明理由.【答案】解如图所示，沿CE铺设水管能让路线最短，因为垂线段最短.【题型9】点到直线的距离【典例】如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，那么点A到直线BC的距离是（）A.线段AD的长度B.线段AB的长度C.线段CD的长度D.线段BD的长度【答案】A【解析】由AD⊥BC，∠BAC＝90°，可推断线段AD的长度即点A到直线BC的距离．∵AD⊥BC，∠BAC＝90°，∴线段AD的长度即点A到直线BC的距离，故选：A．【举一反三1】下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是()A.

B.C.

D.【答案】D【举一反三2】下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】A．AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，符合题意；B．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；C．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；D．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意．故选：A．【举一反三3】如图，AC⊥BC，且BC＝5，AC＝12，则点A到BC的距离是，ACAB（填＞，＜，＝），理由是．【答案】12＜垂线段最短【解析】如图，AC⊥BC，且BC＝5，AC＝12，则点A到BC的距离是线段AC的长度，即为12，∵垂线段最短，∴AC＜AB，故答案为：12，＜，垂线段最短．【举一反三4】如图，AC⊥BC，AC＝9，BC＝12，AB＝15．点A到直线BC的距离，C到直线AB的距离是．【答案】936【解析】设点C到AB的距离为h．∵AC⊥CB，∴S△ABC=12•AC•BC=12•∴h=9×12∴点A到直线BC的距离9，C到直线AB的距离是365故答案为：9，365【举一反三5】如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．（1）点B到AC的距离是cm；点A到BC的距离是cm；（2）画出表示点C到AB的垂线段CD，并求出CD的长；（3）ACCD（填“＞”“＜”或“＝”），理由是．【答案】解（1）由题意得：点B到AC的距离是4cm；点A到BC的距是3cm．故答案为4，3；（2）如图，CD为所作；∵S△ABC∴BC⋅AC＝AB⋅CD，∴4×3＝5CD，∴CD=12（3）AC＞CD．理由是垂线段最短；故答案为：＞，垂线段最短．【题型10】对同位角的认识【典例】如图，与∠1构成同位角的有()A.2个

B.3个

C.4个

D.5个【答案】B【解析】如图，直线a和直线b被直线c所截，∠1与∠2是同位角；直线c和直线d被直线a所截，∠1与∠3是同位角；直线c和直线e被直线a所截，∠1与∠4是同位角.综上所述，与∠1构成同位角的共有3个.【举一反三1】下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是