华师大版七年级数学上册《4.2平行线》同步练习题（带答案）

第页华师大版七年级数学上册《4.2平行线》同步练习题（带答案）【题型1】平面内两直线的位置关系【典例】长方形中的平行线有()A.1组

B.2组

C.3组

D.4组【举一反三1】下列四边形中，AB不平行于CD的是（）A.B.C.D.【举一反三2】在同一平面内有三条直线，若其中有两条且只有两条直线平行，则这三条直线交点的个数为()A.0

B.1

C.2

D.3【举一反三3】在同一平面内，两条直线有种位置关系，它们是．【举一反三4】如图是“探究光的反射规律”的装置.将一张可以沿ON折叠的长方形硬纸板ABCD垂直放置在平面镜上(折叠成2个小长方形)，让一束光紧贴硬纸板射向镜面上的O点，可在ABCD平面内看到反射光线.实验中无论怎样折叠长方形硬纸板，AD和BC的位置关系总是不变的吗？为什么？如果不变，请说明AD与BC的位置关系.【举一反三5】一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题：（1）找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来；（2）找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来；（3）找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数．（不包括直角尺自身所成的角）【题型2】平行公理【典例】下列说法中，正确的是()A.两条不相交的直线叫做平行线B.一条直线的平行线有且只有一条C.在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥cD.若两条线段不相交，则它们互相平行【举一反三1】下列说法正确的是（）A.延长射线AB到CB.若AM＝BM，则M是线段AB的中点C.两点确定一条直线D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行【举一反三2】如图是一个风车，当风车的一片叶子AB旋转到与地面MN平行时，叶子CD与地面MN（填“平行”或“不平行”），理由是．【举一反三3】过已知直线外一点有且一条直线与已知直线平行．【举一反三4】如图所示的是一个风车，如果AB旋转到与地面MN平行的位置，请问CD也能同时与地面MN平行吗？为什么？【题型3】平行公理的推论【典例】在同一平面内有a，b，c三条直线，若a∥b，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.不能确定【举一反三1】若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（）A.∵a∥b，b∥c，∴c∥dB.∵a∥c，b∥d，∴c∥dC.∵a∥b，a∥c，∴b∥cD.∵a∥b，c∥d，∴a∥c【举一反三2】若a∥b，c∥b，则a与c的关系是()A.平行

B.垂直C.相交

D.以上都不对【举一反三3】如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是，理由是.【举一反三4】如图.(1)过点C画CE∥AD交AB于点E；(2)过点B画BF∥AD交DC的延长线于点F；(3)试判断CE和BF有什么关系？为什么？【举一反三5】如图，P，Q分别是直线EF外两点.(1)过点P画直线AB∥EF，过点Q画直线CD∥EF；(2)直线AB与CD有怎样的位置关系？为什么？【题型4】同位角相等两直线平行【典例】下列四个图形中，∠1＝∠2，能够判定AB∥CD的是（）A.B.C.D.【举一反三1】如图，已知∠2=90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是()A.∠1=90°

B.∠3=90°C.∠4=90°

D.∠5=90°【举一反三2】如图表示钉在一起的木条a，b，c．若测得∠1＝50°，∠2＝75°，要使木条a∥b，木条a至少要旋转°．【举一反三3】如图，已知点A，B，C和点D，E，F分别在同一直线上，∠1＝∠2，那么可以最终推出∥，判定平行的理由是．【举一反三4】如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求证：AB∥CD．【举一反三5】如图，已知AP和BQ分别平分∠MAN和∠ABR，且∠1=∠2，试说明：a∥b.【题型5】内错角相等两直线平行【典例】如图，下列判定错误的是（）A.因为∠1＝∠2，所以c∥dB.因为∠3＝∠4，所以c∥dC.因为∠1＝∠3，所以a∥bD.因为∠1＝∠4，所以a∥b【举一反三1】下列说法正确的是（）A.在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直B.内错角互补，两直线平行C.平行于同一直线的两条直线互相平行D.相等的两个角是对顶角【举一反三2】已知，如图，∠ABC=∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3.试说明：AB∥DC.(请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由)解：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC(已知)，∴∠1=12∠ABC，∠2=12(∵∠ABC=∠ADC(已知)，∴∠=∠(等量代换).∵∠1=∠3()，∴∠2=∠().∴∥().【举一反三3】根据下面的推理过程，在括号内写明理由.如图，点A，B，C在同一条直线上，已知BF平分∠EBC，∠D+∠CBF=90°，DB⊥BF，试说明：AD∥BE.解：∵DB⊥BF(已知)，∴∠DBE+∠EBF=∠DBF=90°().∵BF平分∠EBC(已知)，∴∠EBF=∠CBF().∵∠D+∠CBF=90°(已知)，∴∠DBE=∠D().∴AD∥BE().【举一反三4】如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连结OF.(1)试说明：OC⊥OD；(2)若∠D与∠1互余，试说明：ED∥AB.【举一反三5】完成下面的证明：如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD．求证：AC∥BD．证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∵∠COA＝，（），∴∠C＝，∴AC∥BD（）．【题型6】同旁内角互补两直线平行【典例】数学课上，老师在黑板上画出如图所示的三角形，并要求学生添加一个条件，使得DE∥BC，下面四位同学给出的条件中有一个无法证明这个结论，则这位同学是（）A.亮亮B.天天C.花花D.丽丽【举一反三1】如图，根据下列条件可以判定AD∥BC的是（）A.∠1＝∠2B.∠3＝∠4C.∠DAB+∠ADC＝180°D.∠ABC+∠BAD＝180°【举一反三2】如图，下列条件中，不能判定CD∥AB的是（）A.∠A＝∠ECDB.∠B＝∠DCBC.∠A+∠ACD＝180°D.∠B＝∠ECD【举一反三3】如图，点A，B，E在同一条直线上，添加一个条件，即可证明AD∥BC．【举一反三4】如图，在不添加任何辅助线的前提下，添加必要的一个条件，使得AB∥CD，这个条件可以是（只填一个条件即可）．【举一反三5】如图所示，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=110°，∠BCD=70°，管道AB，CD平行吗？请说明理由.【举一反三6】如图，已知∠1=∠2，∠D+∠C=180°，试说明：EF∥BC.【题型7】平行线的尺规作图【典例】如图，已知∠BOP与射线OP上的点A，小亮用尺规过点A作OB的平行线，步骤如下．①取射线OP上的点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D；②以点A为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点M；③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第②步中所画的弧于点E，直线EA即为所求．小亮作图的依据是（）A.同位角相等，两直线平行B.内错角相等，两直线平行C.同旁内角互补，两直线平行D.以上结论都不正确【举一反三1】数学活动中老师要求同学们利用三角板作已知直线a的平行线，如图是甲同学和乙同学作图的过程，下列判断正确的是（）A.甲、乙都正确B.甲正确，乙错误C.甲错误，乙正确D.甲、乙都错误【举一反三2】如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（）A.B.C.D.【举一反三3】如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是．【举一反三4】阅读下面的题目和小亮的解答．（1）小亮的解答正确吗？说明理由．（2）请你用一种与小亮不同的方法完成题目．【举一反三5】已知∠BAC，点D是AC边上一点，按要求画图，只保留作图痕迹，不写作图过程．（1）用尺规作图在AC的右侧以点D为顶点作∠CDP＝∠CAB；（2）射线DP与AB的位置关系为，理由是．【题型8】两直线平行同位角相等【典例】如图，下列判断正确的是（）A.因为a∥b，所以∠3+∠4＝180°B.因为∠1＝∠2，所以a∥bC.因为a∥b，所以∠2＝∠3D.因为l∥m，所以∠3＝∠4【举一反三1】如图，直线a，b被直线c所截，若直线a∥b，∠2＝68°，则∠1的度数为（）A.112°B.122°C.68°D.22°【举一反三2】如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点A落在直尺的一边上，若∠1＝28°，则∠2＝°．【举一反三3】把正方形ABCD和长方形EFGH按如图的方式放置在直线l上．若∠1＝48°，则∠2的度数为．【题型9】两直线平行内错角相等【典例】如图，BE∥CD，BD平分∠CBE，∠CBE＝110°，∠E＝125°，则∠ADC度数是（）A.35°B.45°C.25°D.30°【举一反三1】如图，已知AD∥BC，则（）A.∠1＝∠2B.∠3＝∠4C.∠A＝∠CD.∠2＝∠3【举一反三2】如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点E、F，射线EG⊥直线c，若∠1＝30°，则∠2＝°．【举一反三3】如图，AB∥CD∥EF，则∠1、∠2、∠3的关系为．【举一反三4】如图，已知AB∥CD，∠C＝35°，BC平分∠ABE，则∠ABE的度数是．【题型10】两直线平行同旁内角互补【典例】如图，直线a∥b，将一块含30°的直角三角板按如图方式放置，其中A，C两点分别落在直线a，b上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A.20°B.30°C.40°D.45°【举一反三1】如图，将一张长方形纸片进行折叠，若∠2﹣∠1＝20°，则∠EFC的度数为（）A.130°B.100°C.80°D.150°【举一反三2】如图，l1∥l2，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为.【举一反三3】若AB∥CD，BC∥DE，∠B=65°，则∠D的度数为.【举一反三4】如图，一条公路的两侧铺设了两条平行管道AB和CD，如果公路一侧铺设的管道AB与纵向连通管道AC的夹角∠BAC为120°，求公路另一侧铺设的管道CD与纵向连通管道AC的夹角∠DCA的度数.【题型11】平行线的性质在生活中的应用【典例】如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE、DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝160°，∠CDF＝150°，则∠EPF的度数是（）A.20°B.30°C.50°D.70°【举一反三1】如图1为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出的几何模型，若AB∥CD，∠ABE＝125°，则∠BCD＝（）A.55°B.75°C.60°D.65°【举一反三2】共享单车为市民的绿色出行提供了方便.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=α，∠BAC=β，AM∥CB，则∠MAC=.(用含α，β的式子表示)【举一反三3】探索发现：(1)如图1，已知直线AC∥BD.若∠ACP=30°，∠BDP=45°，求∠CPD的度数；归纳总结：(2)根据(1)中的问题，直接写出图中∠ACP，∠BDP，∠CPD之间的数量关系；实践应用：(3)如图2，水务公司在由西向东铺设供水管道，他们从点A铺设到点B时发现了一个障碍物，不得不改变方向绕开障碍物，计划改为沿南偏东30°方向埋设到点C，再沿障碍物边缘埋设到点D处，测得∠BCD=65°.若要恢复原来的正东方向DE，则∠CDE应等于多少度？【举一反三4】如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时扶手AB与支架OE的夹角∠AOE和扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数．【题型12】综合运用平行线的判定定理和性质定理【典例】如图，已知∠BAC≠90°，AD∥BC，∠ADC＝∠B，点E是线段BA延长线上一点，且∠ACB＝∠ADE．以下结论错误的是（）A.ED∥ACB.BE∥CDC.CA平分∠BCED.∠BED＝∠ACD【举一反三1】下列关于平行线的说法正确的是（）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②同位角相等；③同旁内角互补，两直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．A.③B.①③C.②③D.①③④【举一反三2】将一副三角板按如图放置，其中∠B＝∠C＝45°，∠E＝60°，∠D＝30°，则下列结论正确的有（）①∠BAE+∠CAD＝180°；②如果∠2与∠E互余，则BC∥DA；③如果BC∥AD，则有∠2＝45°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C．A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③④【举一反三3】如图，已知：∠B+∠DAB＝180°，AC平分∠DAB，如果∠C＝50°，那么∠B＝．【举一反三4】如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°，求证：∠FAB＝∠BDC．请将下面证明过程补充完整．证明：∵AC∥EF（已知），∴∠1+∠FAC＝180°（）．又∵∠1+∠2＝180°（已知），∴（同角的补角相等）．∴FA∥CD（）．∴∠FAB＝∠BDC（）．【举一反三5】如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，点E在AC上，EF⊥AB，垂足为点F，若∠1+∠2＝180°，则DG与BC有怎样的位置关系？请说明理由．参考答案【题型1】平面内两直线的位置关系【典例】长方形中的平行线有()A.1组

B.2组

C.3组

D.4组【答案】B【解析】长方形对边平行，有2组.【举一反三1】下列四边形中，AB不平行于CD的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】A是平行四边形，B是梯形，C是正方形．D是一般的四边形，AB不平行于CD．因为A、B、C都是特殊的四边形，正确；故选：D．【举一反三2】在同一平面内有三条直线，若其中有两条且只有两条直线平行，则这三条直线交点的个数为()A.0

B.1

C.2

D.3【答案】C【解析】根据题意，第三条直线与这两条平行直线各有一个交点.【举一反三3】在同一平面内，两条直线有种位置关系，它们是．【答案】两相交和平行【解析】在同一平面内，两条不重合直线有两种位置关系，它们是相交和平行，故答案为：两，相交和平行．【举一反三4】如图是“探究光的反射规律”的装置.将一张可以沿ON折叠的长方形硬纸板ABCD垂直放置在平面镜上(折叠成2个小长方形)，让一束光紧贴硬纸板射向镜面上的O点，可在ABCD平面内看到反射光线.实验中无论怎样折叠长方形硬纸板，AD和BC的位置关系总是不变的吗？为什么？如果不变，请说明AD与BC的位置关系.【答案】解AD和BC的位置关系总是不变，总有AD∥BC，理由如下：因为四边形ADON是长方形，所以AD∥NO，因为四边形BCON是长方形，所以BC∥NO，所以AD∥BC.【举一反三5】一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题：（1）找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来；（2）找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来；（3）找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数．（不包括直角尺自身所成的角）【答案】解此题答案不唯一，只要答案正确即可得分．（1）如：DE∥CB，DF∥CB，FE∥CB．（2）如：ED⊥AC，FD⊥AC，FD⊥AD．（3）如：钝角：∠GFD＝135°，∠CGB＝∠FGE＝105°．直角有：∠ADE＝90°．如：锐角∠GCB＝30°，∠AFD＝45°，∠CGF＝75°．【题型2】平行公理【典例】下列说法中，正确的是()A.两条不相交的直线叫做平行线B.一条直线的平行线有且只有一条C.在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥cD.若两条线段不相交，则它们互相平行【答案】C【解析】对于A，平行线的定义：在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故错误；对于B，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.一条直线的平行线有无数条，故错误；对于C，在同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行，故正确；对于D，根据平行线的定义可知是错误的.【举一反三1】下列说法正确的是（）A.延长射线AB到CB.若AM＝BM，则M是线段AB的中点C.两点确定一条直线D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】C【解析】A．射线本身可以无限延伸的，不需要延长，原说法错误，不符合题意；B．若AM＝BM，此时点M在线段AB的垂直平分线上，原说法错误，不符合题意；C．两点确定一条直线，原说法正确，符合题意；D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意；故选：C．【举一反三2】如图是一个风车，当风车的一片叶子AB旋转到与地面MN平行时，叶子CD与地面MN（填“平行”或“不平行”），理由是．【答案】不平行过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行【解析】∵AB不平行于CD，AB∥MN，∴CD不平行于MN（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．故答案为：不平行；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．【举一反三3】过已知直线外一点有且一条直线与已知直线平行．【答案】只有【解析】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．故答案为：只有．【举一反三4】如图所示的是一个风车，如果AB旋转到与地面MN平行的位置，请问CD也能同时与地面MN平行吗？为什么？【答案】解不能.理由：过直线外一点(点O)有且只有一条直线与已知直线平行.【题型3】平行公理的推论【典例】在同一平面内有a，b，c三条直线，若a∥b，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.不能确定【答案】B【解析】若a∥b，且a与c相交，∴b与c相交，故选：B．【举一反三1】若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（）A.∵a∥b，b∥c，∴c∥dB.∵a∥c，b∥d，∴c∥dC.∵a∥b，a∥c，∴b∥cD.∵a∥b，c∥d，∴a∥c【答案】C【解析】A．∵a∥b，b∥c，∴c∥a，故A不符合题意；B．∵a∥c，b∥d，∴c与d不一定平行，故B不符合题意；C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c，故C符合题意；D．∵a∥b，c∥d，∴a与c不一定平行，故D不符合题意；故选：C．【举一反三2】若a∥b，c∥b，则a与c的关系是()A.平行

B.垂直C.相交

D.以上都不对【答案】A【举一反三3】如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是，理由是.【答案】EF∥CD平行于同一条直线的两条直线互相平行【举一反三4】如图.(1)过点C画CE∥AD交AB于点E；(2)过点B画BF∥AD交DC的延长线于点F；(3)试判断CE和BF有什么关系？为什么？【答案】解(1)如图，CE即为所求.(2)如图，BF即为所求.(3)CE∥BF.理由：平行于同一条直线的两条直线互相平行.【举一反三5】如图，P，Q分别是直线EF外两点.(1)过点P画直线AB∥EF，过点Q画直线CD∥EF；(2)直线AB与CD有怎样的位置关系？为什么？【答案】解(1)如图所示，AB，CD即为所求.(2)直线AB与CD互相平行，理由：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.【题型4】同位角相等两直线平行【典例】下列四个图形中，∠1＝∠2，能够判定AB∥CD的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】A．由∠1＝∠2，不能判定AB∥CD，故A不符合题意；B．如图，∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB∥CD，故B符合题意；C．由∠1＝∠2，不能判定AB∥CD，故C不符合题意；D．∵∠1＝∠2，∴AC∥BD，故D不符合题意；故选：B．【举一反三1】如图，已知∠2=90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是()A.∠1=90°

B.∠3=90°C.∠4=90°

D.∠5=90°【答案】C【解析】由∠1=90°不能判定两条铁轨平行，故A选项不符合题意；由∠3=90°=∠1，可判定两枕木平行，故B选项不符合题意；∵∠2=90°，∠4=90°，∴∠2+∠4=180°，∴两条铁轨平行，故C选项符合题意；由∠5=90°不能判定两条铁轨平行，故D选项不符合题意.【举一反三2】如图表示钉在一起的木条a，b，c．若测得∠1＝50°，∠2＝75°，要使木条a∥b，木条a至少要旋转°．【答案】25【解析】如图，∵∠AOC＝∠1＝50°时，AB∥b，∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是75°﹣50°＝25°．故答案为：25．【举一反三3】如图，已知点A，B，C和点D，E，F分别在同一直线上，∠1＝∠2，那么可以最终推出∥，判定平行的理由是．【答案】BDCE同位角相等，两直线平行【解析】如图，AF交CE于点M，∵∠1＝∠2，∠2＝∠AMC，∴∠1＝∠AMC，∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行），故答案为：BD；CE；同位角相等，两直线平行．【举一反三4】如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求证：AB∥CD．【答案】证明∵CE平分∠ACD，∠1＝30°，∴∠ACD＝2∠1＝60°（角平分线定义），∵∠2＝60°，（已知），∴∠2＝∠ACD（等量代换），∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）．【举一反三5】如图，已知AP和BQ分别平分∠MAN和∠ABR，且∠1=∠2，试说明：a∥b.【答案】解∵AP和BQ分别平分∠MAN和∠ABR，∴∠MAN=2∠1，∠ABR=2∠2(角的平分线的定义)，∵∠1=∠2(已知)，∴∠MAN=∠ABR(等量代换)，∴a∥b(同位角相等，两直线平行).【题型5】内错角相等两直线平行【典例】如图，下列判定错误的是（）A.因为∠1＝∠2，所以c∥dB.因为∠3＝∠4，所以c∥dC.因为∠1＝∠3，所以a∥bD.因为∠1＝∠4，所以a∥b【答案】C【解析】A．因为∠1＝∠2，所以c∥d（内错角相等，两直线平行），故本选项正确；B．因为∠3＝∠4，所以c∥d（同位角相等，两直线平行），故本选项正确；C．由∠1＝∠3，不能得到a∥b，故本选项错误；D．因为∠1＝∠4，所以a∥b（内错角相等，两直线平行），故本选项正确；故选：C．【举一反三1】下列说法正确的是（）A.在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直B.内错角互补，两直线平行C.平行于同一直线的两条直线互相平行D.相等的两个角是对顶角【答案】C【解析】A．因为在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故选项不符合题意；B．内错角相等，两直线平行，故选项不符合题意；C．平行于同一直线的两条直线互相平行，故选项符合题意；D．相等的角不一定是对顶角，故选项不符合题意．故选：C．【举一反三2】已知，如图，∠ABC=∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3.试说明：AB∥DC.(请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由)解：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC(已知)，∴∠1=12∠ABC，∠2=12(∵∠ABC=∠ADC(已知)，∴∠=∠(等量代换).∵∠1=∠3()，∴∠2=∠().∴∥().【答案】∠ADC角平分线的定义12已知3等量代换ABDC内错角相等，两直线平行【举一反三3】根据下面的推理过程，在括号内写明理由.如图，点A，B，C在同一条直线上，已知BF平分∠EBC，∠D+∠CBF=90°，DB⊥BF，试说明：AD∥BE.解：∵DB⊥BF(已知)，∴∠DBE+∠EBF=∠DBF=90°().∵BF平分∠EBC(已知)，∴∠EBF=∠CBF().∵∠D+∠CBF=90°(已知)，∴∠DBE=∠D().∴AD∥BE().【答案】垂直的定义角平分线的定义等角的余角相等内错角相等，两直线平行【举一反三4】如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连结OF.(1)试说明：OC⊥OD；(2)若∠D与∠1互余，试说明：ED∥AB.【答案】解(1)∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，∴∠COF=12∠AOF，∠DOF=12∠∵∠AOF+∠BOF=180°，∴∠COF+∠DOF=12(∠AOF+∠BOF)=90°，∴OC⊥OD(2)由(1)知，OC⊥OD，∴∠COD=90°，∴∠1+∠DOB=90°，∵∠D+∠1=90°，∴∠D=∠DOB，∴ED∥AB.【举一反三5】完成下面的证明：如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD．求证：AC∥BD．证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∵∠COA＝，（），∴∠C＝，∴AC∥BD（）．【答案】证明∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∵∠COA＝∠BOD，（对顶角相等），∴∠C＝∠D，∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：∠BOD；对顶角相等；∠D；内错角相等，两直线平行．【题型6】同旁内角互补两直线平行【典例】数学课上，老师在黑板上画出如图所示的三角形，并要求学生添加一个条件，使得DE∥BC，下面四位同学给出的条件中有一个无法证明这个结论，则这位同学是（）A.亮亮B.天天C.花花D.丽丽【答案】C【解析】A．由同位角相等，两直线平行判定DE∥BC，故A不符合题意；B．由同旁内角互补，两直线平行判定DE∥BC，故B不符合题意；C．由内错角相等，两直线平行判定DF∥AC，不能判定ED∥BC，故C符合题意；D．由内错角相等，两直线平行判定DE∥BC，故D不符合题意．故选：C．【举一反三1】如图，根据下列条件可以判定AD∥BC的是（）A.∠1＝∠2B.∠3＝∠4C.∠DAB+∠ADC＝180°D.∠ABC+∠BAD＝180°【答案】D【解析】A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，不符合题意；B．∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，不符合题意；C．∵∠DAB+∠ADC＝180°，∴AB∥CD，不符合题意；D．∵∠ABC+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，符合题意．故选：D．【举一反三2】如图，下列条件中，不能判定CD∥AB的是（）A.∠A＝∠ECDB.∠B＝∠DCBC.∠A+∠ACD＝180°D.∠B＝∠ECD【答案】D【解析】A．∠A＝∠ECD，同位角相等，两直线平行，得到CD∥AB，不符合题意；B．∠B＝∠DCB，内错角相等，两直线平行，得到CD∥AB，不符合题意；C．∠A+∠ACD＝180°，同旁内角互补，两直线平行，得到CD∥AB，不符合题意；D．∠B＝∠ECD，无法判定CD∥AB，符合题意；故选：D．【举一反三3】如图，点A，B，E在同一条直线上，添加一个条件，即可证明AD∥BC．【答案】∠A+∠ABC=180°（答案不唯一）【解析】可添加∠A+∠ABC=180°，则根据同旁内角互补，两直线平行可得AD∥BC．故答案为：∠A+∠ABC=180°（答案不唯一）．【举一反三4】如图，在不添加任何辅助线的前提下，添加必要的一个条件，使得AB∥CD，这个条件可以是（只填一个条件即可）．【答案】∠1＝∠C或∠C+∠4＝180°或∠3＝∠C（写出一个即可）【解析】根据平行线的判定定理解答即可．故答案为：∠1＝∠C或∠C+∠4＝180°或∠3＝∠C（写出一个即可）．【举一反三5】如图所示，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=110°，∠BCD=70°，管道AB，CD平行吗？请说明理由.【答案】解平行.理由：∵∠ABC=110°，∠BCD=70°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行).【举一反三6】如图，已知∠1=∠2，∠D+∠C=180°，试说明：EF∥BC.【答案】解∵∠1=∠2，∠D+∠C=180°，∴AD∥EF，AD∥BC，∴EF∥BC.【题型7】平行线的尺规作图【典例】如图，已知∠BOP与射线OP上的点A，小亮用尺规过点A作OB的平行线，步骤如下．①取射线OP上的点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D；②以点A为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点M；③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第②步中所画的弧于点E，直线EA即为所求．小亮作图的依据是（）A.同位角相等，两直线平行B.内错角相等，两直线平行C.同旁内角互补，两直线平行D.以上结论都不正确【答案】B【解析】由作法可知：∠O＝∠OAE，根据内错角相等，两直线平行，可得AE∥OB，故选：B．【举一反三1】数学活动中老师要求同学们利用三角板作已知直线a的平行线，如图是甲同学和乙同学作图的过程，下列判断正确的是（）A.甲、乙都正确B.甲正确，乙错误C.甲错误，乙正确D.甲、乙都错误【答案】A【解析】对于甲同学的作图，根据内错角相等，两直线平行，由甲同学的作图过程可判断b∥c；对于乙同学的作图，根据同位角相等，两直线平行，由乙同学的作图过程可判断a∥b．故选：A．【举一反三2】如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】A．根据作图可知，BA平分∠PBC，PB＝PA，∴∠PBA＝∠CBA，∠PAB＝∠PBA，∴∠PAB＝∠CBA，∴PA∥BC，故A正确，不符合题意；B．如图，根据作图可知，∠EPB＝∠EFG，∴AB∥l，故B正确，不符合题意；C．根据作图无法判断所作直线与l平行，故C不正确，符合题意；D．如图，根据作图可知，∠APF＝∠EFG，∴AB∥l，故D正确，不符合题意；故选：C．【举一反三3】如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是．【答案】同位角相等，两直线平行【解析】在图中画两个相等的同位角，则可判断所画直线与原直线平行．故答案为：同位角相等，两直线平行．【举一反三4】阅读下面的题目和小亮的解答．（1）小亮的解答正确吗？说明理由．（2）请你用一种与小亮不同的方法完成题目．【答案】解（1）错误，理由如下：由作图可知，AC＝AB，∴∠ACB＝∠ABC，但由作图得不出∠ACB＝∠BCD，∴不能得出直线AB∥l；（2）如图，直线AB即为所求．【举一反三5】已知∠BAC，点D是AC边上一点，按要求画图，只保留作图痕迹，不写作图过程．（1）用尺规作图在AC的右侧以点D为顶点作∠CDP＝∠CAB；（2）射线DP与AB的位置关系为，理由是．【答案】解（1）如图，∠CDP即为所求；（2）结论：DP∥AB．理由：同位角相等，两直线平行．故答案为：DP∥AB，同位角相等，两直线平行．【题型8】两直线平行同位角相等【典例】如图，下列判断正确的是（）A.因为a∥b，所以∠3+∠4＝180°B.因为∠1＝∠2，所以a∥bC.因为a∥b，所以∠2＝∠3D.因为l∥m，所以∠3＝∠4【答案】C【解析】因为a∥b，所以∠3＝∠2，故A错误，不符合题意；因为∠1＝∠2，所以m∥l，故B错误，不符合题意；因为a∥b，所以∠2＝∠3，故C正确，符合题意；因为l∥n，所以∠3+∠4＝180°，故D错误，不符合题意；故选：C．【举一反三1】如图，直线a，b被直线c所截，若直线a∥b，∠2＝68°，则∠1的度数为（）A.112°B.122°C.68°D.22°【答案】A【解析】∵a∥b，∠2＝68°，∴∠3＝∠2＝68°，∵∠1+∠3＝180°，∴∠1＝112°．故选：A．【举一反三2】如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点A落在直尺的一边上，若∠1＝28°，则∠2＝°．【答案】62【解析】∵DC∥AE，∴∠2＝∠CAE，∵∠CAE＝90°﹣∠1＝90°﹣28°＝62°，∴∠2＝62°．故答案为：62．【举一反三3】把正方形ABCD和长方形EFGH按如图的方式放置在直线l上．若∠1＝48°，则∠2的度数为．【答案】42°【解析】∵∠1＝48°，∠HEF＝90°，∴∠CEB＝42°，∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴∠2＝∠CEB＝42°，故答案为：42°．【题型9】两直线平行内错角相等【典例】如图，BE∥CD，BD平分∠CBE，∠CBE＝110°，∠E＝125°，则∠ADC度数是（）A.35°B.45°C.25°D.30°【答案】A【解析】∵BD平分∠CBE，∠CBE＝110°，∴∠DBE=1由题知，∠F＝90°，∠E＝125°，∴∠BDF＝360°﹣∠F﹣∠E﹣∠DBE＝360°﹣90°﹣125°﹣55°＝90°，∵BE∥CD，∴∠BDC＝∠DBE＝55°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDC﹣∠BDF＝180°﹣55°﹣90°＝35°，故选：A．【举一反三1】如图，已知AD∥BC，则（）A.∠1＝∠2B.∠3＝∠4C.∠A＝∠CD.∠2＝∠3【答案】A【解析】A．由AD∥BC，推出∠1＝∠2，故A符合题意；B．由AB∥CD，推出∠3＝∠4，由AD∥BC，得不到∠1＝∠2，故B不符合题意；C．∠A和∠C不是同位角，也不是内错角，由AD∥BC，得不到∠A＝∠C，故C不符合题意；D．∠2和∠3不是同位角，也不是内错角，由AD∥BC，得不到∠2＝∠3，故D不符合题意．故选：A．【举一反三2】如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点E、F，射线EG⊥直线c，若∠1＝30°，则∠2＝°．【答案】60【解析】∵射线EG⊥直线c，∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝60°．故答案为：60．【举一反三3】如图，AB∥CD∥EF，则∠1、∠2、∠3的关系为．【答案】∠1+∠2＝∠3【解析】∵AB∥CD，∴∠1＝∠DCB，∵CD∥EF，∴∠3＝∠DCE＝∠2+∠DCB，∴∠1+∠2＝∠3，故答案为：∠1+∠2＝∠3．【举一反三4】如图，已知AB∥CD，∠C＝35°，BC平分∠ABE，则∠ABE的度数是．【答案】解∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠C＝35°，∵BC平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABC＝70°．故答案为：70°．【题型10】两直线平行同旁内角互补【典例】如图，直线a∥b，将一块含30°的直角三角板按如图方式放置，其中A，C两点分别落在直线a，b上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A.20°B.30°C.40°D.45°【答案】C【解析】∵a∥b，∴∠DAC+∠ACF＝180°，即∠2+30°+∠1+90°＝180°，∵∠1＝20°，∴∠2＝40°，故选：C．【举一反三1】如图，将一张长方形纸片进行折叠，若∠2﹣∠1＝20°，则∠EFC的度数为（）A.130°B.100°C.80°D.150°【答案】A【解析】由题意得：AD∥BC，∴∠1+∠2＝180°，∠DEG＝∠2，∠DEF+∠EFC＝180°，∵∠2﹣∠1＝20°，∴2∠2＝200°，解得：∠2＝100°，∴∠DEG＝100°，由折叠可得∠DEF＝∠FEG，∴∠DEF＝50°，∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝130°．故选：A．【举一反三2】如图，l1∥l2，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为.【答案】100°【解析】∵l1∥l2，∴∠2+∠1+∠3=180°，∵∠1=30°，∠2=50°，∴∠3=100°.【举一反三3】若AB∥CD，BC∥DE，∠B=65°，则∠D的度数为.【答案】115°【解析】∵AB∥CD，∴∠C=∠B=65°，∵BC∥DE，∴∠D=180°-∠C=115°.【举一反三4】如图，一条公路的两侧铺设了两条平行管道AB和CD，如果公路一侧铺设的管道AB与纵向连通管道AC的夹角∠BAC为120°，求公路另一侧铺设的管道CD与纵向连通管道AC的夹角∠DCA的度数.【答案】解∵AB∥CD，∴∠DCA+∠BAC=180°，∵∠BAC=120°，∴∠DCA=60°.【题型11】平行线的性质在生活中的应用【典例】如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE、DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝160°，∠CDF＝150°，则∠EPF的度数是（）A.20°B.30°C.50°D.70°【答案】C【解析】∵∠ABE＝160°，∠CDF＝150°，∴∠ABP＝180°﹣∠ABE＝20°，∠CDP＝180°﹣∠CDF＝30°，∵AB∥CD∥MN，∴∠BPN＝∠ABP＝20°，∠DPN＝∠CDP＝30°，∴∠EPF＝∠BPN+∠DPN＝20°+30°＝50°．故选：C．【举一反三1】如图1为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出的几何模型，若AB∥CD，∠ABE＝125°，则∠BCD＝（）A.55°B.75°C.60°D.65°【答案】A【解析】∵∠ABE＝125°，∴∠ABC＝∠180°﹣∠ABE＝180°﹣125°＝55°，∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD＝55°．故选：A．【举一反三2】共享单车为市民的绿色出行提供了方便.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=α，∠BAC=β，AM∥CB，则∠MAC=.(用含α，β的式子表示)【答案】180°-α-β【解析】∵AB∥CD，∴∠BCD+∠ACB+∠BAC=180°，∵∠BCD=α，∠BAC=β，∴∠ACB=180°-∠BCD-∠BAC=180°-α-β，∵AM∥CB，∴∠MAC=∠ACB=180°-α-β.【举一反三3】探索发现：(1)如图1，已知直线AC∥BD.若∠ACP=30°，∠BDP=45°，求∠CPD的度数；归纳总结：(2)根据(1)中的问题，直接写出图中∠ACP，∠BDP，∠CPD之间的数量关系；实践应用：(3)如图2，水务公司在由西向东铺设供水管道，他们从点A铺设到点B时发现了一个障碍物，不得不改变方向绕开障碍物，计划改为沿南偏东30°方向埋设到点C，再沿障碍物边缘埋设到点D处，测得∠BCD=65°.若要恢复原来的正东方向DE，则∠CDE应等于多少度？【答案】解(1)过点P作PQ∥AC，如图1所示，∵PQ∥AC，AC∥BD，∴AC∥PQ∥BD，∴∠CPQ=∠ACP，∠DPQ=∠BDP，∴∠CPQ+∠DPQ=∠ACP+∠BDP，即∠CPD=∠ACP+∠BDP，∵∠ACP=30°，∠BDP=45°，∴∠CPD=∠ACP+∠BDP=75°.(2)由(1)得∠ACP，∠BDP，∠CPD之间的数量关系为∠CPD=∠ACP+∠BDP.(3)如图2，过点D作DF⊥DE，过点B作MB⊥AB，则BM∥DF，∠EDF=90°，由(2)得∠BCD=∠CBM+∠CDF，∵∠BCD=65°，∠CBM=30°，∴∠CDF=35°，∴∠CDE=∠CDF+∠EDF=125°.【举一反三4】如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时扶手AB与支架OE的夹角∠AOE和扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数．【答案】解∵扶手AB与底座CD都平行于地面，∴AB∥CD，∴∠ODC＝∠BOD＝32°，又∵∠EOF＝90°，∴∠AOE＝58°，∵DM∥O