高一上学期期末数学复习知识点与提纲

高一上学期期末数学复习知识点与提纲一、集合集合是高中数学的入门知识，也是整个数学体系中最基础的概念之一，它为后续学习函数等内容提供了语言和工具。1.1集合的概念与表示*集合的定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。集合中的每个对象叫做这个集合的元素。理解集合元素的确定性、互异性、无序性是判断能否构成集合及处理集合问题的前提。*元素与集合的关系：属于（∈）与不属于（∉）。*集合的表示方法：*列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来。适用于元素个数有限或元素间有明显规律的集合。*描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，形式为{x|P(x)}，其中x是代表元素，P(x)是元素x所满足的条件。理解并能准确运用描述法是重点。*图示法（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部代表集合，直观形象，常用于解决集合间的关系和运算问题。*常用数集的符号：自然数集N，正整数集N*或N+，整数集Z，有理数集Q，实数集R。务必准确记忆。1.2集合间的基本关系*子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。*真子集：如果A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A）。*集合相等：如果A⊆B且B⊆A，那么A=B。*空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。这一点极易忽略，需特别注意。1.3集合的基本运算*交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。*并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。*补集：设U是一个全集，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集，记作∁UA，即∁UA={x|x∈U且x∉A}。理解全集的相对性。*运算性质：如交换律、结合律、分配律、德摩根定律等，需理解并能运用。小结与提示：集合部分概念较多，符号易混淆，复习时要紧扣定义，多做对比，通过具体实例加深理解。注意区分“包含于”与“属于”，以及各类运算的本质含义。二、函数概念与基本初等函数I(指数函数、对数函数、幂函数)函数是高中数学的核心内容，贯穿始终。这部分内容概念抽象，综合性强，是期末考试的重点和难点。2.1函数的概念及其表示*函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。理解“非空数集”、“任意”、“唯一确定”是关键。*函数的三要素：定义域、对应关系、值域。其中定义域和对应关系是决定因素。*函数的定义域：使函数有意义的自变量的取值范围。常见类型：分式分母不为零；偶次根式被开方数非负；对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；零次幂的底数不为零等。实际问题还需考虑实际意义。*函数的值域：函数值的集合。求值域的常用方法：观察法、配方法、换元法、单调性法、分离常数法等。*函数的表示方法：解析法、列表法、图象法。解析法要注意分段函数，其定义域是各段定义域的并集，图象是各段图象的组合。*分段函数：在定义域的不同子集上，对应关系用不同解析式表示的函数。分段函数是一个函数，不是多个函数。*复合函数：理解形如f(g(x))的函数构成。2.2函数的基本性质*单调性（增减性）：*定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（或f(x1)>f(x2)），那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。*判断方法：定义法（取值、作差/作商、变形、定号、下结论）、图象法、复合函数单调性法则（同增异减）、导数法（高一暂不要求，但可了解思想）。*几何意义：函数在单调递增区间上的图象是上升的，在单调递减区间上的图象是下降的。*注意：单调性是函数的局部性质，谈论单调性必须指明区间。*奇偶性：*定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。*定义域特征：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。*判断步骤：先看定义域是否关于原点对称，再验证f(-x)与f(x)的关系。*图象特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称。*性质：奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0。*最值：函数在给定区间上的最大值和最小值。求最值的常用方法：利用单调性、配方法、图象法等。2.3指数函数*有理数指数幂：*根式：如果xn=a，那么x叫做a的n次方根。理解n次方根的性质，会进行根式与分数指数幂的互化。*分数指数幂：a^(m/n)=n√(a^m)(a>0,m,n∈N*,n>1)；a^(-m/n)=1/(a^(m/n))(a>0,m,n∈N*,n>1)。*幂的运算性质：am·an=am+n；(am)n=amn；(ab)n=anbn(a>0,b>0,m,n∈Q)。*指数函数的概念：一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。理解底数a的取值范围规定的原因。*指数函数的图象和性质：*图象：过定点(0,1)。当a>1时，图象在R上单调递增；当0<a<1时，图象在R上单调递减。*性质：定义域、值域、单调性、奇偶性（非奇非偶）、特殊点。务必结合图象记忆性质，并能比较大小、解不等式。2.4对数函数*对数的概念：如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。其中a叫做对数的底数，N叫做真数。规定N>0。*对数的性质：loga1=0；logaa=1；alogaN=N；logaab=b。*对数的运算性质：如果a>0,且a≠1,M>0,N>0，那么：*loga(M·N)=logaM+logaN；*loga(M/N)=logaM-logaN；*logaMn=nlogaM(n∈R)。*换底公式：logab=logcb/logca(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)。常用推论：logab·logba=1；logambn=(n/m)logab。*对数函数的概念：一般地，函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+∞)。*对数函数的图象和性质：*图象：过定点(1,0)。当a>1时，图象在(0,+∞)上单调递增；当0<a<1时，图象在(0,+∞)上单调递减。*性质：定义域、值域、单调性、奇偶性（非奇非偶）、特殊点。与指数函数对比记忆，理解它们之间的关系。*指数函数与对数函数的关系：互为反函数。它们的图象关于直线y=x对称。2.5幂函数*幂函数的概念：一般地，形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中α为常数。*常见幂函数的图象和性质：重点掌握α=1,2,3,1/2,-1时的幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x^(1/2),y=x^(-1)的定义域、值域、奇偶性、单调性及图象特征。*幂函数的性质：根据指数α的不同取值（正整数、负整数、分数等），幂函数的定义域、奇偶性、单调性会有所不同，要能总结规律。2.6函数与方程*函数的零点：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。函数的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。*函数零点的判定定理（零点存在性定理）：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0。*二分法：了解二分法是求方程近似解的一种常用方法，其原理基于零点存在性定理。小结与提示：函数部分是重中之重。复习时要深刻理解函数的定义，熟练掌握定义域、值域的求法，透彻理解并能灵活运用函数的单调性、奇偶性等性质。指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质是核心，要数形结合，对比分析，理解它们之间的联系与区别。注意知识的综合运用，如利用函数性质比较大小、解不等式、求最值等。三、三角函数三角函数是一类重要的基本初等函数，它以角为自变量，在解决几何、物理等问题中有着广泛应用。3.1任意角和弧度制*任意角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。按旋转方向分为正角、负角和零角。*象限角：在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。终边在坐标轴上的角不属于任何象限。*终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}(角度制)或S={β|β=α+2kπ,k∈Z}(弧度制)。*弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。*角度与弧度的换算：180°=πrad。掌握常见角度与弧度的互化。*扇形的弧长与面积公式：弧长公式l=|α|·r；面积公式S=(1/2)l·r=(1/2)|α|·r²(其中α为圆心角的弧度数，r为半径)。3.2任意角的三角函数*三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（除端点外）的坐标是(x,y)，它与原点的距离是r(r=√(x²+y²)>0)，那么：*正弦sinα=y/r*余弦cosα=x/r*正切tanα=y/x(x≠0)*余切cotα=x/y(y≠0)(了解)*正割secα=r/x(x≠0)(了解)*余割cscα=r/y(y≠0)(了解)*三角函数值在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦。*单位圆与三角函数线：了解单位圆中的正弦线、余弦线、正切线的概念，能用三角函数线表示三角函数值，理解其几何意义，并能用于比较大小、解简单的三角不等式。*同角三角函数的基本关系：*平方关系：sin²α+cos²α=1*商数关系：tanα=sinα/cosα(cosα≠0)*这些基本关系是进行三角恒等变形的基础，要能熟练运用（正用、逆用、变形用）。3.3三角函数的诱导公式*诱导公式的本质：将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值。*诱导公式的记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。理解“奇”、“偶”指的是k·π/2+α中k的奇偶性；“变”与“不变”指的是函数名称的变化；“符号看象限”指的是把α看成锐角时，原函数值的符号。*常用诱导公式：包括-α，π±α，2π±α，π/2±α，3π/2±α等角的三角函数与α的三角函数之间的关系。要熟练掌握，准确运用。3.4三角函数的图象与性质*正弦