自动控制理论及应用 习题解答 第7章

习题7答案

7-1

解：（1）部分分式法。

111zz

Rz)=Z—z

(s+〃)(5+b)a-hs+bs+a

Tz

(2)查表法。F(z)=Z[r]=Z

(2-I)2

1

(3)部分分式法。=(1-v--+

s5+1

Tzzl-(T+l)e"+(T-l+e")z

F(z)=(l-z-')----77-----7+

[(z-1)一z-lz2-(\+e-T)z+e-T

(4)部分分式法。F（5）=（5+3）（—

sI2

z[z+(e-T-2e-2T)']

e-z

+7^z2-(e-T+e~2T)+e-iT

查表法。F(z)=-^-

(5)仃）

(z-e2

7-2

解：（1）由初值定理

Z+Z'+Z'

/(O)=limF(z)=iim—.,=1

2Z4+0.2Z3+Z2+0.36Z+0.8

F（z）的4个极点中有2个位于单位圆上，求终值没有意义，终值不存在。

（2）由初值定理

「仆I-r-zX1-Z+0.3Z+0.I

/(O)=limF(z)=hm-T~~2~77=。

-838z—4.2z+5.6z+2.4

产（z）的3个极点中有2个位于单位圆外，求终值没有意义，终值不存在。

7-3

解：（1）用部分分式展开法求Z反变换，为了能在Z变换表中找到相应的F（z）形式,

需将F（z）表达为如下形式:

F(z)8/71/7

,WF(z)=—x-----x---

z(z-O.8)(z-O.l)z-0.8z-O.l7z-0.87z-O.l

查表得:

O£1£Q1

/(O=-xO.8?--xO.r,f(nT)=；。8)"--(0.1)%

所以/・(/)=之之-(0.8)n--(0.1)w8(t-nT)

«=i*=i|_77.

(2)用留数法。

/(")=ZResJ(Z)Z”T]=ZRcs

1d2z"z"

=---------lim—(z-1)---------；---------+lim(z-2)--------；---------

(2-1)!3dz(z-l)2(z-2)(Z-1)2(Z-2)

zz..

lim—--------+lim--------r=lim+2"

dz(z-2)Ji2[(z-l)-J二Tl

=一〃一1+2"

所以，/⑴=力/（“）6（.叫垃（_”i+

n=0n=0

7-4

解：（1）用递推方法求解差分方程，由原差分方程有

/(〃+2)=-3/(〃+1)-2/(〃)

当〃=0时，有/(2)=-3/(1)-2/(0)=-3xl-2x0=-3

当刀=1时,有/(3)=-3/(2)-2/(1)=-3x(-3)-2x1=7

当〃=2时，有/(4)=-3/(3)-2/(2)=-3x7-2x(-3)=-15

(2)用Z变换方法解差分方程。

[z2F(z)-z2/(0)-zf(l)]+3[zF(z)-2f(0)]+2F(z)=0

代入初始条件进行整理得

(z?+3z+2)F(z)=z

m、ZZzz

r(z)=—：-------=-----------=-----------

z~+3z+2(z+l)(z+2)z+1z+2

进行Z反变换得:/,(/)=£[(-1)"-(-2)[次/-⑺

n=0

7-5

解：对差分方程取Z变换（考虑零初始条件）得:

z

(z2+2z+l)r(z)=Z[r(w)]=

(2-I)2

zz

K(z)=

(Z-1)2(Z2+2Z+1)(Z-1)2(Z+I)2

用留数法求其Z反变换:

z,

y(z)zrt-,

(z+I)2(z-l)2

极点z=l和z=-l均为二重极点，其留数分别为:

Zn-1

Res[r(z)zw-,J(z-i)2-

(z+l)2(z-l)2~T~

(1一〃)(一1)”

Res[y(#L=lim—(z+

ildz(z+l)2(z-l)~T~

根据留数定理

n-\一〃)(一n-\

M7)=»Res[y(z)z“TL=-------1--(-1-----------1-)-"=

444

所以：/(r)=£—[1-(-1)a]^-nT)

n=O4

采样时刻的值为

e(0)=0,H1)=O,H2)=0,H3)=。e⑷=0,e(5)=2,e(6)=0…

7-6

解：对于图（a）系统有

10K11

G(z)=Z=KZ

5(5+10)s+10_

z(l-e-,or)Kz

=K

z-1z-e-,or(z-l)(z-e-,0T)

对于图（b）系统，则有

10K10

G(z)=Z=K(\-z-')Z

5(5+10)$2($十10)

1

=K-Z

z5(5+10)

Tz(1—H所”

K—

z(z-1)210(z-l)(z-e-10r)

T(l-e-,or)

=K

z-110(z-e-,0r)

K(107-1+e-l0T)z+(\-e-'0T-10Te~'OT)

10

图（b）系统只是在图（a）系统基础上加了零阶保持器。比较两个系统的脉冲传递函数

可以看出：引入零阶保持器并不增加系统的阶次，也不改变系统极点，只影响系统的零点。

解：（1）图（a）系统

G（z）6（z）GI/?（z）

1+G2（Z）G,G3//（Z）

此系统的闭环脉冲传递函数表达式写不出来，但有了y（z）仍可以由z反变换求输出采

样信号

（2）图（b）系统

E(z)=R(N)—H(z)r(z)=R(z)-H(z)G⑶E(z),即E(z)=-------------R(z)

I+G(z)H(z)

y(z)=G(z)E(z)=।廿)R⑵

l+G(z)H(z)

y(z)=G(Z)

所以G,(z)

布-l+G⑶〃(z)

（3）图（c）系统

由G(s)=I。=]0]--一—,求拉氏反变换，有g（f）=10（l-eD，由Z变换，得

5(5+1)\S5+1

lOzG-e-1)

G(z)=10

(z-l)(z-e-')

y(z)_G(z)10z(l-e,)

G,.(z)=

R(z)1+G(z)(z-l)(z-e'l)+l0z(l-e-1)

6.32z

Z2+4.952Z+0.368

7-8

解：依据结构图

E,(z)=//1GI(z)[E(z)-El(z)],即3)=」空)、E⑶

E(Z)=R(Z)-H2(Z)Y(Z)

r(z)=G1(z)[E(z)-E,(z)]

=G(Z)[E(Z)--E(z)

L1+〃£U)

G"z)

E(z)

l+MG(z)

G(z)

[R(Z)-H2(Z)Y(Z)]

1+"")

所以［"露器

y(z):q⑶R(z)

l+MGQ)

小z)

y(z)=1+H£(z)

得到:。⑵

而一]।G(z)国'-I+”,G(Z)+G(Z)H,(Z)

l+"£(z)

7-9

解：用劳斯判据・，将z=包里代入特征方程得

co-\

-inf—Y4-119(-1-39=0

\co-\J\<y-17\fw-l7

整理后得到：。(⑼=33+21+20+40=0

列劳斯表:

M2

(O240

2x2-401O

(O---------=-1o

2

(丁40

表中第1列元素变号2次，说明有2个根在右半/平面，也即有两个根在Z平面单位

圆外，所以系统不稳定。

7-10

解：可利用/域劳斯判据进行判稳。

(1)K=10时系统开环脉冲传递函数为:

=K(\-z-l)Z-4--+—=K(\-z-l)——--—+^-

|_ss5+1J[(z-1)2z-lz-e-'

A：(0.368z+0.264)_10(0.368z+0.264)

(z-l)(z-0.368)-(z-l)(z-0.368)

系统的特征方程为l+G(z)=0,即

z2+2.31z+3=0

解得闭环特征根为Z1,二-L16士jl.29,位于单位圆外，故系统不稳定。

(2)求临界放大系数。系统的特征方程为：z2+(0.368AC-1.368)z+0.368+0.264/：=0

利用。域劳斯判据进行判稳，令2=丝里，有

+(0.368K-1.368)竺I+0.368+0.264K=0

即：0.632K苏+(1.264-0.528K)G+(2.736-0.104K)=0

列写劳斯表

0.632K2.736-0.104^

1.246-0.528

2.736—0.104K

系统稳定的条件为

0.632K>0

L246-0.528K>0

2.736-0.104A：>0

解得0<Kv2.36,即当K=2.36时系统临界稳定。

7-11

解：(1)求使系统稳定的K值范围。

求数字控制器脉冲传递函数，由数字控制器差分方程

e2(k)=e2(k-l)+e,(k)

利用实数位移定理对其进行Z变换，得

E2(Z)=Z~'E2(Z)+E,(Z)

系统开环脉冲传递函数为:

G。)=。(同千*卜言(z”［高

K(l-e-T)z_0.632KZ

~(z-l)(z-e-r)~(z-l)(z-0.368)

系统的闭环特征方程为l+G(z)=0,即

z2+(0.632K-1.368)z+0.368=0

利用。域劳斯判据进行判稳，令z=",有

I

3+1、

+(0.632K-1.368)+0.368=0

<v-l>\-1/

即：0.632K苏+1.264。+(2.736-0.632K)=0

列写劳斯表:

/0.632K2.736-0.632K

J1.246

5°2.736-0.632AT

系统稳定的条件为：

0.632K>0

2.736-0.632AT>0

即0<K<4.33。

(2)求系统的稳态误差。

K.=lim(z-l)G(z)=lim(z-1)-----0632Kz——=长

~(z-lXz-0.368)

在单位斜坡信号作用下的稳态误差为

T

e=—=1=1

“K、K

7-12

解：系统开环脉冲传递函数为

KKz(l-e")

G(z)=Z

s(s+1)(z-1)(2-e")

闭环特征方程为:

D(z)=(z-l)(z-e-T)+Kz(l-e-r)

=z2+[(\-e-T)K-(\+e~r)]z+e-T=0

利用3域劳斯判据进行判稳，将z="代入特征方程，经整理可得

(O-I

+2/+|'生土Q—K"|=()

\-e-T

令式中各项系数均大于零，得

2(J+e")

0<K<

1-

图1题7-12的系统采样周期了与放大系数K的关系曲线

由图1可见，采样周期增加对系统稳定性不利。

7-13

解：考虑7=0.2,系统开环传递函数为

1-rz-7xrz/i-Tv\-Tx

〜、1-eKeAd-c)e

G(s)=------------=-------；------

sss~

G(z)=Z[G(s)]=K(lzT)zTz[(]

Tz_KT

=K(\-z-')z-l

(Z-I)?一Z(Z-1)

系统型别为1型。

闭环特征方程为：Diz)=Z2-Z+KT=Z2-Z+0.2K=0

为使系统稳定，需要闭环特征根在Z平面上单位圆以内。

1±Vl-4xlxO.2K1土，I-().XK

2x1~2~

得到：ViFNvl,解得使系统稳定的K值范围：0<Kv5。用静态误差系数法求稳

态误差

KT

Kn=limG(z)=lim------=co

〃“I2(Z-I)

^=lim(z-l)G(z)=lim—=KT

vz->lz->lz

?T111

所以e“=--—+—=0+--—,令/=一<0.25>得出：K>4«

ss

1+K”KvKKK

考虑稳定性，K值选择范围为(4,5)。

7-14

解：根据结构图上误差的定义，求系统的开环传递函数

z（一F）KK(l—zfZ4

G⑶①二——

Ts1+0.5K(1-ZT)Z4

E⑶l+Z0.5Ks(\-e-)

1T

；KT2(Z+])

3(一舟-2―]

将K=10,7=0.2代人得

系统型别为1型。系统闭环特征方程为：

D(z)=z(z-1)+0.2(z+1)=Z2-0.8Z+0.2=0

22

解得根为:Ze=0.4土j0.2,|z,2|=Vo.4+0.2=0.447<1

系统稳定,用静态误差系数法求稳态误差:

0.2(z+l)

K〃=limG(z)=lim-------------------=00

z->lAlz(z-l)

Kv=lim(z-l)G(z)=lim'"*"=04

ZTIZ->IZ

K“=lim(z-1)2G(z)=lim02z+D(z-D=。

［（/）=】（/）时，=—!—=o

1-rA

,、u,70.2…

与(/)=/时，^2=—=—=0.5

U.4

])『

G⑺=7/时，％3==8

2

7-15

解：对于图（a）系统,开环脉冲传递函数为

K(ll)z0.632Kz

G(z)=Z=K

5(5+1)(z-i)(z-e-T)(z-l)(z-0.368)

绘制根轨迹，求分离点

II1

~d^\--0.368-2

即d2=0.368,得九=±0.607,对应分离点处的K值为

|0.607-1||0.607-0.368|

=0.2448

0.632x|0.607|

|-0.607-1||-0.607-0.368|

K&=-=--4-.-0--8-4-------------------

0.632x|-0.607|

与单位圆交点在(-1J0),对应K值为

|-1—1||—1—0.368]

'0.632x|-l|-=4.329

画出根轨迹如图2所示，系统动态性能的变化趋势可表示如下:

Im

图2题7-15(a)的系统Z域根轨迹

OvK<02448时，系统稳定,单调收敛；

0.2448vK<4.084时，系统稳定，振荡收敛，随K值增大，收敛速度相同，振荡频率

增加;

4.084VK<4.329时,系统稳定,正负交替，振荡收敛;

4.329<8-8时,系统不稳定，正负交替，发散振荡。

对于图(b)系统，开环脉冲传递函数为

\-e-TsK

G(z)=Z-------•-------

S5(S+I)

K[(T-\+e-T)z+(\-e-T-2)]

(Z-l)(Z-6>-f)

0.368K(z+0.718)

(z-l)(z-0.368)

绘制根轨迹，求分离点：—+—!—=—!—

d-\d-0.368J+0.718

即42+1.436〃-1.3502=0,得4=0.648,d2=-2.084

4对应的K值为

lJj-llp.-0.368l

=0.196

0.368同+O718|

复平面的根轨迹是以(-0.718,j0)为圆心的圆，其半径为

0.648-(-2.084)

A=-----------------------=Uoo

2

确定根轨迹与单位圆的交点z人的坐标(x+jy)。2八点坐标应满足

x2+y2=]

(x+0.718)2+y2=1.3662

联立求解得：z4=x+jy=0.244+j0.97

，士口|z,-lllz,-03681

对应的K值为：K*二/八八。二2.39

40.368|z^+0.718|

画出根轨迹如图3所小，系统动态性能的变化趋势可表小如卜:

图3题7-15(b)的系统Z域根轨迹

0<K<0.196时，系统稳定，单调收敛；

0.196<K<2.39时，系统稳定，振荡收敛，随K值增大，振荡频率增加，收敛性变差；

2.39vK—>8时，系统不稳定，振荡发散。

比较两个系统可见，引入零阶保持器后，由于零阶保持器的滞后作用，使系统稳定的K

值范围减小，从4.329变为2.39,阶跃响应振荡性加剧，因此从理论上讲，引入零阶保持器

对改善系统动态性能不利，

7-16

解：系统被控对象的脉冲传递函数为:

]0.632z

G(z)=Z

5(s+I)(z-l)(z-0.368)

根据最小拍系统的设计理论，有

Z-I(2-z")Z-I(2-Z”)3.165(z-0.5)(z-0.368)

6（z）=

(1—Z-，2G(z)=°h|)20-632z=z(z-l)

(z-l)(z-0.368)

系统响应只需要两拍即可进入稳态。

7-17

解：（1）系统的矩阵是友矩阵形式，因此系统的特征方程为:

3m

z-----z=0A

2

可知特征根为4=0,z23=±J-,因此只有Ov〃2<2时，系统稳定。因为根为整数，所以

in=\o此时系统的状态空间表达式为:

0I

x(k+1)=00

01/2

y(A)-[21l]xW

（2）用迭代法求解

01

x(l)=00

01/2

01

x(2)=00

01/2

>'(2)=[2Il]x(2)=-14.5o

0

(3)G(z)=^=[2II]-z/-00

U(z)

01/2

7-18

解：（1）离散系统的状态空间表达式为:

xjk)0

+]〃(&)

_%2伏)_

1

G=,h=，C=

0.5().510

系统的脉冲传递函数矩阵:

4z-6

112

C^lfFl11r-0-51V「0]4Z-6Z+3

G(z)=C(z/-G)-%=

IOj-zl-1().50.5\)•=-2

_4Z2-6Z+3.

(2)系统矩阵的特征方程为：|Z/—G|=4Z2—6Z+3=0,可得马,2=当飞，kJ<l，

故系统稳定。

(3)首先由系统的能控性矩阵

r】「0-0.51

rank2=rank[/iGh\=rank[=2

可判定被控对象能控，可以通过状态反馈控制实现极点的任意配置。令

〃(左)=-Kixi(k)-K2x2(k)=-Kx(k)

其中状态反馈矩阵K为：

K=[&KJ

$(k+l)-0.5A,(A)

x(4+l)=

[K{x}(k)+K2x2(k)]

F(k+1)0.50.5/伏)

-0.5百(口

().50.5—K?x?(k)_

特征方程为:

2

Z+(K2-\.5)Z+0.75-0.5%-&=0

期望的特征多项式为:

^>*(z)=z2-0.5z+-

16

根据同类项相等:

《一1.5=-0.5

3

0.75—0.5(—K,=—

1216

关于感和勺的方程是线性的,因此求得:

K'=-l

K2=\

7

因此状态反馈矩阵K=~

O

7-19

5「。1]「11r]

解：A=,h=>c=[011>

-4oj|_ojL」

(1)状态转移矩阵为:

1

s-1s2+452+4cos2i-sin2/

=r'[(5/-.4)-1]=r'r2

43-4s