一线三等角构造相似模型（含解析）

专题18一线三等角构造相似模型

I.如图，D、E、尸分别是等腰三角形ABC边BC、CA.上的点，如果AB=AC,BD=2,

3

CD=3,CE=4,AE=Q,NFDE=NB,那么4F的长为（）

2.如图，在矩形ABC。中，E,F,G分别在AB,BC,C。上，DEkEF,EF±FG,

RE=3,RF=2,FC=6,则DG的长是（）

D.5

3.如图，正方形ABC。的边长为4,£是8C上一点，过点E作交。C于点F,

连接AF,则A/的最小值是（）

A.5B.77C.2x/2D.3

4.如图，正方形A8C。中，AB=\2,=点P在上运动（不与3、。重合）,

过点尸作交。。于点。，则CQ的最大值为（）

2026-2027学年

A.6B.2C.3D.4

5.如图，在矩形A8CO中，点E,F,〃分别在边ABBC,4）上，四边形EFG”由两个

正方形组成，若*AH=2,则线段BC的长为（）

A.4B.4.5C.5D.5.5

6.如图，面枳为36的止方形A8C'。中，有一个小止方形EFGH，其中石、尸、G分别在AB,

BC,广。上，若3b=2,则小正方形的边长为（）

8m

—

7.如图，四边形ABCD中，AB〃CD,ZC=90°,AB=I,CD=2,BC=3,点P为BC

边上一动点，若AP_LDP,则BP的长为

8.如图，的三个顶点分别在等边A3C的三条边上，BC=4,ZEDF=90°,=75,

则。尸长度的最小值是

A

9.如图，矩形A3CZ）中，入。=6,CD=1,E为A。上一点，且AE=2,点尸、“分别

在边A/八。。上，四边形E尸GH为矩形，则当."GC为直角三角形时，A尸的值是

10.如图1,在矩形/WCD中，AD=5,AB=6.第一步，如图2,在CO边上找一点E,

将矩形沿4E折叠，点。落在AB边上点尸处；第二步，如图3,在A8上找一点M,将一CM8

11.如图，正方形A3。的边长为3,线段长度为3,图①所示为线段E尸的初始位置,

点E与点A重合，点厂与点3重合.过点尸作/G_L£尸，交。。于点G,过点E作EH1OC

于点如图②，在保证线段长度不变的前提下，点E沿AB向下滑动，当点尸移动至

线段的三等分点时，线段G"的长度为

A(E)D(H)

研图①浜）

12.（2017丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中,直线产分别交x轴,y轴于A,B

两点，已知点C（2,0）.

2026-2027学年

(I)当直线AB经过点。时，点。到直线人8的距离是—；

(2)设点P为线段OB的中点，连结％,PC,若NC方=N/WO,则〃?的值是

三.解答题(共9小题)

4

13.如图，正方形4BCD中，点E在8C边上，且AE_LEF,若BE=2,CF=y,求正方形

ABC。的边长.

14.如图，在等腰直角△ABC中，N84C=90。，AB=4C,点/)、石分别在边BC、4c上,

连接A。、DE,有N4DE=45。.

证明：iBDAs^CED.

(2)若8C=6,当AE=E。时，求8。的长.

15.如图，等边..A4C的边长为3,P为BC上一点,且8P=1,。为AC上一点，ZAPD=60°.

(1)求CO的长；

(2)PD可以垂直4c吗？如果不可以，请说明理由，如果可以，请求出的长.

D

BpC

16.如图，在等边三角形ABC中，点。，E分别在BCA8上，且NAQE=60。.求证:

RADCs^DEB.

17.如图，等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，ZADE=60°

(1)求证：△ABD^ADCE；

4

(2)若BD=4,CE=-,求△ABC的边长.

3

18.如图，AB=9,AC=8,P为A8上一点，ZA=NCPD=/B,连接。.

(1)若AP=3,求80的长；

(2)若CP平分/AC。，求证：PD?=CDBD.

19.如图，四边形4/3OC为矩形，AB=4f4C=3,点必为边44上一点(点M不与点A、

B重合)，连接CM，过点M作MMLMC,MN与边BD交于点N.

2026-2027学年

(1)当点M为边A6的中点时，求线段0V的长；

(2)直接写出：当ON最小时AM/VB的面积为.

20.已知，在A48C中，ZA=90°,AB=AC=5,在人B、AC上分别取点。、E,若40=1,

且能在8c上找到点2使皿石=45。，求AE的取值范围.

21.如图I,在矩形/WCZ)中，AA=4,8C=6.点E是线段W上的动点(点E不与点4,

⑴求证：AEFsDCE；

(2)如图2,连接CT,过点8作8GJ_b,垂足为G,连接AG.点M是线段8C的中点，连

接GM.

①求AG+GM的最小值；

②当八G+GM取最小值时，求线段/)E的长.

参考答案:

i.c

【分析】由AE和CE的长可求出AC的长，因为AABC是等腰三角形，所以A8=4C,若要

求AF的长，可求出3〃的长即可.而通过证明△O"sZ\EC。即可求出8尸的长，问题得

解.

【详解】解：・・・A8=AC,

/.ZB=ZC,

NBFD=180°・NB-NFDB,ZEDC=180°-ZFDE-ZFDB,

又,：4FDE=/B,

；・NBFD=NEDC,

:.ADBFSAECD,

:.BD：CE=BF：CD,

,:BD=2,CD=3,CE=4,

A2：4=BF：3,

：,BF=\.5,

3

VAC=AE+C£=-+4=5.5,

2

・・・AB=5.5,

：.AF=AB-BF=5.5-1.5=4,

故选C.

2.B

【分析】证明;上FBs/GC,硼，根据相似三角形的性质得出8=4,AE=y,

进而求得A8,即可求解.

【详解】解：•."，所，

;.NEFB+/GFC=90P,

四边形A8CD为矩形，

.•.NA=N8=NC=90。，AB=CD,

:.NGFC+NFGC=90°,

:.ZEFB=NFGC,

;.AEFBS-FGC,

2026-2027学年

BEBF

••----=-----9

FCCG

'/BE=3,BF=2，FC=6，

.32

6CG

.•.CG=4,

同理可得ZMEsEBF,

ADAE

••—，

BEBF

・.,8一=-A-E,

32

-16

AE=—,

3

iA

:.BA=AE+BE=—+3=—

33f

'.DG=CD-CG=—-4=—.

33

故选:B.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握相似三角形的性质与判定

是解题的关键.

3.A

【分析】先利用等角的余侑相等得到加上N8=NC=90。，然后根据相似

三角形的判定方法得到设跖=x,则CE=4-x,由于△4BES/\EC凡则利

用相似比可表示出乂上⑹，根据二次函数的性质可判断当x=2时，CF取最大值1,

4

此时。尸有最小值3,接着利用勾股定理得到AF=JQq+4?,从而可确定A"长度的最小

值.

【详解】•・•四边形ABCO是正方形，

/.Zfi=ZC=90n,

・・・N8AE+N8E4=90。，

\'EF±AE,

JZAEF=90°,

ZBEA+ZCEF=9()°,

：・NBAE=NCEF,

又♦••/8=NC'=9(T,

:.△ABESXECF、

设BE=x,则CE=4-X,

'：△ABESXECF,

.BEABx4

••9KJ,

CFCECF4-x

：.CF=^1=-L(X-2)2+1,

44

当x=2时，。/取最大值1,此时。尸有最小值3,

*.*在RsADF中，AF=RDF2+AQ?=〃)尸+4?，

・••当。尸=3时，A尸取最小值，A尸的最小值为疹不=5,

・・・A/长度的最小值为5.

故选：A

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形

中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的

性质进行几何计算.也考查了二次函数的性质和正方形的性质.

4.D

【分析】根据已知条件以及正方形的性质得出BE=9,证明,即列S“CQQ,设BP=X，则

CP=8C-3P=12-x,根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：四边形A8CO是正方形，

/.ZB=ZC=90°,AB=BC=\2,

;.NBEP+NEPB=，)°,

•・•AE=-ABt

4

AE=3,

:.BE=AB-AE=9,

设8P=X,则CP=8C-BP=12-x,

PQLEP,

;.NEPQ=*)。,

二NEPB+NQPC=9(F,

:.NBEP=NQPC,

iBPES'CQP,

2026-2027学年

BPBE

~CQ~~CPf

工二9

CQ~\2-x

.•.当x=6时，CQ的最大值为4,

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，掌握相似三角形的性质与判

定是解题的关键.

5.B

【分析】由四边形EFGH是由两个正方形组成可得/FEH=90。,即得NBEF+ZAEH=90°,

然后由/BEF+ABFE=900得至ljZBFE=ZAEH,再结合矩形ABCD中N8=NA=90。得证

.RFEs,AFH,设小正方形的功长则所=2x,利用勾股定理用含有x的式子表

示BE、4笈的长，然后借助相似三角形的性质求得x的值，然后利用相同的道理得到

△GFCs-A即求得CG和FC的长，进而得到8c的长.

【详解】解：•・•四边形日是由两个正方形组成，

・•・4FEH=乙EFG=ZFGC=90°,EF=2EH,

・•・/BEF+ZAEH=/BFE+ZGFC=90°,

•/ZBEF+ZBFE=ZCFG+ZFCG=9()°,

JZBFE=ZAEH=ZFCG,

*/矩形ABCD中NA=N4=90。，

・••BFEsAEHS^GCF,

.BEBFEF今BFBEEF

♦•===2,==,

AHAEEHCGFGCF

,:BF=AH=2,

ABE=2AH=2x2=4,AE=?BF=g?2I,

22

:,EH=FGEAERAH?=后3=75，

/.EF=2EH=2非,

,,BEEF

•RC-CT7.

.42石

・飞二可

/.CF=2.5,

/.BC=BF+CF=2+2.5=4.5,

故选:B.

【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是

通过矩形EFGH是由两个正方形组成得到43瓦'和AAEH的相似比.

6.A

【分析】先根据正方形ABCD的面积为36,求得大正方形的边长；利用“一线三等角“证得

ZBEF=ZCFD,进而得△BEFSACFD,利用相似三角形的性质求得BE；再利用勾股定

理求得正方形EFGH的边长即可.

【详解】解：•・•正方形ABCD的面积为36

ABC=CD=6,

VBF=2,

ACF=4,

•・•在正方形ABCD和EFGH中ZB=ZC=ZEFG=90°,

/.ZBEF+ZBFE=90°,ZCFD+ZBFE=90°,

BEF=NCFD,

/.△BEFsMFD,

・BE_CF

~BF~~CD'

.BE4

••=-9

26

4

，BE=一，

3

・••在RsBEF中，由勾股定理得：

EF=>]BE2+BF2=旧+4=,

・•・小正方形的边长为逅.

3

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理在计算中的应用，

掌握以上知识是解题的关健.

2026-2027学年

7.1或2

【分析】设BP=x，则PC=3-x,根据平行线的性质可得/B=9()。，根据同角的余角相等可得

ZCDP=ZAPB,即可证明△CDPS/XBPA,根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可

得答案.

【详解】设BP=x,则PC=3-x,

VAB/7CD,ZC=90°,

.,.ZB=1800-ZC=90°,

AZB=ZC,

VAPIDP,

/.ZAPB+ZDPC=90o,

ZCDP+ZDPC=90°,

AZCDP=ZAPB,

AACDP^ABPA,

.ABPB

''~PC~'CD，

VAB=1,CD=2,BC=3,

.1x

..--------=—,

3-x2

解得：X1=1,X2=2,

・・・BP的长为1或2,

故答案为：1或2

【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是

解题的关键.

8.3亘历

77

DF1

【分析】过点尸作"/工BC,垂足为，，证明八4所根据(:5/门笛二音二二，

Eb2

A产

得出寿=2,设CO=a,则Ab=2a,在RtZXCa/,RtADFH中,勾股定理求得

AW,DF2=7(r/-y)2+y,根据二次函数的性质得出。尸的最小值，进而即可求解.

【详解】解：过点F作FH1BC,垂足为“,

A

DEr-

NEDF=90°,tanZEFD=^=>/3,

Dr

「.NOT)=60。，

:.ZAFE+^DFC=\2OPf

•.•△ABC是等边三角形，

/.ZC=Z4=60°,AC=BC=4,

:.ZAFE+ZAEF=\2(r,

ZAEF=NDFC,

AEF^：.CFD,

.AFEF

"~CD~~DF'

vZEDF=9O°,NETT)=60°,

「人DF1

/.cosZ.EFD==—,

EF2

AF

・,・=92,

CD

设CO=a,则4/二2。，

:.CF=AC-AF=4-2^it

在RtZ\C"/中，ZC=60\

:.CH=-CF=2-a,

2

FH=6cH=26-&,

:.DH=CD-CH=a-(2-a)=2a-2,

在RtAD/7/中，DF2=DH2^FH2=(2a-2)2+Q6-=7a2-20a+16=7(«-y)2+y,

12

."2的最小值为汽

二。产的最小值为：匹.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求特殊角的三角函数值，勾股定理，二次函

2026-2027学年

数的性质，综合运用以上知识是解题的关键.

9.3或4或生晅

2

【分析】分类讨论，当.HGC为直角三角形时，根据题意，先证明点r、G、。三点共线，

FAAF

设=则所=7-x,证明"S4BPC,根据相似三角形的性质得出?=修，求

BFBC

得1=3或4,当NHGC=9Y时，证明.DEH@BGF(AAS)得出DH=所,根据相似三角形的

性质列出方程即可求解.

【详解】解：当为直角三角形时，当47GC=90°,

四边形EPG”是矩形，

・•.ZHGF=90°,

:./HGF+NHGC=18OP,

.••点尸、G、C三点共线，

设AF=x,贝1」8/=7—木，

.YAEPSBFC,

EAAF

••----=----9

BFBC

2x

------=—,

1-x6

解得x=3或4,

.♦4=3或4；

当NHGC=90。时,

四边形A8a＞是矩形,

：.EH=FG,NHEF=NEFG=，）。，

1,ZA=ZD=Zfi=90°,

ZDEH=/BGF,

、DEHgBGF(AAS),

:.DH=BF,

设则由7二加/二了一x,

由.DEHAFE得,

AEAF

~DH~~DEf

27-x

-=——,

x4

解得尸叁胆，

2

“诬,

2

故答案为：3或4或与区.

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，分

类讨是解题的关键.

10.-##2.5##2-

22

【分析1首先根据折叠的性质可知：四边形4FE。是正方形，AC=BC=5,MN=BM,

NMNC-NB-90。，再过点N作NP_LAB于点、P,交DC于点、Q,设APr,可得AP=DQ=PN=x,

SY-r2

PQ=AD=5,gC=6-x,QN=5-x,可证得△MNQSANCQ,可求得MP=3/

6-x

MN二5衿r,最后由+=得到方程，解方程即可解答.

6-x

【详解】解：根据第一步折叠可■知：AF=AD=EF=DE=5

••・四边形A/花。是正方形

ZE4F=45°

根据第二步折叠可知：NC=8C=5,MN=8M,NMNC-0。

如图：过点川作帅1_人8于点P,交。。于点Q,设A尸=x

2026-2027学年

二.四边形APQD是矩形，/MPN=/NQC=90。

AP=DQ=PN=x,PQ=AD=5

：.QC=DC-DQ=6-x,QN=5-x

・・•/MNP+ANMP4。,乙MNP+/CNQ=90。

4NMP=/CNQ

.MPPNMNzMP_x_MN

''~NQ~~QC~~NCy#5^7=6^="F

...Mp=^LLLtMN=—

6-x6-x

­.'AP+PM+MB=AP+PIV1+MN=AB

5x-x25x

：.x+----------+-------=6

6-x6-x

整理得:jr-llx+18=0

解得％=2,X2=9

经检验为=2,9都是原方程的解

•.9>6>5

，x=9不合题意舍去

x=2

MN=冷5

7.

故答案为：（

【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定及性质，止方形的

判定与性质，解分式方程，作出辅助线是解决本题的关键.

11,巫或巫

52

【分析】证明/旗SQAC得出C〃=8E,当点/移动至线段3c的三等分点时，分两种情

况讨论，①CF=1,BF=2,②cr=2,BF=1,分别计算即可求解.

【详解】解：在正方形ABCO中，Z/?=ZC=90"

NEFB+NFEB=90。,Z.CFG+Z.CGF=90°

QFG八EF

4M+NCAG=90°

&EB=/CFG

"FEB^AGFC,

.FGCF

"~EF~~BE

EH1.DC

:.NEHC=90。

又.ZB=ZC=90°

..•四边形£8CH为矩形

:.CH=BE

・正方形A8C£）的边长为3,线段E尸长度为3,

・•・当点F移动至线段BC的三等分点时，有两种情况:

①CF=1,BF=2,

则在中，13E=^EF2-BF2=>/32-22=x/5

卜G1

;.FG=也

5

・•・在RLR；中，CG=qFG【_CF，=J（¥）2—〃=岑

:.G//=CT-CG=/?E-CG=A/5--=—

55

®CF=2,BF=\

则在RtABEF中，BE=4EF2-BF2=732-12=2夜

——FG=―2=,

32&

2026-2027学年

:.GH=CH-CG^BE-CG=2y/2--=—

22

综上所述线段G”的长度为遗或逑.

52

故答案为：拽或逑.

52

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，分类讨论是解题的关键.

12.V2;12.

【详解】解：(1)当直线A3经过点C时，点A与点C重合，当x=2时，)=-2+〃?=0,即

m=2,所以直线48的解析式为尸-1+2,则8((),2),：.OB=OA=2,AB=2近.

设点。到直线48的距离为d,由〃。48=3。42号48・/得：4=2夜"，则庐及.故答

案为0.

(2)作07)=002,连接CO.则NPOC=45。，如图，由产-x+m可得ACm,0),B(0,

m).

所以04=03,则N。8A=/O48=45°.

当mVO时，NAPONOB4=45。，所以，此时/C%>45。，故不合题意.

所以m>0.

因为NC%=NA4O=45°,所以N4%+NOPC=N/MP+N3%=135°,^ZOPC=ZBAP,则

L〃+2

△PCD0°AAPB,所以=，即？7=—=2,,解得〃?=]2.故答案为12.

ABPB121n1…

ZCE2

【分析】证明~阴£~4。£尸，可得。尸CE2,从而得至北三=：，进而得至ljCE=4,

-----==-3=—RF

BEAB23

即可求解.

【详解】解：・.,AE_LE凡

ZAEF=90°,

・•・ZAEB+ZCEF=90°,

在正方形ABC。中，Zfi=ZC=90°,AB=BC,

JNBAE+NAE8=90。，，

・•・/BAE=/CEF,

：.BAE~ACEF,

4

：.CFCE2,

族一罚一5一3

*：AB=BC,

.CE2

••=—,

BC3

.CE2

••二一，

BE1

:・CE=4,

：・BC=CE+BE=4+2=6,

即正方形ABC。的边长为6.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟悉基本几何模

型是解题的关键.

14.(1)见解析，(2)3

【分析】(1)根据N8=NAO£=NC,NBAD=NCDE,即可判定两三角形相似；

(2)由人七=£7),得出/I。垂直平分8C,求出的长度即可.

【详解】解：(1)VZ^C=90°,AB=AC,

/.ZB=ZC=45°,

,/NAOE=45°,

VZBAD=180°-ZADB-NB=1350-NADB,ZCDE=1800-ZADB-ZADE=135°-

ZADB,

:.NBAD=/CDE,

:•△BDAsACED；

(2)当4E=QE时，

，ZADE=ZDAE,

•・•NAOE=45°,

2026-2027学年

，ZADE=ZDAE=450,

•・•N8AC=90。，

・・・NB4O=NE4D=45。,

・・・A。平分/84C,

・・・A。垂直平分BC,

，8。=3；

图1

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形

的判定和性质是解题的关健.

23

15.(1);;(2)可以，BP=-

32

【分析】(I)根据相似三侑形的判定定理求出△ABP"CD,在根据相似三角形对应边

的比等于相似比即可解答；

(2)根据相似三角形的性质得出NAP4=90。，根据等边三角形的性质得出=即

可解答.

【详解】(1)•.A8C是等边三角形，

.,.ZB=ZC=60°,

ZAPB=NPAC+NC,^PDC=ZPAC+AAPD,ZAP。=60,

ZAPB=ZR4C+60°,/PDC=NQ4C+60。，

ZAPB=/PDC,

;..ABP〜fCD

ABBP31

/.---=---,即niI一二---

PCCD2CD

:.CD=~；

3

(2)可以,

当PQ_LAC时，ZPDC=90°,

ABPPCD,

ZAPB=NPDC=W,

:.AP1BC,

ABC是等边三角形，

13

BP=-BC=-.

22

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质，掌握相似三角形的判定定

理和性质是解题的关键.

16.见解析

【分析】根据等边三角形性质得出/8=NC=60。，根据三角形外角性质得出NAO8=N1

+NC=N1+6O。，根据乙4。七=60。，可得NAO8=N2+60。，可证N1=N2即可.

【详解】证明：•・•△48c是等边三角形，

，N8=NC=60。，

/.NADB=N1+NC=N1十60。，

ZADE=60°,

JNAOB=N2+60。，

/.Z1=Z2,

.•・/\ADCS4DEB.

【点睛】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定，掌握等边三角形性

质，三角形外角性质，三角形相似判定是解题关键.

17.（1）证明见解析（2）6

【分析】（1）由△ABC是等边三角形得到NB=NC=60。，AB=BC,经过进一步证明可以

得出NDAB=NEDC,从而证明△ABDs^DCE.

（2）根据相似三角形的性质列出方程求解即可.

【详解】证明（1）・••△ABC是等边三角形，

AZB=ZC=60o,AB=BC：

2026-2027学年

.•.CD=BC-BD=AB-3；

.\ZBAD+ZADB=120°

VZADE=60°,

/.ZADB+ZEDC=120°,

AZDAB=ZEDC,

又・・・NB=NC=60°,

AAABD^ADCE；

(2)VAABD^ADCE,

.ABBD

••-----=-----，

CDCE

4

VBD=4,CE=-,

3

AB_4

・•・AB-4~彳，

3

解得AB=6.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的证明以及性质的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

9

18.(1)8。的长为:；

4

(2)见解析

【分析】(1)利用一线三等角模型证明△ACPS/XBPD,即可解答;

(2)利用角平分线的性质可得NPCD=/ACP,从而可得NPCO二NQP3,然后证明

2CPDS&PBD,即可解答.

【详解】(I)解：・・・48=9,AC=3,

：.BP=AB-AP=9-3=(),

n

VZA-ZCPD,/ACP+NAFC-18()C-/A,ZAPC+ZBPD-180-ZCPD,

J/ACP二/BPD,

,/NA=N8,

:•△ACPs^BPD,

,嗡=算即白白

9

:.BD=一,

4

9

・・・8。的长为z；

4

（2）证明：•・•”平分NACO,

/.ZPCD=ZACP,

,/NACP=NDPB,

,ZPCD=ZDPB,

♦:乙CPD=zLB,

:.△CPDS/\PBD,

.PDCD

••茄一而‘

:・PgCD・BD.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角模型是解题的关键.

44

19.（1）BN=-、（2）-

33

【分析】（1）由矩形的性质及“一线三等角“推得NACM=NBWV,利用有两个角相等的三

角形相似，可证得△ACMSABMM利用相似三角形的性质可得比例式，将相关数据代入即

可求得8N的值；

Ar

（2）设8M=x,DN=y,根据妥=777,得出V关于x的二次函数，将其写成顶点式，

BNBM

根据二次函数的性质可得6V最小时相应的x值及），值，再利用三角形的面积公式求得答案

即可.

【详解】解：（1）・・・AB=4,

・•・当点M为边AB的中点时，AM=BM=2,

•・•四边形A8OC为矩形，

/.NA=N6=90。，

*：MNLMC,

工NCMN=90。,

•・・NACM+NAMC=90。，NBMN+NAMC=180。・NCMN=90。,

・•・NACM=/BMN,

又＜ZA=ZB,

：AACMSABMN,

.AMAC

••BN-BM'

2026-2027学年

VAC=3,AM=BM=2,

••—―,

BN2

4

・・・8N=—；

3

(2)设8M=x,DN=yf

•・•四边形A8QC为矩形，A4=4,AC=3,

：.AM=AB-BM=4-xtBN=BD・DN=3・y，

，一AMAC

由(1)知，——=——，

BNBM

.4-x_3

••石二'

工(4-x)x=3(3-y),

・•・・9+4x=9-3A

.1,4

7=3'3X3

=1(x-2)2+2,

33

・••当x=2时，y取得最小值，即。N最小，此时Z)N=y=g,

J

54

:・BM=2,BN=3--=

33

.44

•・.△MNA的面积为：-x2xy=y•

4

故答案为：y.

【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的性质，二次函数与几何问题.(1)能证

明相似，并通过相似的性质列出比例式是解题关键：(2)能借助相似列出丫与x的表运式是

解题关键.

20.”领ME5

8

【分析】证明.CPEs."/)尸，设=AE=y,则pc=5五一x,。七=5—y根据相似三角形

的性质得出：)，=：(/-5%)+5根据二次函数的性质求得最小值，当点?与点8重合时，AE

4

的最大值为AE=AC=5,即可求解.

【详解】解：「在，人BC中，NA=90。，AB=AC=5,

.•.BC=>/F7F=5&，ZB=ZC=45°

AD=\

.•.40=4

NOPE=45°

，NCPE+/BPD=18（尸一450=135。

NBDP+/BPD=I80°-ZB=I800-450=I350

:./CPE=/BDP

X-.'ZB=ZC

:.,CPEsBDP

.BDBP

^C~^E

设BP=X,A£=y,则PC=5点一％,CE=5-y

.4二，

"5j2-x~5-y

整理得：y=7（x2-5x/2）+5

4

以考噌

.,.当工=也时，y取最小值二；

28

当点尸与点8重合,即x=0时，此时AE=AC=5,

.•.AE的取值范围为：称初AE5.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，根据题意列出函数关系式

是解题的关键.

21.（1）见解析

⑵①5；②OE=3+右或。E=3-石

【分析】（I）证明出N/X石=N4所即可求解；

（2）①连接AM.先证明4M=CM=GM=g4C=3.确定出点G在以点例为圆心，3为

半径的圆上.当人，G,M三点共线时，AG+GM=AM.此时，4G+GM取最小值.在

RtA8M中利用勾股定理即可求出AM,则问题得解.②先求出AR求4尸的第一种方法:

MNCM1

过点M作MN//AB交FC于点N,即有△CMNs^CBF,进而有—=—=二.设=