数列-2027高考数学（含答案）

数列-2027高考数学

数列

考点01等差数列

1.（2026・上海卷・高考真题）下歹!数列中是等差数列也是等比数列的是（）

A.1,-1,1,-1,1B.1,2,3,4,5C.5,5,5,5,5D.1,2,3,5,7

2.（2026•新课标全国I卷•高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局

和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有108座塔,依山势自上而下排成12行，将第i行中塔的座数

记为Q7（i=1,2,…，12）,其中Q1=1,的=。3=3,Q.1=Q5=5,且…，。12是一个首项为7,公差

为2的等差数列.将火，电，…，。12分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为

6且公差为d（d>0）的等差数列，则d=（）

A.2B.4C.6D.8

3.（2026・北京卷・高考真题）已知等差数列｛4｝的前几项和为5〃,且56=6。6+30,则公差4=,

若，WS5恒成立，则符合条件的S的一个取值为.

4.（2026・上海卷・高考真题）已知等差数列｛%｝中，Q1=0,公差为d,其前九项和S,»在区间（0,1）内至少

有两项，则公差d的取值范围是.

考点02等比数列

5.（2026•新课标全国I卷•高考真题）设实数q满足:存在数列｛%｝,使得对于任意打£。N•，均有5+

出+…+好=十+期且｛%｝中有某连续9项神，纵+1，…，在+8是公比为q的等比数列.则g的最大

值为.

6.（2026・上海卷・高考真题）已知｛斯｝为等比数列，%=2,g=6,则Q产.

考点03数列的递推公式与求和

7.（2026•天津卷考真题）已知$2〃-Sn=71，。3=6,则%+=（）

A.68B.56C.-3D.-4

8.（2026・北京卷・高考真题）｛册｝,｛，,｝是无穷数列，则“存在常数M,使狐<上/4a（九=1,2,3,…）”是

“册&b<n=l,2,3,…）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.⑵）26•天津卷・高考真题）已知等差数列｛Q,J与等比数列也J满足：见=2,仇=1,g=，+62，。,=几

一瓦.

•1•

⑴求数列{4},{&}的通项公式;

⑵记4=mkRN，,n=&或2=仇:}，记金为用中的元素个数.

⑴求。3”；

30-1

⑻求汇(一1广UjCm.

m=l

考点04数列中的新定义

10.(2026・北京卷・高考真题)设4=@)环〃是一个^行几列的数阵,且数阵中的每一项与£{-1,1},都

等于1或一1.若对任意11其中iHp,/Wq,且\\i-p\-\j-q\\=2,都有Q旬+

dig+。切+Q凶=0,则称数阵人具有性质P.

(1)判断卜列两个数表是否具有性质P.

11-11

4=

-11-11

11-1-1

11

A2=-1-1

-11-11

(2)在所有具有性质P的5X4数阵中，1的个数最多是多少？

(3)若？71=n=6,q11=1,且数阵/具有性质P,证明：对任意i,，£{1,2,3,4,5,6},都有与=的。火

•2・

模拟练习

一、单选题

11.（2026•北京顺义・三模）己知｛%｝是公差不为0的等差数列，处=2若03.,诙成等比数列，则a10=

（）

A.-20B.-16C.16D.18

50n+1,册。为奇数。

12.（2026•浙江嘉兴二模）数列｛诙｝满足=3,如+]=>则44=()

当,Q”。为偶数。

A.8B.4C.2D.1

13.（2026・山东烟台・二模）己知｛册｝是等差数列，其公差为d,前九项和为S”,则“d>0”是“数列｛S.｝为

单调递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

14.（2026•广东东莞•三模）记Sn为数列｛Q/的前n项和，已知电=2,S”=春0n—1,则a5=（）

A.18B.54C.81D.162

15.（2026•天津•模拟预测）已知数列｛4｝的前几项和为S”,Sn=l-（一2）"，则｛院|｝的前7项和为

（）

A.189B.191C.381D.383

16.（2026•河南驻马店•模拟预测）已知数列｛Q,,J：QI=1,Q.2=3且满足。怒+2+M=2Q”+I+l（n€N+）,令

鼠=%+i-Qn，则数列的前2026项和为（）

Ib/n+lJ

A1013R1015r506n507

*2028•2028,1013,1013

17.（2026・重庆•模拟预测）设等差数列｛册｝,｛aJ的前n项和分别为人，为,且言二尹冬，则

Dn6n—1

2。」.3a8/）

d+bg仇+8+，2

A15p15「151

A-38B.mC,-Dn.3

18.（2026・陕西咸阳•二模）已知数列｛狐｝的前几项和为S〃，且满足⑸=2,ae=Sn+2,则使得不等式

&一（时—九）>人2”成立的实数卜的最大值为（）

A.—卜B.4C.1D.

22o

•3・

二、多选JH

19.（2026•河南开封•模拟预测）设S”是等差数列｛%｝的前几项和，若Si5<0,—<一1,则（)

A.dVOB.|册|中最小值为血|

C.当S”取得最大值时，九=3D.使Sn>0成立的最大整数口为14

20.（2026・福建三明•模拟预测）已知数列｛“｝满足%+2g+…+2"7%=d2〃,则（）

A.4="+1B.｛飙｝的前几项和为2）

n

C.｛（-l）an｝的前100项和为5（）D.｛|a,-5|｝的前30项和为357

21.⑵）26・山东聊城•模拟预测）己知数列｛册｝的前几项利为SR,5=l,a“+i+Q0=2•3”,则下列结论正确

的有（）

A.数列｛册｝是等比数列B.S7=1639

C.数列｛Q“—£■｝是等比数列D.S2n=9"-1

22.（2026•黑龙江•模拟预测）定义:在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作

叫作该数列的一次“美好成长”.将数列1,4进行“美好成长”，第一次得到数列1,4,4；第二次得到

数列1,4,4,16,4；……，设第九次“美好成长”后得到的数列为1,叫，g,…，曲，4,记册=

log4（l-TI-3；2£人/4）,则下列说法正确的是（）

A.02=5B.k=2n-l

C.%+尸2an+1D.数列｛%｝的通项公式为an=苴4

三、填空

23.（2026・湖南湘潭・二模）数列｛册｝满足Qi=1,即+i=2Q”+1,则数列｛Q“｝的前8项和S,=.

24.（2026•陕西西安・模拟预测）已知数列｛斯｝满足%=1,且％+i=卜“。1'彳驾普.设S”表示｛%｝

10n—3,也为司致

的前九项和，则S20=.

25.（2026•北京丰台•三模）《九章算术均输篇》记录了古代物资统筹核算算法，现如今借鉴这一统筹思

路，某地乡村振兴落地光伏储能惠民工程，分年度分批采购储能光伏组件.项目采购方案规定：每年

新增采购的组件箱数构成等差数列，项目第一年采购16箱，往后每一年都比上一年多采购3箱;受

原材料价格浮动影响，组件单箱采购市价逐年成等比数列，首年定价4元,价格每年变为原来的3

倍.项目财务制度约定，前几年所有入库储存的组件，不在每年分次结账，统一留存至第九年年末，按

照当期最新市场单价一次性核算全部货款.则项目运行满4年时，结算总货款为元;运行九

•4•

年末核算总货款的最简代数式为

四、解答题

26.(202&宁夏吴忠三模)已知数列｛%｝的前九项和为5.,5,=3。-1,数列｛0｝是等差数列，且/Q).

(1)求数列｛%｝和｛晨｝的通项公式；

(2)设品=册+0,求数列｛&.｝的前几项和Tn.

27.(2026•陕西西安・模拟预测)已知数列｛an｝的前九项和为S”,且S°=*.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)若公=Q〃・sin等，记数列｛公｝的前几项和北,求为go.

•5•

28.(2026・江苏徐州・模拟预测)设$.是等比数列｛册｝的前几项和，已知52=4“仁3所

⑴求斯和Sn；

(2)设公=既」，求数列｛鼠｝的前几项和Tn.

办+i

29.(2026・湖南湘潭・三模)已知数列｛%｝和也｝满足bn=Q”+a“+i+•••+3•

⑴若%=2",求仇-b2+&3的值；

⑵若%=九,且5+F+・・+F恒成立，求£的取值范围；

5b2bn3

(3)设c“=%-2九+1,若一=3/+2n-L证明:c2n+i+c2n+2=cn.

•6•

30.(2026•天津・二模)已知数列儿QHQ2,…，。式九＞2)的各项均为正整数，设集合7二

｛clc=%—0t,l&i记7的元素个数为P(T).

(1)若数列Al,2,3,5,求集合T；

(2)已知｛册｝为正项等比数列，四=4,的是6的与8因的等差中项.

⑴求P(T)；

㈤令b,=粤黑(九＞2),求£(一1帆

2产(/)1-2

•7•

数列

考点01等差数列

1.（2026・上海卷・高考真题）下见数列中是等差数列也是等比数列的是（）

A.1,-1,1,-1,1B.1,2,3,4,5C.5,5,5,5,5D.1,2,3,5,7

【答案】C

【分析】设该数列为｛QN｝,由题可得4+1—Q,,=d,0n+i=qa”,其中g#0,q,d为常数,据此推得g—1

=0=d,即得该数列为非零常数列，即可判断.

【详解】设该数列为｛Q.,J,则该数列满足*]—a”=d,0n+产qan，其中qW0.

则4+1—Q6=（q-l）Qn=d，因q,d为常数，该式对任意正整数成立，则q—l=0=d,

从而该数列为非零常数列，由选项知只有。满足题意.

故选：。

2.（2026•新课标全国I卷•高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局

和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有108座塔,依山势自上而下排成12行，将第i行中塔的座数

记为df（i=1,2,,•,,12）,其中Q]=1,。2=。3=3,%=。5=5,且Q>Q,a?,…，。亶是—1个首项为7,公差

为2的等差数列.将％,电，…，。「2分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为

6且公差为d（d>0）的等差数列，则d=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】由条件求出数列｛斯｝的前12项的和，设新数列为｛晨｝,设其公差为d,由条件可存〃+,d=

18,结合选项判断即可.

【详解】由已知。i=l,a>=a:i=3,aA=a：t=5,如=7+2（i-6）=2i—5,i=6,7,8,9,10,11,12,

设新数列为｛bj,n=1,2,3,4,5,6,

由已知数列｛&｝为等差数列，设其公差为d,</>0,

又｛匍｝的前12项都为奇数，伯力所有项都为偶数，

由已知d为正偶数，，为正偶数，

则6仇+-（/=108,故瓦+口=18,

若d=2,则加=13,矛盾，

若d=6,则5=3,矛盾，

若d=8,则加=-2,矛盾，

若d=4,则瓦=8,此时可取bi=Qi+=8,8=12,d=Q$+Qx=16,

==

=电+a[i=20rb：t=Q：,+Q）224,=Q）+&i（）28,满足要求.

3.（2026・北京卷•高考真题）已知等差数列｛%｝的前几项和为S〃,且S6=6QG+30,则公差d=,

若S”4S.5恒成立，则符合条件的Q1的一个取值为.

【答案】-29（答案不唯一，满足84久W10即可）

•1•

【分析】利用等差数列前九项介公式与通项公式，代人已知等式建立关于公差d的方程求解；由S“W

&恒成立可知S5为前九项和的最大值，结合数列的单调性得到恁-0且痣40,代入公差d=-2解

不等式即可得到的的取值范轧选取范围内任意值即可.

【详解】等差数列的前ri项和公式为Sn=na1+1)d,通项公式为an=a,+(n—l)d.

6X5

*/SG=6QI+d=6al+15d,a=a,+5(/,

26

/.6ac=6(ai+5d)=6al+30d.

由Su—6ab+30,得6al+15d—6al+30a4-30,

消去等式两侧的6a,,整理得-15d=30,解得d=-2.

•・,d=-2V0,等差数列｛册｝为递减数列，且S”4S5恒成立，

:.“为前几项和的最大值，即数列前5项非负，第6项及以后非正，即(的

Qi+4d=Qi-8>0

代人通项公式得解得8&Q1410,

Qi+5d=Qi-1040

取a1=9即为符合条件的一个取值.

4.(2026.上海卷.高考真题)已知等差数列｛a“｝中，5=0,公差为d.其前八项和S.在区间(0,1)内至少

有两项,则公差d的取值范围是.

【答案】(0号)

【分析】根据等差数列求和公式列式计算求解.

【详解】根据已知前九项和S”在区间(0,1)内至少有两项，则得出d＞0,

且S1=0,｛Sn｝是单调递增的，所以必须满足S2W(0,1),&W(0,1),

所以S2=de(0,l),S3=3d€(0,1),所以(o,j).

考点02等比数列

5.(2026•新课标全国I卷•高考真题)设实数q满足:存在数列｛4｝，使得对于任意o6。N*,均有Q1十

电+…+Q3n="+九,且｛4｝中有某连续9项即，Qk+1，…，4+8是公比为q的等比数列.则q的最大

值为____.

【答案】怎

【分析】由前3九项和公式推出每连续三项的和北=2n.将连续9项按起始位置模3分类，每类中利

用三项块和等于2也得到关于公比q的比例关系，通过相邻块和之比解得q：'的上界，即可取得最大值.

【详解】令北二03n一2+。3“-1+，由题意得北=(疗+，一[(一-I)?+(71—1)J=2日,

因此每个三项块Bn的和为2n.

设这9项为4,cq,^，叼\记。=1+q+qL由于。＞0,且完整•三项块和均为正，

下面按k除以3的余数讨论.

若k=3小+1(小＞0),这9项正好包含三个完整三项块，

得xC=2(m+1),xqiC=2(m+2),x(fC=2(m+3),

•2・

于是g3=：且g3二卫U，矛盾，故这种起点不存在.

m+17n+2

若k=3m+2(?n>0),其中两个完整三项块为第zn+2块，第zn+3块，

得x(fC—2(m+2),xq'C=2(m+3),所以g3=7nL<y.

11LI乙乙

若k=3m(m^1),其中两个完整三项块为第zn+1块，第m+2块，

得xqC=2(m+1),xqlC=2；m+2),所以qi=7n43.

m+12

综上H等，所以痣，即q的最大值为J%

6.(2026・上海卷,高考真题)已知｛%｝为等比数列，Q|=2,&=6,则a4=.

【答案】54

[详解】设数列｛源｝的公比为q,则q=&=3,则a』=a。'=2x33=54.

Qi

考点03数列的递推公式与求和

7.(2026•天津卷・高考真题)己如S2n—Sn=n,03=6,则%+==()

A.68B.56C.-3D.-4

【答案】。

【分析】根据前71项和的含义,依次令71=2,3,4,逐步计算即可得到结果.

【详解】由S2L&，得

S2—S\=lf即。2=1;

Sq-S.2=2,即&+a4=2;

因为。3=6,所以a4=-4:

$6—S3=3,即%十+=3,所以。5十%=7;

—S.[=4,即恁+与+Q]+=4,所以=—3.

8.(2026•北京卷•高考真题)｛%｝,｛0｝是无穷数列，则“存在常数M,使%=…)”是

“400(九二1,2,3,…)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】力

【分析】通过脸证充分性与必要性，即可得出结论.

【详解】由题意，

｛%｝,｛鼠｝是无穷数列,

验证充分性：

当存在常数使％VMVbn(n=l,2,3,…)时,

41,2,3,…)，M<fcn(n=1,2,3,…)，

0n&bn(九=1,2,3,•,,)显然成立,

•3・

验证必要性：

当q=71,鼠="时，此时满足0n&"

假设存在常数”,使44“&廉("=1,2,3,…)成立，

2

当nT+CO时，%=九T+CO,bn=riT+8,

此时，M需同时“不小于无限增大的九”和“不大于无限增大的疗”，

但不存在这样的固定常数

・•・当0nMbn时，无法必然推出“存在常数”"，即必要性不成立,

.・.“存在常数M,梗1.2,3.…)”是“小＜63=123,…)”的充分不必要条件.

9.(2026・天津卷・高考真题)已知等差数列｛4｝与等比数列｛%｝满足：QI=2,仇=1,O2=b]+b2,Q尸与

一仇.

⑴求数列｛%｝,｛公｝的通项公式；

(2)记&=｛况€玉也&n,3kEN\/=q或力=4｝,记C”为疼中的元素个数.

⑴求Q”；

3,J-1

（优）求＞（一1）"'FZCm.

»n=l

【答案】⑴On=2?i也=3nT

_1Q_ql/.13"+1+(依―6)3〃+3

(2)⑴”,-y3n4-n+y;(w)----------------------------

【分析】(1)通过基本量计算即可求得通项公式；

(2)(i)分析｛ari｝和｛b,J项的特征，结合集合区的定义即可得解：(优)利用分组求和法和错位相减法

求和即可.

【详解】(1)设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列｛公｝的公比为q,

因为Qi=2,缶=l,a2=bi4b2al=63—fej,

所以法正文，即悔W解得打二或但1(公比不能为0,舍去)，

[2+3d=q，-1[3a=g—3lq=3[g=0

r

所以“=2九,bn=3l

(2)⑴由(1)知%为偶数，鼠为奇数，所以数列｛4｝和｛bn｝没有相同项,

根据题意，集合国中的元素向数列｛册｝和依｝中小于等于九项组成，

小于3〃的正偶数有史尹•个，由3143"得k&九+l,keAT,

所以数列｛4｝中小于等于3n的项有苴异个，｛a｝中小于等于3"的项有九+1个，

所以。3"二当工+不+1=44口+九+喜.

’222

(H)当31MmV3"时，｛0｝中小于等于7n的项有i个，

又TH为偶数时，｛4｝中小于等于m的项有皆个，771为奇数时，｛4｝中小于等于771的项有I

个，

所以C=1十号，3・YMV3，，iwMm为偶数

h*gl3—yaV3',i€N",a为奇数

2

•4•

{2Zm4-m2,3£-1<m<3l,iGN'm为偶数

所以0em=

nzl),3,-lCm<3\i€N”,m为奇数

从dyi-iC^-i到3T共有3。—1—(3*T—1)=2,3<_|项，

又m为奇数时，

2

0tn+iGn+i—QM,”=2i(m+1)+(m+1)—2im—m(rn-1)=2i+1+3m

3，T

所以Z(-1)'&4小=31(牙+1)+3[3i+(3-+2)+(3i+4)+…+(3?-2)]

m=31",

=3一(方+1)+3产(3"；3-2)

=3"i(2i—2)+6・()i.

3"-l32-l3n-l

所以Z(T)%，=E(一1)%,g+E(-i)”&g+-+Z

m=\m=犁

=(0-3°+6-9°)+(2-31+6-91)+(4-32+6-92)+•••+[(2n-2)3n-1+6-9n-1]

=[0・30+23+4・32+…+(2九-2)3i]+6(90+9]+92+…+》T)

=[2-31+4-32+-+(2n-2)3-,-,l+6•詈与

=[2・3]+4・32+…+(2n-2)3“叮+日(9”-1)

4

令S”一2.31十4・32十…十(2/一2)3”T①,

贝"38=2•32+4•334--+(2n-2)3w@,

①一②得一2S,=2(3'+32+-+3n-1)-(271-2)3〃

=2・%二一(2吁2)3”

=-(2n-3)3n-3,

所以&=色三电

所以书(T)%j=加一？3n+3+g)=竺半辽g

m=l244

考点04数列中的新定义

10.(2026・北京卷•高考真题)设力=5),所是一个加行几列的数阵，且数阵中的每一项{-1,1},都

等于1或一1.若对任意14i,pVzn,14&q&n,其中iWp,/Wq,且||i-—q||=2,都有Q0+

ki+。切+=0,则称数阵A具有性质P.

(1)判断下列两个数表是否具有性质P.

11-11

4=

-11-11

11-1-1

人2=1-11-1

-11-11

⑵在所有具有性质尸的5x4数阵中，1的个数最多是多少？

•5•

(3)若馆=九=6,。“=1,且数阵4具有性质2,证明：对任意1，」£{1,2,3,4,5,6},都有与=而切.

【答案】(1)数表A不具有性质尸，数表4具有性质产；

⑵12

(3)性质尸中的四个数都属于{-1,1},且四个数的和为0,所以其中恰有两个1和两个一L

因此，对任意满足性质P下标条件的四个位置，都有=1①，

对i=1,2,…，6,/=1,2,…,5,令/=4用,网.

先取行距为3、列距为1的矩杉.

由①，对i=1,2,3及，=1,2,•••,5,有CyC1+3J=1.

由于cijtci+3J€{—1,1},所以q+3产与②，

下面比较第1行与第2行的c值.

对，=1,2,3,4,取第1、5行和第/、/+2列.

此时行距为4,列距为2,由①得(cijCij+i)切。5j+J-1-

由②知c.5j—c2j,故(5*力)(cij+Gj+i)=1③，

令dj=CijC2j・

则由③得djdj+i=1,所以d[=d?=d：、==drt.

再取第1、2行和第1、4列.

此时行距为1,列距为3,由①得(C“C12cl3)(C21c22c23)=1,即4d2d：§=1.

由于4=d2=d3且&€{-所以4=1.

从而仆=。2式，=1，2,…,5)④，

同理，取第2、6行和相距2的两列，再取第2、3行和相距3的两列，可得Qj=C3j6=l，2,…,5)⑤，

结合②、④、⑤，可知对于每个，=1,2,…，5,都有白产心产…二心⑥，

当/=1时，由a”=1,显然有=a“Qu.

当/)2时，由⑥，由中间因子均成对出现，且成.=1,有Q,：I%=(a1g2)(QM：J…(Q3%)=GIG、2…

Q1,

=

再由⑥，CC2…a,j-iCnCi2,•Cij-i=anaij=a^j.

两边同乘小,并利用成=1,得已=QM).

命题得证.

【详解】(1)对于只有两行，所以行距只能为1.

要满足|行距-列距|=2,列距只能为3.

取第1、2行和第1、4列，四个顶点之和为1+1+(—1)+1=2工0.

所以不具有性质P.

对于4,行距为1时，列距只能为3:行距为2时，不存在符合条件的列距.

因此，只需检脸相邻两行与第1、4列组成的两个矩形.

第1、2行对应的四个顶点之前为1+(-1)+1+(-1)=0.

第2、3行对应的四个顶点之和为1+(-1)+(-1)+1=0.

所以4具有性质P

(2)设第i行元素之和为&=1

j=i

先考察第1行与第4行.

•6•

令勺=。1/+1,2,3,4).

对，=1,2,3,第1、4行的行距为3,第，、，+1列的列距为1,由性质P得叼+%H=0.

因在匕④2=—U，%=必,g=—xb从而Si+s』=必+g+g+叫=().

同理，考察第2行与第5行，可得s?+s.5=0.

所以整个数阵所有元素之和为Si+S2+s：,+sJ+S5=s：,&4.

设数阵中1的个数为N.

数阵中共有20个数，因此T的个数为20-N,从而"一(20-")<4.解得'412.

下面说明12可以达到.

/1-1-11、

-111-1

取4=1111.

-111-1

、1-1-11>

该数阵中共有12个1.

对于5x4数阵，可能的行距、列距组合只有(1,3),(3,1),(4,2).

当行距、列距为(1,3)时，相邻两行第1,4列的四个数之和均为0；

当行距、列距为(3,1)时，第1、4行以及第2、5行对应各列的元素之和均为0;

当行距、列距为(4,2)时，第1、5行与相距2的两列组成的四个数之和也为0.

所以该数阵具有性质产，且1的个数为12.

因此，1的个数最多为12.

⑶略

模拟练习

一、单选

11.(2026•北京顺义•三模)已知｛%｝是公差不为0的等差数列，%=2若Q3，Q»Q6成等比数列，则丽=

()

A.-20B.-16C.16D.18

【答案】6

【详解】已知｛Q,J是公差不为0的等差数列，首项为5=2,设公差为d,

则=a[+(n—1)(/=2+

:.&=2+2d,Q」=2十3d,a(j=2+5d,

已知Q：〃Q，I,a：成等比数列,

则(2+3dy=(2+2d)(2+5d),

展开整理得d?+2d=0,解得d=0(舍去)或d=-2,

/.d,=-2,

:.aio=Qi+9d=2+9x(-2)=—16.

,、+为奇数。

12.(2026・浙江嘉兴・二模)数列｛。“｝满足%=3,%+1=<%、JM咀.。，则为=()

-2，CLn内勾数。

•7•

A.8B.4C.2D.1

【答案】3

【分析】结合递推公式依次计算即可.

【详解】g=5。1+1=5x3+1=16,。3=黑=殍=8,

a,-T=T=4"

13.(2026・山东烟台・二模)已知｛心｝是等差数歹U,其公差为d,前九项和为S”，则“d>0”是“数列｛SJ为

单调递增数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】。

【详解】若3=—2,4=1,满足(/>0,此时02=—1<0,52〈8,不满足数列｛&｝为单调递增数列，充

分性不成立；

若Qi=l,d=0,此时Sn=m满足数列｛S”｝为单调递增数列，但d>0不成立，必要性不戌立；

所以“d>0”是“数列｛与｝为单调递增数列”的既不充分也不必要条件.

14.(2026•广东东莞•三模)记S”为数列｛Q,J的前几项和，已知%=2,&=[■%—1,则。5=()

A.18B.54C.81D.162

【答案】。

【分析】结合前几项和S“与通项册的关系式求解时，再根据数列的通项公式求出的.

【详解】由&=，％-1可得当时，S1=，*-L

两式相减得0n=幕%—，整理得an=3an_i(n>2).

又由Qi=2及S?=Qi+©=■|■a2-1可得=6,满足a?=3QI.

故｛Q,J是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为%=2•3”T,

代入九=5得。5=2x34=2x81=162.

15.(2026・天津•模拟预测)己知数列｛an｝的前几项和为S“，S,=1-(一2)\则｛\afl\｝的前7项和为

()

A.189B.191C.381D.383

【答案】C

【详解】已知S4=1—(—2)",

当n二1时，Qi=l一(-2)|=3,

当"二2时，Q'=S“-S1=1-(-2)n-口一(一2尸]=-(-2)n+(-2厂=3•(-2)n-1,

九=1时，3・(-2)°=3,

・・.Q“=3•(-2尸，

・・.|aj=|3-(-2)1|=3-,故｛10n|｝是首项为3,公比为2的等比数列，

•8•

・・・{|4|}的前7项和为：7;=:=3(27—1)=3x127=381.

1—2

16.⑵26•河南驻马店•模拟预测）已知数列｛Q,J：%=1,02=3且满足4+2+%=2。“+1+1（72£乂），令

“,=册+1-%，则数列［^^1的前2026项和为（）

If>nPn+l）

A1013R1015r506n507

'2028"2028.1013'1013

【答-案】/

【分析】由题意可得仇=2，再根据a,5+⑥=2Q”+I+l（n€NJ得到｛心｝为等差数列，最后利用裂项

相消法即可求解.

【详解】令n二1,可得仇=。2—。1=2,

由4+2+4=2a,l+1+l（nG八，）变形可得0n+2-A+i=Q“+i—4+1（nWM）,

则加1一0=1（九€n），

所以｛口｝是以2为首项，1为公差的等差数列，所以第="+1（n€%+）,

则^=______1____=」________」

AAi+i（n+l）（n+2）九+1n+2

故数列（三/一］的前项和为《一《+一；+

202611=J_1=1013

Ibnbn+｛J233420272028—22028—2028,

17.（2026・重庆•模拟预测）设等差数列｛册｝，｛⑥｝的前几项和分别为？1n,6“，且言二毋4,则

Dnon—i

2al.3ax（）

bi+bio-+星+瓦2

型B迪「15

A38u16Cl9D.T

【答案】。

【详解】因为4+10=2、7,所以几十d0=26,

因此二^=网1=上，

瓦+瓦。2b了b7

因为仇+儿+仇2=d+(b[+7d)+(瓦+lld)=3瓦+18d=3(b1+6d)=3b7,

_3at_a8

因此

，）1+几十82一为一斤

所以原式化简为鲁+等二牛幺,

。7O-07

而+%=2。6，所以原式为，

匕7

而因为&…=（―工）（21）=2%考-1），所以保=5号

222n—i

则一令,3普,

A

代入得,普=2x葺=2、牌x忒,

13

•9•

而已知会=母斗，

Bn,3n—1

设4=kn(n+4),B„=fcn(3n—l)(fc为非零常数)，An=kx.11x(114-4)=165k,Bm=k.x13x

(3x13-1)=494/c,

所以组=2x验、西地=2'3^=侬=m.

b71149狄49449419

18.(2026・陕西咸阳•二模)已知数列｛Q,J的前。项和为S“，且满足。i=2,(VH=Sn+2,则使得不等式

S,一(a“一切)4k・2线成立的实数"的最大值为()

A.—B.4C.1D.言

22o

【答案】8

【分析】根据S“和与斯的关系，结合等比数列性质，即可求解得到数列｛斯｝本身的通项，表示&,代

入到原不等式中，通过比较即可求解.

【详解】因为%+产Sn+2,九EAT,因此当九>2时，M=S1+2,

所以两式相减得,4+1—%=Sn—Sx=4,所以an+I=2a,x,nN2,

当九=1时，02=8+2=2°i,满足递推关系，所以(^)的递推公式为厮+i=2%,

则｛4｝为首项为2,公比为2的等比数列，通项公式为0n=2”，

因此S”=2(：_?)=2回―2,

代入Sn一(册一九)二仆2”得，2-1—2—(2“一九)》上2\化简得卜&1+072,

2

设/⑺)=1+2B，则上式等价于kC/(n)min,

所以，/m+i)_/s)=[i+s,?[2]_(]+亭)二舒,

当九V3时，3—九>0,/(n+1)-/(n)>0,/(九)单调递增，当n>3时，/5+l)-/S)VO,3-n

V0JS)单调递减，

/(1)=。，/(2)=1,当n二3时，九一2>0,所以因此/⑺)的最小值为：，

即因此k的最大值为

故选择笈选项.

二、多选题

19.(2026・河南开封•模拟预测)设8是等差数列&｝的前九项和，若ScVO,生V-1,则()

A.dVOB.10nl中最小值为M|

C.当S“取得最大值时・，九=8D.使S0>0成立的最大整数口为14

【答案】4Z?。

【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式和等差数列的性质，求得的+网>0,且0T>0,念V0,结

合选项，逐项分析判断，即可求解.

【详解】力，由S15=1=15osV0,可得a8V0,

■10•

因为巴■V—1,可得0s>0,所以4=匈一。7V0,正确；

的

6,由力分析Q?+。8>()且a®V0,所以a?〉()且|a7|>|4|,正确；

C,在等差数列｛%｝中，由%>0且恁<0,

当l《n47,nWN*时，得%>0;当九>8,nWN・时，得册V0,

所以Sn取得最大值时，九二7,错误；

。，由Su==7(0T+B)>0,且&5V0,

所以使得，>0成立的最大整数也为14,正确.

20.(2026•福建三明•模拟预测)已知数列｛4｝满足。1+2/+-・+2吁％=712,则()

A.%=九+1