高一升高二（数学）第十四章 抛物线综合（解析版）

第十四章抛物线综合

知识梳理

1、直线与抛物线相交问题的解题策略

直线与抛物线相交问题，设出直线方程为产匕+，〃，设出交点坐标（x，y）,（七,乃），直线方程与抛物

线方程联立方程组消元后应用韦达定理得N+超，XR,然后用所设点的坐标计算题中需要求解的量（本题

计算直线的鼾率），代入韦达定理的结果化简可得.

2、利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（M，y）,（X2，）’2）;

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X（或）'）的一元二次方程，必要时计算△;

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为内十〜、玉々（或M十为、）1）‘2）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

3、求面积常规类型

（1）S4二gdx|AB|,（较多）

（2）三角形恒过数轴上的定线段，可分为左右或者上下面积，转化为房-々|或者|力一七|

（3）三角形恒过某定点，可分为左右或者上下面积，转化为禺-司或者卜「必|

（4）四边形面积，注意根据题中条件，直接求面积或者转化为三角形面积求解。

4、抛物线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用抛物线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将抛物线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函

数的单调性或三角函数的有界性等求最值.

5、求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，

再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点（%,为），常利用直线的点斜式方程），-%=&（x-Xo）或截距式广丘+〃来证明.

注：求解此类问题的基本思路如下：

①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于X或)，的一元二次方程的影式；

②利用A>0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；

④根据直线过定点的求解方法可求得结果.

6、求定值问题常见的方法有两种：

⑴从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

⑵直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

7、解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；

(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、定值定

点、三角形的面积等问题.

考点一求抛物线方程

1.(2023秋•广西河池•高二校联考阶段练习)已知点P到点*1,0)的距离比点P到直线X=-2的距离小1;

⑴求点尸的轨迹。的方程；

(2)状问曲线C上是否存在两点A,6关于直线y=对称，若存在，求出直线A8的方程，若不存在，

请说明理由.

【答案】(D/=4x

(2)不存在，理由见解析

【分析】(1)由题意可知P点轨迹是以尸(1,0)为焦点，以4-1为准线的抛物线，从而可求得点P的轨迹C

的方程；

(2)设A(x，y)；B(x2,y2),利用点差法求出线段46的中点，从而可求出A8的方程，再代入抛物线方程

求解即可.

【详解】(1)由题意知，点P在)：轴右侧,

故点P到点F的距离等于点P到直线广-1的距离，

，P点轨迹是以尸(1,0)为焦点，以x=-1为准线的抛物线，

:.P点的轨迹方程为：y2=4x；

(2)假设曲线。上存在两点A,8关于直线y=gx-1对称，

设A(x2J,8(%”乃)，则褚=4%，£=4电,

两式相减得：(y+%)(>-%)=4(%-与),

VAB的斜率为-2,.♦.())+%)X(-2)=4,

:.AB的中点的坐标为(0,-1),

的方程为：y=-2x-\,

将了=-2%-1代入尸=以中得，4X2+1=0,方程无解，

・•・抛物线C上不存在关于直线y=gx-l对称的两点.

2.(2023秋・广西河池•高二校联考阶段练习)已知抛物线C：>2=2pM〃>0)的焦点在直线x-y-2=。上，

直线/过C的焦点与。交于A,"两点,

（1）求抛物线的方程，

（2）求弦AB的长度的最小值.

［答案］（i）r=8x

（2）8

【分析】（1）根据抛物线的焦点（§（））在直线>），-2=0上代入求解；

（2）由题意设式线/方程为：x=wy+2,与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解.

/\

【详解】（1）解：因为抛物线的焦点go在直线x-y-2=0上，

所以将（§0代入X—）'—2=0,解得〃=4,

・•・抛物线方程为：），2=8X;

（2）由（1）知：焦点为（2,0）,设直线/方程为：工=/町，+2,

代入y2=8x中,得>2-8冲-16=。，

设A（百,yj,8（再,y2）,

则X+>'2=8m,

:.%+占=〃1（y+yJ+4=+4,

：.|AB|=%+%2+4=8W2+8>8,当〃?=0时取等号.

••・线段45的最小值为8.

3.（2023秋•内蒙古包头•高二包头市第四中学校考期末）已知点4（2,8）在抛物线y2=2冲上，SBC的重心

与此抛物线的焦点*重合（如图）.

（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标;

（2）求线段BC中点M的坐标.

【答案】⑴V=32x；产(&0).

(2)(11,-4)

【分析】⑴根据点A(2,8)在抛物发)，2=2px上，即可求解；

(2)由已知条件知：厂(8,0)是线段AM的一个三等分点，且标=2丽，由此能求出点M的坐标.

【详解】(1)因为点4(2,8)在抛物线尸=2〃_¥上，所以64=4”，解得：〃=16,

所以抛物线的方程为：y2=32K,焦点坐标为F(8,0).

(2)因为“BC的重心与此抛物线的焦点厂重合，由三角形重心的性质可得：而=2丽，设”(小，为)，

------,[6=2(x-8)

A尸=(6,—8),尸M=(/一8%),叫0，

T=分0

解得：毛=11,%=-4,所以线段8c中点"的坐标为(11,-4).

4.[2023秋•重庆沙坪坝,高三重庆南开中学校考阶段练习)已知动点P在抛物线G：产=2必(〃>0),动点

。在圆G：(x-p)2+y2=i上，且P,Q之间距离的最小值为1.

⑴求抛物线G和圆G的方程；

(2)慰物线G上是否存在三点AIC使得△48C外切于圆G?若存在，求出4丛。三点的坐标；若不存在，

请说明理由

22

【答案】⑴G：y2=4"C2:(x-2)+y=l

(2)不存在，答案见解析

[分析]⑴通过把P,Q之间距离的最小值转化为AC2之间距离最小值，计算即可;

(2)首先分斜率是否存在分情况讨论，再通过图形特征等分别计算得到矛盾,情况不成立.

【详解】(1)由题意知，P,Q之间距离的最小值为I,等价于P,C；之间距离最小值为2.

222

设P(X/»,yP),则|PC?『=(AP『一yJ=Xp-2pxP+p?+2pxP=Xp+p>p,

从而p2=4.即〃=2、进而抛物线C,和圆C2的方程分别为：

22

G:y=4X,C2:(x-2)2+y=\.

(2)若存在，设4(%,九)》(再,y),C(.i2，%)，显然WX，为均不等于±1.

①当AABC三边所在直线中,存在斜率不存在的情况时：

由对称性知，若外切于圆G，则三角形必有一个顶点为坐标原点，

不妨设为C.且另两个顶点连线必垂直于x轴，即为直线A8:X=3,

此时直线a,。分别为：）,=¥丸）,=_¥-易知直线。,圆不与圆6相切,与假设矛盾.

所以，此时“8。不存在；

②当三边所在直线斜率都存在时：

设过A点圆C2的切线为：、一治二攵（工一%）,即为依一V+）b-=。

,2k+y--ky\-17]CT

由栩切知a,可得（2--）始2+No=k~+\

7F71—M4';.」

（2-:旷）-1人二+2%（2-；）/&+）『_]=（）（*）

设心8=4,3c=&，则配改2,为方程（*）的两根;

y4%-

-ylo==ylo4

另

方闻1921

2+%W2了2+%’将4/2，代入方程（*），

-4-yl-4-%

4>1

-

4

并整理得：（媪T*+14），。必+48-），。2=（）（/•=1,2）

从而X+先=二其必=48；）；（#）

）01）01

2

因为B（N，X）,C（%2，%），且短=4%，y2=4X2

则4内一（另+%）Ji+乂y2=04x2-（y,+%）为+）'M=°，

则直线3C的方程为：4x-（y+,、）），+必必=0

此时圆心C2（2,0）到直线BC的距离d=//一、、、将（#）代入得：

”6+（.»+%）

|8+y对_:7为2+40|

Jl6+（y+）＞2『244y；+41短+4

令4=1,即（7%2+40）2=4（4常+41.%2+4），整理得33）端+396）『+1584=0,

此方程显然无解.与假设矛盾，此时“8。不存在；

综上①②，在抛物线G上不存在三点4氏C,使得&ABC外切于圆Q

考点二与抛物线有关的轨迹问题

5.(2023秋•四川成都•高二成都外国语学校校考期中)已知平面内一动点尸(x,y)(xN0)到点尸(1,0)的距离

比到V轴的距离大1.

⑴求动点P的就迹C的方程；

⑵过点M(2,l)的直线/交曲线C于4、B,且有AA/=LWR,求直线/的斜率.

3

［答案］⑴丁=4孙

⑵

2

【分析】(1)根据两点间距离公式，结合已知进行求解即可；

(2)根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式，结合平而向量共线的性质进行求解即可.

【详解】(1)因为平面内一动点P(x,y)(xNO)到点尸(1,0)的距离比到。轴的距离大1,

所以有|尸耳一忖=1=+,2-.V=1=>+y2=1+X

x2-2x+\+y2=1+2X+X2=>y2=4x;

(2)当直线45的斜率不存在时，把x=2代入)/=43中，

L1I___1

得.=±2&,因为牛」工上，所以AM=7M8不成立，不符合题意；

2&+133

当直线的斜率存在时，设L：_y=Mr-2)+l,与抛物线方程联立:

y=k(x-2)+\.

(一，，化简整理，得：心，2一4｝，+4-8忆=0,

旷=4x

A=16-4〃（4-=32（%-1）2+14>0.

4

44n4-8%

有％+）'2=工，且）'跖=~^―，

•••AM.•」一），］二:（丁）乃4

2-l=3y+=4而

y+%=I

7八264—8^

解得：X=2-：,必二7-2，而y%=―;—，

KKK

264

即：（2_7）（7_2）=：_8,

Kkk

化简整理，得:公+3左一3=0=1=一"旧

2

6.(2023・全国•高二假期作业)已知曲线C上任意一点P与定点尸(1,0)的距离比它到直线x=-2的距离小1.

(I)求曲线C的轨迹方程;

(2)若直线/经过点广，与曲线C交于AB两点，且|4日=8,求直线/的方程.

【答案】⑴9=4%；

(2)x+-1=0^x-y-1=0.

【分析】(1)根据抛物线的定义求就迹方程;

(2)由抛物线方程知直线A8的斜率一定存在，设出直线方程后代入抛物线方程，应用韦达定理结合抛物

线定义得弦长|A8|,从而求得参数值得直线方程.

【详解】(1)由题意动点?与定点尸(1,0)的距离和它到直线厂-1的距离相等，

所以，曲线C是以尸为焦点，直线x=—l为准线的抛物线，^=1,p=2,

所以曲线C的轨迹方程是y2=4x;

(2)若直线人8斜率不存在，则|AB|=4不合题意，因此直线人8斜率存在，

设直线A8方程为y=左。-1),代入曲线C方程整理得k2x2-(2k2+4)x+/=0,

设A(西,y),8(占,%),则再+占=—+—4=2+鼻4，

kk

=|AF|+|BF|=X)+X+p=2+—+2=8,k=±1,

2k

所以直线48方程为y=±(x-l),即x+y-］=0或x-y—l=().

7.(2023秋•重庆沙坪坝•高二重庆一中校考期中)已知抛物线C:/=2〃)，(〃>0)的焦点为F、「到双曲线

工一/=］的渐近线的距离为］

3

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)过动点A(〃,0)作抛物线。的切线AB(斜率不为0),切点为B,求线段八8的中点。的轨迹方程.

［答案］(l).v2=8y;

(2)x2=9y(xw0).

【分析】(1)求得双曲线的渐近线方程，和抛物线焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求得〃以及抛

物线方程;

（2）设出切线方程，联立抛物线方程，根据相切关系，求得参数之间的关系，再结合点。的坐标求解，消

去参数，即可求得点力的轨迹方程.

2

【详解】（1）双曲线三-/=1的一条渐近线为=

又抛物线C:V=2py（p>0）的焦点F的坐标为（0,当），

P

2

由题可得；__2_=1，解得〃-4,故抛物线,方程为：X=8V.

V3+T?"

（2）设过点A（a,0）与抛物线C相切的直线方程为y=A（x-〃）,&工0,

联立抛物线方程V=8.V可得/-肽r+8妨=0,

则A=64k2一32履=0,又AHO,贝1。=22,且/=4攵，）％=2-,

设点。的坐标为（x,力，则犬=@?=3太），=巴卢•=公，即&=；，代入》=公，

可得f=9）,,又人工0,故工工0；

则点。的轨迹方程为：/=9V（A^0）.

8.：2023秋•湖北•高二校联考阶段练习）已知抛物线）？=2*（〃>0）,A（X明），8（.%%）在抛物线上，且

△OAB（。为原点）为等边三角形，|。4|=|。8|=26.

⑴求抛物线的方程；

⑵若直线/过直线与x轴的交点，且与抛物线交于M、N两点，求AOMN的重心的轨迹方程.

【答案】（1尸=刀

（2»=3/+2

［分析［1）设义0,），网超,月），由点在抛物线上及|°41ToM可推出A,8关于x轴对称，据此求出（3.6）

在抛物线上，即可得解；

（2）设直线/的方程为％=〃?y+3,联立抛物线方程，由根与系数的关系及三角形重心坐标公式求出重心坐

标，消元即可得解.

【详解】（I）已知抛物线J=2px（p>0）,设A（x”y）,v2）,

因为|。4|=|OB|,所以x：+y；=名+y；,即x；+2p$=x；+2px2,

解得（占一天）（再+&+2〃）=。,

因为*>0,x2>0,所以x+%2+2p>0,解得百一工2=0，所以A,B关于X轴对称,

又因为|网=|。却=2百,所以(3,6)在抛物线上,

代入解得2〃=1,所以抛物线方程为y'x.

(2)由(1)可知直线48与、轴的交点坐标为(3,0),

所以设直线/的方程为x=iny+3,

X=niy+3

设必«,为)，N(凡,)，4),2_,解得),2—"?)，-3=0,

y=工

A=m2+12>0

所以、%+以="?，

为”=一3

&+凡+0_，心3+”）+6_w2

x=

3-3-T

设的重心坐标为(x,y),所以.

，3+/+（）,〃

y二-T

所以AOMN的重心的轨迹方程为x=3y2+2.

考点三直线与抛物线的位置关系

9.(2023・高二课时绦习)已知抛物线的方程为,户=4］，直线/辽定点尸(-2,1),斜率为攵，々为何值时，宜

线/与抛物线y2=4x

(1)只有一个公共点；

(2)有两个公共点；

(3)没有公共点？

【答案】(1)攵=0或〃=，或攵=一1,(2)一1<%<!且人工0,(3)k>?或k〈-l

222

［分析】首先设出直线方程，联立直线方程与抛物线方程得到公/+(4公+2&-4口+4-+必+1=().

(1)将直线与抛物线只有一个公共点，转化为方程2%+(必2+2A-4)x+4公+必+1=()只有一个根，再讨论出,

再利用判别式求解即可.

(2)将直线与抛物线只有两个公共点,转化为方程女2/+(4犬+2&_4»+软2+软+1=0只有两个根，再利用

判别式求解即可.

(3)将直线与抛物线没有公共点，转化为方程入2十(4厂+2A-4»+4小+4人+1=0无根，再利用判别式求解

即可.

【详解】设直线/的方程为：y—】=&(x+2),即y=k(x+2)+l.

fj'=A:(jr+2)+l,,,,

联立n公丁+(4-+2k-4)工+4左2+4女+1=0

[y~=4x

(1)因为直线与抛物线只有一个公共点，

等价于方程有x2+(4k2+2&-4口+4产+软+1=0只有一个根.

当也=0时，-4x4-1=0,符合题意.

当人工0时，A=(4k2+2k-4-一4-(4-+4女+1)=0,

整理得：2公+"1=0,解得女=工或k=-L

2

综上可得：攵=0或％="!■或女=-1.

2

(2)因为直线与抛物线有两个公共点，

筝价于方程公工2+(4公十2人-4)“十4代十4A+1-0只有两个根.

所以人00,△=(442+2&-4y-4k2(4*2+44+1)＞0,

即2&2+&-1＜。，解得一1v&v；且々工0.

(3)因为直线与抛物线没有公共点，

等价于方程公V+(4k2+2k-4)x+4k'+42+I=0无根.

所以女工0,A=(4k2+24一4)2-4-(4,+4Z+1)v0,

即乂2+%-1＞0,解得&或左＜一1.

2

10.(2023・高二课时练习)设直线/：)，=米+1,抛物线C：V=4x,当k为何值时，/与。相切？相交？相

离？

【答案】当k=l时，/与。相切；当出＜1时，/与C相交；当Q1时，/与C相离.

[分析】联立直线方程和抛物线方程，分类讨论即可.

y—jtv+I

2J

{/=4x,

消去并整理，得/丁+(2攵-4口+1=0.

当人工0时，方程犹/+(2攵_4口+1=0为一元二次方程.

所以A=(2女一4尸一4〃=16(1-2).

当A=0,即k=1时，/与C相切；

当A＞0,即火＜1且4工。时，/与。相交；

当Av。，即4>1时，/与C相离.

当k=0时，直线/的方程为y=1,显然与抛物线C交于点

综上所述，当攵=1时，/与C相切；当攵<1时，/与C相交；当攵>1时，/与。相离.

11.(2023・高二单元测试)如图，直线/：y=x+m与抛物线C：J=8y相切于点P.

(I)求实数m的值;

(2)求以点P为圆心，且与抛物线。的准线相切的圆的方程.

［答案］(l)m=—2

(2)|>-4)2+(y-2)2=16

【分析】(1)联立方程，利用判别式为零可求结果；

(2)先求点P的坐标，再求圆的半径，根据圆心和半径写出圆的方程.

(1)

直线/：旷=工+机与抛物线(7：/=8)，相切于点/>.

y=x+m

则，。，得f-8x-8/〃=0,(*)

因为直线/与抛物线。相切，所以△=(-8)2—4x(—8〃?)=。，解得加=一2.

(2)

由(1)可知m=一2,故方程(*)即为Y-8工+16=0,解得x=4,

代入x2=8y,得y=2.

故点尸(4,2),

因为圆尸与抛物线C的准线相切，所以p的半径「等于圆心尸到抛物线的准线y=-2的距离，

即r=|2-(-2)|=4,

所以圆尸的方程为(1Tf+(y-2/=16.

考点四直线与抛物线的弦长、中点弦、焦点弦问题

12.（2023秋•吉林长春•高二统考期末）已知抛物线V=2px（p>0）的焦点厂到准线的距离为2.

（1）点尸在抛物线上,且阳=5,求点P的坐标；

（2）直线），二X一2交抛物线于4，8两点，求恒⑼.

【答案】（1）（4,4）或（4,-4）

（2）476

【分析】（1）先根据焦点到准线的距离求出，，设尸（维，儿），进而利用焦半径公式可得点。的坐标;

（2）联立直线和抛物线方程，然后利用弦长公式求

【详解】（1）由已知，抛物线尸=2/*（〃>0）的焦点产到准线的距离为2,

则p=2,

则抛物线方程为V=4x,

设产（七,右），则归户|=*+与=玉,+1=5,/.%=4

将P（4,%）代入y2=4x得y：=16,/.y0=±4,

所以点P的坐标为（4,4）或（4,-4）

y=x-2

（2）联立,_4%，消去得V-8x+4=0,

:.\AB\=VT+T,82-4X4=4m

13.（2023秋•安徽黄山•高二屯溪一中统考期末）已知抛物线炉=2”（〃>0）的焦点为尸，且广为圆

/+（,—1）2=1的圆心.过点尸的直线交抛物线与圆分别为A,C,D,8（从左到右），且A（&,yJ,8（孙力）.

⑴求抛物线的方程并证明,必是定值；

（2）若AAOC,△BOD的面积满足:S△人农=4S*g,求弦A8的长.

【答案】（1）答案见解析；

呜

【分析】（1）先求出焦点尸（0,1）,即可求出抛物线的方程；利用“设而不求法”证明出》［力=1；（2）求出

|AC|=2.|Z?D|=p即可求出弦丽的长.

【详解】（1）由尸为圆f+（）,_］/=［的圆心可知：尸（0」）

又抛物线丁=2〃y（p>0）的焦点为尸，所以5=1,解得：p=2.

所以抛物线的方程为寸=4y.

过点少的直线交抛物线于A,8,且8（占,乃）..

所以直线的斜率必存在，设其为A,设直线方程为），=辰+1.

x2=4y

联立《，.

y=ALV+1

当上二0时，解得：乂=%=1，所以）；乃=1.

当2Ho时，消去不得：一仔+4）），+』=。，所以.”2=1.

综上所述：y%=1为定值.

（2）因为5揖”.=45M加且两个三角形等高，所以|AC|二4忸必

因为|4。卜|明=修尸|一|。尸|>（怛叶一|力尸|）=|4尸卜忸尸|一（|从尸|+忸尸|）+1

=（。+1）（%+1）-（凹+1+、2+1）+1

四|=4|叫产二

叫同|如1解付:帆T

所以|AB|=kq+|CD|+|O8|

=2+2+-

2

9

=­

2°

14.(2023秋•江苏苏州・高二苏州中学校考期末)已知抛物线C:/=2m，(p>0)的焦点为尸，点P(2,l)在抛物

线C上.

(1)求点F的坐标和抛物线C的准线方程；

(2)过点尸的直线/交抛物线C于.4、B两点，且线段48的中点为M(2,3),求直线/的方程及|AB|.

【答案】(1)尸的坐标为(0,1),准线方程为y=-l

(2)y-A«1,|人团=8

【分析】(1)将已知点代入抛物线方程，解得参数〃的值，即可得答案.

(2)由£/求得直线/的方程，利用抛物线定义，结合弦长公式以及中点坐标公式，可得答案.

【详解】(1)•••点P(2,l)在抛物线上，.•.4=2p,:.p=2,

:.F的坐标为(0,1),抛物线C的准线方程为y=-\.

(2)由题可知，直线/经过尸(()/)与M(2,3),

3-1

.../的斜率A=——=|,.•.直线/的方程为y=x+l,

2-0

设,4,8的坐标分别为(斗,凹)，(马,为)，

则由抛物线的定义可知|AB\=>•,+丹+2,

又,48的中点为例(2,3),.・.)[+)，2=3乂2=6,二|八刈=6+2=8.

15.(2023秋•海南省直辖县级单位•高二嘉积中学校考阶段练习)已知抛物线。：丁=2川(〃>°),点P(21)

在直线/上，直线/绕点P(2/)旋脸与C交于A,B两点.当直发/垂直于x轴时，|4即=4&.

(1)求抛物线。的方程；

(2)当点P为弦4B的中点时，求直线/的方程.

【答案】(1)/=4x

⑵2x-y-3=0

【分析】(1)直接将x=2代入抛物线中求出焦点的纵坐标•然后通过M同=4&即可求出〃值，进而求出抛

物线方程；

(2)直接使用点差法求解直线斜率，进而利用点斜式求解出直坡方程即可.

［详解］(1)把x=2彳弋入y2=2px,则y=±2y［p,

邛同=4/=4&即〃=2,

:.抛物线的方程为：)尸=4x.

(2)设A(w，yJ,8(巧,力),则y；=4%…①，£=4%…②

②-①得：£一)”4(马一%)，^^•(%+,)=4,

X2~X\

44c

:,k=-----=-=2,

»+y2

则直线/的方程为：y-l=2(x-2),即21一)，-3=0

16.(2023秋•河南鹤壁•高二河南省浚县第一中学校考阶段练习)已知抛物线C':)F=2px(p>0)上的点

(点M位于第四象限)到焦点尸的距离为5.

(1)求〃，机的值；

(2)过点P(l,2)作直线/交抛物线C于48两点，且点P是线段人8的中点，求直线/的方程.

【答案】(1)〃=4,〃?=一2几

(2)2x-y=0

【分析】(1)根据抛物线的定义，可得：3+g=5,可得:〃=4,将点M(3,小)代入抛物线方程即可求解；

(2)设4(0.»),8。”力)，利用点差法可得直线/的斜率攵=上二&二」一=2,然后利用点斜式即可求出直

r)_x2y+>2

线/的方程.

【详解】(1)因为抛物线。：尸=2*(〃>0)过点加(3,回，且点M(3,〃?)到焦点E的距离为5,由抛物线的

定义可得：3+5=5,解得：〃=4,

所以抛物线方程为：y2=Sx,将点M(3,m)代入可得：>=24,

因为点M(3,⑼位于第四象限，所以加=-2#,

所以〃=4,m——25/6.

(2)设4/)\),8(工”必)，因为儿3在抛物线y=8天上,

则，两式作差可得：（y+%）（,-%）=8（为一马），

%=8X2

所以直线/的斜率左二,'一/=—--,

x「占>'i+y2

因为点P（l,2）是线段A8的中点，所以片+力=4,则直线/的斜率&=2,

所以直线/的方程为）」2=20-1）,也即2x—y=0（经检验，所求直线符合条件）.

2

17.（2023秋•陕西渭南•高二统考期末）设抛物线C:y=2px（p>0）的焦点为F,过点厂的直线/（交抛物线

。于A4两点，且|AB|=8,线段AB的中点到）'轴的距离为3.

⑴求抛物线C的方程；

（2）若直线I?：y=依+〃［与圆。:/+y2=；和抛物线C均相切，求实数m的值.

［答案］（l）/=4x;

⑵上1.

【分析】（1）设出4、8点坐标，由已知可得内+9=6,又易得|人叫=玉+々+〃=8,即可解出〃=2；

（2）根据直线与圆相切，可得2疗=1+公；联立直线与抛物线，根据直线与抛物线相切可得A=0,即可

推得痴=1.联立两式,即可解出实数”的值.

【详解】（1）设A（xi，yj,8（*2，%）,%,七>0.

则线段AB的中点坐标为（百芋■，丝,

如图，分别过点A、B作准线的垂线，垂足为A、B］,根据抛物线的定义可知，|AF|=|AA|=M+］,

网=1网=修+金

又MM=|AF|+忸F|,所以|AB|=』+w+p=8,所以〃=2,

所以，抛物线。的方程为：y2=4x.

(2)因为园O:f+y2=g圆心为0(0,0),羊径为「=当,直线/2：丁=6+加，即米-)，+机=0与圆

Oix2+y2=，相切，

2

同

,即有2加=1+3①

717F-2

y="+犯，可得人2+(2强-4ix+tn2=0,

联立直线4与抛物线C的方程•

y=4x,

因为直线4与抛物线C相切,

所以△=(2km-4)2-4k2〃?2=0,得km=1②，

……km=1.,fAr=1,{k=-1

联立①②\2】解得《।或11，

2m=1+攵[m=1[，〃=-1

即实数6的值为土1.

考点五直线与抛物线的面积(最值)问题

18.(2023秋・山东滨州•高二校考期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为尸，点尸伉，为)在抛物线C

上，且|PF|=x0+l.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若直线/:x—y—2=0与抛物线C交于A8两点，求AABF的面积.

［答案］(l)/=4x

⑵2g

【分析】(1)根据抛物线的定义求出〃可得抛物线C的标准方程；

(2)先联立直线与抛物线，求出|人田，再求出点尸到直线/的距离，然后由三角形面积公式可求出结果.

【详解】(1)由抛物线的定义可得IP用=鹏+^,

因为|尸尸|=%+1,所以/+与=为+1,解得p=2,

故抛物线C的标准方程为/=4x.

(2)设4(N，yj,B&，%)，由(1)知尸(LO).

-y-2=0,,

由〈，，,y-4v-8=0,A=16+32=48>0,

y~=4x”

则为+必=4,X%=-8,

所以Iy-%1=+%)2-4,)，2=J16+32=4百，

2222

所以IA41=yl(xi-x2)+(yi-y2)=7(y1+2-y2-2)+(y1-y2)

=亚Iy-%1=&x4g=4亚

因为点尸到直线/的距离1=匕义=①，

V1+12

所以的面积为」|AB卜"=1x4"x巫=2右.

222

19.(2023•四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考二模)已知支线/与抛物线。：丁=2内(〃>°)交于AB两点，

当/过抛物线焦点且垂直于x轴时，|AB|=4.又p是圆M:(x+iy+y2=l上一点，若尸A、PB卷是C的切线.

(1)求抛物线C的方程及其准线方程；

(2)求APAB的面积的最大值.

［答案］(1)>,2=4x,x=-\;

⑵8VL

【分析】(1)由当/过抛物线焦点且垂直于X轴时，|AB|=4,得到点(5,2)在抛物线上求解；

(2)先证明抛物线C上一点。(%,%)处的切线方程为2工-%丁+2/=。，设点A(k，x)、8(孙必)、?(孙丹)，

利用上面的结论得到直线AB的方程为2x-乃)，+2七=0，然后与抛物线方程联立，得至和点p到直线

AB的距离,建立以川,二求解.

【详解】(1)解：因为当/过抛物线焦点且垂直于X轴时，|AB|=4,

所以点(5,2)在抛物线上，则22=2〃X5,解得〃=2,

所以抛物线C的方程为V=4x,该抛物线的准线方程为％=-1；

(2)先证明抛物线C在其上一点。(天,为)处的切线方程为

2xf），+2/=0,

证明如下:由于点Q（，%,%）在抛物线C上，则y~=4%,

联立]；n，可得4"-为〉'+2.%=0,即产一2），0），+父=（）,

[2x-yQy+2xo=O2

则A=4y；-4y：=0,

所以抛物线C在其上一点。（小,兄）处的切线方程为2x-%y+2/=0.

设点A（X，M）、〃（工2，月）、。（0为），

则直线PA的方程为2x-yy+2x,=0,直线PB的方程为2x-y2y+2x2=0,

因为点P在直线24、PB上,所以一，，

2七一%为+29=°

所以点A、8的坐标满足方程2.r-yyy+2x3=0,

因为两点确定一条直线，

所以直线AB的方程为2x-y3y+2x3=0,

r、

联立：="C八，消去x可得）3-2%），+4天=°，

2x-y3y+2xy=0

由韦达定理可得y+%=2%，）仃2=4%，

所以|A5|\1+圉・回一%|二四亘4（乂+%）2-4>M=拈；+4乂,

点P到直线AB的距离为d='r----=1,

Jy；+4

S

所以&PAB=T|八卦"=-1(y；+4)[y；-4.)

%-4巧--xj-2巧一4七一一（，q+3『+9,阵中一2V七《。，

所以当天=一2时，£-4天取得最大值8,

所以Sc=g(y"4.qp弓x”=8技

20.（2023秋•河南洛阳•高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知抛物线C：V=2〃x（p>0）的焦点

为广，点P（%p）在抛物线。上,为-1,0）,|闭=|尸0+1.

(1)求。的方程.

(2)过/的直线/与C相交于A,8两点，线段的垂直平分线与。相交于M,N两点，若/的斜率为1,

求四边形AM8N的面积.

［答案】(1)抛物线C的方程为)，2=8X;

(2)四边形AMBN的面积为128G.

［分析】(1)将点夕(.％,〃)代入抛物线方程，求得与，由|研一忻0+1可求得〃的值，由此可得得。的方程；

(2)由条件求八3的方程，联立方程组由抛物线焦点弦公式求M⑼，再求线段a8的垂直平分线的方程，利

用设而不求法结合弦长公式求|“则，由此可求四边形AM8N的由积.

/\

【详解】(1)因为点p(%,p)在抛物线。上，所以p2=2〃M，解得毛=§,所以点。的坐标为P§,p,

/\

又尸§,0,0(-1,0),所以|FQ卜§+1,|FP|二p.

因为忻P|=|FQ|+1,所以〃=］+1+1,解得〃=4,

故抛物线C的方程为尸=标；

(2)由(1)可知，抛物线。的焦点尸的坐标为(2,0),又/的斜率为1,

故/的方程为y=x-2,

联立方程组〈一消去x,得)，2一8)，-16=0.方程9一8)，-16=0的判别式A=64+64>0,

y-ox

设则X+%=8,y,y2=-16,玉+毛=y+2+%+2=12,

所以笥2=6,区&=4,设线段48的中点为。，故点。的坐标为(6,4).

所以1ABi=%+%+4=16,

又直线MN的斜率为-1,所以MV的方程为)」4=-1"-6).即x+)，-10=0,

x+y-10=0

联立方程组〈2，消去)'，得f_28x+100=0.方程］2一28工+100=0的判别式A=784-400>0,

y=8.v

设川(%外)，N(XQ，4),则用+』=28,XyX4=100,

所以|MN|=+|x4-x3|=拒］(%+X3)2-4%为=V2xx/384=166，

所以四边形AMBN的面积S=；|八如眼%|=128x/3.

21.（2023・四川南充・统考一模）已知抛物线。：尸=2*（〃>0）上一点加（3J）到准线的距离为4,焦点为产，

坐标原点为O,直线/与抛物线。交于A、8两点（与。点均不重合）.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若以AB为直径的圆过原点O,求与ABOF的面积之和的最小值.

［答案］（l）/=4x

（2）873

【分析】（1）由抛物线的定义求出P的值，即可得出抛物线。的方程；

（2）分析可知直线A8不与y轴垂直，设直线A3的方程为x=+设点月（不X）、8（看,必），将

直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用况.砺=0可求得，的值，可知直线反过定点，再利用三角形的

而枳公式以及基本不等式可求得AABb与ABO/的面积之和的最小值.

【详解】（1）解：由抛物线的定义可知点M（3j）到准线的距离为3+5=4,解得〃=2,

所以，抛物线C的方程为y2=4K.

（2）解：若直线A3垂直于丁轴，此时直线A8与抛物线C只有一个交点，不合乎题意，

不妨设直线AB的方程为x=my+：(t=0),设点A(1,yj、B(x2,y2),

,.[x=my-¥t、

联立12_A可得y-4〃少-4/=°，则△=16〃/+⑹>°,

由韦达定理可得y+%=4"?，>/=一4/,

所以，・。月=x/2=^^+凹力=/-4/=0,/±0,解得1=4,

16

所以，直线A3的方程为，1=冲+4,直线A8过定点M（4,0）,则y）a=T6,

不妨设y>0,则必<0，则葭萩=：|MFHy-％|="3?i+—k

22k

8

5~8=；|。叩必|=：,所以，S^BF+S^BOF=|y,+—>2/1v,-=>/5,

“'i2ylvzy

当且仅当■!)、=必时，即当),=迈时，等号成立，

2J1力3

因此，与AAO”的面积之和的放小值为8石.

考点六常规韦达定理的应用

22.(2023秋•福建•高二福建师大附中校考期末)已知抛物线C：)，2=2〃MP>0),点P(2,4)在抛物线C上.

(1)求抛物线C的方程；

(2)不过原点的宜线/：y=x+m与抛物线交于不同两点P,Q,若以线段P。为直径的圆过原点，求加的值.

［答案】⑴V=8x

(2)-8

【分析】(1)将点P(2,4)代入抛功线C方程即可求得，的值，进而可求出抛物线的方程；

(2)联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合由题意推得的x/2+y%=0,得到关于根的方程，解之

即可.

【详解】(1)因为点尸(2,4)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,

所以42=2〃X2,即〃=4,

故抛物线C的方程为=8工

(2)设P(3,y),。(与，%),

V=Y+//I

联立《「c，消去)'，得V+(2〃?—8)x+〃/=0，

y~-8x

222

所以百+工2=8-2/〃，xxx2=m,A=(2/n-8)-4/M>0,则〃i<2,

因为以线段PQ为直径的圆过原点，所以OP_LOQ,则丽・丽=内々+,为=0，

22

所以xtXy+yty2=xw+(X]+ni)(x2+m\=21丙+〃](％+.q)+m=2m+m(8-2m)+nr=0,解得tn=-8或m