2024-2026年高考数学试题分类汇编三角函数与解三角形（解析版）

三角函数与解三角形

2026年：全国I/II卷、北京

卷、天津卷、上海卷；

2025年:全国I/H卷、北京

以同角三角函数关系、两角和差、二倍角公

卷、天津卷、上海卷；

考点01三角恒等式为核心，考查化简、求值；常结合函数零

2024年：新课标I/II卷、全

变奏点、最值综合设问，公式灵活运用是考查重

国甲卷、北京卷、天津卷、

点，多选题型有所涉及。

上海卷；

题型包含选择、填空、解答

题，为高频必考考点

2026年：全国I/I【卷、北京

卷、天津卷、上海卷；

2025年：全国I/H卷、北京

重点考查周期、奇偶性、单调性、对称轴、

卷、天津卷、上海卷；

考点02三角函数对称口心；图象平移、交点问题热度高，融

2024年：新课标I/II卷、全

图象与性质入新定义、实际生活情境，侧重数形结合思

国甲卷、北京卷、天津卷、

想。

上海卷；

选择、填空为主，部分地区

结合解答题考查

2026年：全国I/H卷、北京

卷、天津卷、上海卷；

2025年：全国I/I【卷、北京

主要考察正弦定理、余弦定理、面积公式；

卷、天津卷、上海卷；

常与立体几何、球面几何、实际测量、机械

考点03解三角形2024年：新课标I/H卷、全

模型结合命题；解答题综合性强，多设置多

国甲卷、北京卷、天津卷、

小问分层考查，注重边角互化与逻辑推理。

上海卷；

小题、解答大题均高频出现，

属于核心主干考点

考点01三角恒等变换

I.(2026•全国H卷•高考真题)已知a为第二象限角，且3sin%cosa=8sinacos2a,则上巴=()

2-cosa

33C115

A.—B.-C.~D.—

45212

【答案】C

【分析】利用二倍角公式化简可得3cos2a=4(2cos2。-1),结合角的范围分别求出cosa,sina即可求解.

【详解】由3$由2。85。=8$m。(：052。，得：6sinacos2a=8sina(cos2a-sin2a)

1

因为a是第二象限角，所以sina＞0,cosa＜0,

化简得：3cos°a=4(2cos2a_1),即cos2a=g

解得：cosa=-^^~*

lh于cosa<0f

5

因为skia>0,所以sina=Vl-cos2a=，

“-1+sina

所以二京二谬

5

2.(2025・北京•高考真题)设函数/(x)=sin&x+cos公&y＞0),若/(x+兀)=/(x)恒成立，且/(x)在0弓

上存在零点，则少的最小值为()

A.8B.6C.4D.3

【答案】C

【分析】由辅助角公式化简函数解析式，冉由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.

【详解】函数/(I)=sin5+coss=近sinCDX+:69>0),

设函数/(x)的最小正周期为T,由/(x+7t)=/(x)可得47=兀，卜eN),

所以「=券=%HWN・)，即©=2左,(丘网；

又函数/(x)在0。上存在零点，且当xw0。时，①x+y»

444444

所以理+四之兀，即。N3；

44

综上,与的最小值为4.

故选：C.

3.(2025•全国H卷•高考真题)已知0＜。＜乃，cos3=^，则sinja-f]=()

25I4J

A.2B.旦C.辿D.逑

1051010

【答案】D

34

【分析】利用二倍角余弦公式得cosa=-2,则sina=1,最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.

JJ

【详解】cosa=2cos23-1=2x(乎)-1=-1

因为0＜。＜乃，则、＜。＜兀，则sina=Jl-cos2a=3?4

5

2

J

I4J445巫2I5j)也2巫10

故选：D.

4.（2024・上海•高考真题）下列函数的最小正周期是2兀的是（）

A.sinx+cosxB.siriYCOsr

C.sin2x+cos2xD.sin2x-cos2x

【答案】A

【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.

【详解】对A,sinx+cosx=\/5sin卜+：）,周期7=2兀，故A正确：

对B,sin.rcosx=-sin2x,周期7=女=兀，故B错误；

22

对干选项C,sin2x+cos2x=l,是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；

对于选项D,shi2x-cos2x=-cus2x，周期T=g=n,故D错误，

故选：A.

5.（2024•全国甲卷•高考真题）己知一c°s〃=6则tanfa+』=（）

cosa-sinaV41

A.2百+1B.2>/3-1C.—D.1-6

2

【答案】B

CCS

【分析】先将一早以Ct一弦化切求得tana,再根据两角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

【详解】因为c°sa=6,

cosa-sina

所以-------=百，=>tana=1--,

I-tana3

所以tan（a+¥）=,na+l=2^7,

k4J1-tana

故选：B.

6.（2024•新课标I卷•高考真题）已知cos（a+/?）=/%tanatan6=2,则cos（a-口）=（）

A.-3wB.---C.—D.3ni

33

【答案】A

【分析】根据两角和的余弦可求8sacos/?,sinasin/?的关系，结合lanatan/?的值可求前者，故可求

cos(a-/?)的值.

【详解】因为COS（。+/?）=/〃，所以（：051（：00/?-5仙。5布/7=/〃，

3

而tanatan=2,所以sinasin/?=2cosacos0,

故cosacos/?-2cosacos°=m即cosacos0=-m,

从而sinasin£=-2m,故cos(a-4)=-3m,

故选：A.

7.(2025•全国I卷•高考真题)(多选)已知△月4。的面积为］若

4

cos2J+cos2Z?+2sinC=2,cosJcosZ?sinC=—,贝I」()

4

A.sinC=sin2^+sin2BB.AB=\［2

C.sinJ+sin^=—D.AC2+BC2=3

2

【答案】ABC

【分析】对cos24+cos28+2sinC=2由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较4+8和］的

大小,方法二亦可使用正余弦定理讨论解决,方法=可结合射影定理解决.方法叫可在法二的基础卜,利

用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用cos力cos4sinC=!算出48取值，最后利用三角形面积求出

三边长，即可判断每个选项.

【详解】cos24+cos24+2sinC=2,由二倍角公式，l—2sinJ+l-2sii?8+2sinC=2,

整理可得,sinC=sin2A+sin2B»A选项正确;

由诱导公式，sin(J+5)=sin(7r-C)=sinC,

展开可得sin/cosB+sin8cos4=sin24+sin?B，

即sin力(sinA-cos4)+sin"(sinB-cosJ)=0,

下证。==.

2

方法一：分类讨论

若A+B=巴,则sin4=cos8,sin8=cos4可知等式成立；

2

7TJr

若,4+B<7，即/<二-8,由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sin力<cos〃，同理sin8<cos/1,

22

又sinA>0,sinB>0,于是sin/l(sinJ-cos5)+sin4(sin4-cos/1)<0,

与条件不符，则N+不成立；

若A+B>三,类似可推导出sin/(sinA-cosB)+sin8(sin5-cosJ)>0,则4+8>四不成立.

22

综上讨论可知，A+B=~,即C=3

22

4

方法二：边角转化

sinC=sin2J+sin2由Ce(O,兀)，则sinCw(0,1],

于是IxsinC=sin2J+sin2B>sin2C，

由正弦定理,a2+b2>c\

由余弦定理可知,cosCNO,则Cw(0,夕,

若Cw(O,g),则4+色，注意到cos/cos8sinC=L,则cos/cos>0,

224

于是cos4>0,cos4>0(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是4,8w(o,5,

结合4+—而/，^一台都是锐角，则sin4>sin(卷一Bj=cos8>0,

于是sinC=sin24+sin，B>cos25+sin28=1,这和sinCV1相矛盾，

故Ce(0,5)不成立，则C=]

方法二：结合射影定理(方法一改进)

chsinC=sin2J+sin2B»结合正弦定理可得,c=asinJ+6sinB,由射影定理可得c=acos8+合os4,于

是asin4+bsin8=acosB+bcosA,

则〃6皿4一8$8)+6”由8-854)=0,可同方法一种讨论的角度，推出4+8=1,

方法四：和差化积(方法一改进)

续法三：

a(sinA-cosB)+Z>(sinB-cosJ)=0,nJsinJ-cosB,sin5-cosJ同时为0或者异号，即

(sinA-cos8)(sinB-cosJ)<0,展开可得，

sin/sin4—sinAcosA-cos4sin6+cosAcosB<0,

即cos。—8)—；(sin2/f+sin24)K0,结合和差化积，cos(4-B)(l-sin(4+0)W0,由上述分析，44do弓

则,4一4£(-5,3),则cos(力-8)20,则1—sin(力+8)40,即sinCNl,于是sinC=l,可知C=g.

Izz/幺

由85/1(：0585而。='=(；054853,由4+8=2，则cos«=sin/，即sinAcos力=一,

424

则sin24=!，同理sin28=1,由上述推导，则2428w(0,7r),

22I2)

不妨设力<8,则2/=/28=手即4=去'=工，

由两角和差的正弦公式可知sin^+sin2=®-及+#+6=负,c选项正确

1212442

由两角和的正切公式可得，tan^|=2+百，

5

设BC=f,/C=（2+VJ）/,贝IJ48=（&+6）1,

由L8c=，2+G）/=：,则〃=土等=（与1）,则公亨，

/

于是48=（逐+&）/=&,B选项正确，由勾股定理可知，/tC;BC?=2,D选项错误.

8.（2026・上海•高考真题）已知sina=；,则cos2a=.

【答案】a23

【详解】cos2a=l-2sin2«=l-2xf-=—.

\5）25

1,x>0

9.（2025・上海•高考真题）已知f（x）=<0,x=0,水及不是平面内三个不同的单位向量.若

-1,x<0

/（1力）+/（力为+/（1才）=0，则|2+B+E|的取值范围是.

【答案】Q而

【分析】利用分段函数值分类讨论，可得{/«i）,/*•珠/04}={-1,01},再根据数量积关系设出£,而

坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.

【详解】若/（〉5）=/（“）=/仅％）=0,则=

又三个向量均为平面内的单位向量，故向量£石1两两垂直，显然不成立：

故{/（】和/@珠/仅旬}={-1,0,1}.

八叫=1

不妨设，/06）=。，则£}>o,B・Z=o,3Z<0,

/伍3）=-1

不妨设右一（1,0）,"-（0,1）,a=（cos。,sin。）,6c[0,2兀）,

6

ab=cos夕>()(31

则,则-n,2n,

ca=sin<9<0I」/

则a+5+d=|(1+cos+sin6)|=J(\+cosO)2+(l+sin^)2=j3+2cos6+2sin。

={3+2页sin(e+£),

由6*2兀}"$(为河

(万

则sin(6+Z)e——,2>/2sin(^+—,)e(-2,2)

4122,4

故卜+成+c|e(l,⑹.

故答案为：。,、疗).

10.(2025•上海•高考真题)已知lana=l,则cos(a+：)=

【答案】0

【分析】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可.

(详解】由tana==1nJ得sina=cosa,

cosa

所以cosa+—=cosacos--sinasin—=——fcosa-sina)=0,

I4j442r厂

故答案为：0

11.(2024,全国甲卷•高考真题)函数/(x)=sinx-Wco$x在［0,兀］上的最大值是

【答案】2

【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.

【详解】/(x)=sinx-x/3cosx=2sin当xw[o,兀]时，X-j€

当=g时，即X等时，〃x)a=2.

故答案为：2

12.(2024•新课标H卷•高考真题)己知。为第一象限角，/?为第三象限角，tana+tan/?=4,

tan<ztan/?=V2+l,则sin(a+/7)=.

【答案】_迥

3

【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tan(a+/?)=-20,再缩小。+夕的范围，最后结合同角的平

7

方和关系即可得到答案；法二；利用弦化切的方法即可得到答案.

/0、tana+tan夕4.r-

【详解】法一：由题意得1an(a+°)=匚嬴右而=甲可二一2@，

TlJ37兀I'

因为aw2而,2k兀+5,/?e2m式+兀，加兀+—kjneZ,

2

则a+尸c((2/〃+2A)兀+7t,(2〃?+2上)冗+2冗)，k、mwZ,

又因为tan(a+尸)=一2/(0,

则a+/7e((2机+2〃)兀+微二(如+X)兀+2兀，kjnGZ,则sin(a+6)<0,

则吗a+?=_2&联立sin2(a+/7)+cos2(a+^)=l,解得sin(a+夕)=_迪.

cos(a+/7)、/3

法二：因为。为第一象限角，力为第三象限角，则cosa>0,cos〃<0,

cosacos/7

cosc?—/、、—,1,-,cos/?=

Vsin2(74-cos2av1+tan2a7sin2/?+cos2Pyjl+tan2p，

则sin(a+6)=sinacos夕+cosasin尸=cosacos以tana+tanp)

-4-42<r

4cos«cos/?=—f=

222FT——

Vi+tana+tan?0^tan«+tan/?)+(tanortan/7-l)

故答案为：-2

3

13.(2026・北京・高考真题)已知函数/(x)=2siiwxcosp+2cos5sine，co>0,|同<'|./(工)最小正周

期为冗，且〃。)>0,/(y)=l.

(1)求出、。的值;

(2)求/*)的单调递减区间.

【答案】(1)3=2,

⑵履+强防+蔡(AeZ)

【分析】(1)利用两角和正弦公式化简可得/(x)=2sin(ox+s),结合正弦型函数周期公式列方程求口，

再由/⑼>0,/停=1列式求。；

(2)根据正弦型函数单调区间求法求结论.

【详解】(1)因为/(x)=2sin劭xcose+2cosGxsin*,

8

所以/(x)=2sin®x+。)，

又/(x)的最小正周期为冗，0>0，

所以生=兀，所以口=2,

G)

因为〃0)>0J停1=1,

(兀、

所以sine>0,2sin2x—+(p=1,

I4J

所以0<8<],cos9=5，

所以3=1,

所以/(x)=2sin(2x+?,

(2)4*2kn+—<2x+—<2kn+—,kwZ,TiJW+—<x<Art+—,kwZ,

2321212

函数〃x)=2sin[2x+外的单调递减区间为|"E+g桁+闺(keZ).

14.(2026・天津・高考真题)已知/'(》)=sin(2x+?).

6

(1)求最小正周期；

(2)若工』4，耳，求“X)的最大值和最小值；

(3)若aw(0卷)，sina=印，求/9).

【答案】(1)兀

(2)最大值为李，最小值为-g

如

6

【分析】(1)由正弦型函数周期计算公式计算求解；

(2)利用换元法，结合正弦函数性质求解；

(3)根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解.

.2%27t

【详解】⑴，=时=彳='；

..7171rt-兀兀兀

(2)若xw,WiJ2.r+-e,

_o12」6L63

由正弦函数性质可知，当2x+[=q,即时，函数/(R有最小值，即/(X)而=/1?='，

当即时，函数/(X)有最大值，即/(x)M=/(昌=亭

9

所以函数/(x)的最大值为母，最小值为一；；

(3)若sina—，所以cosa-Vl-sin2a--，

33

则sin2a=2sinacosa—,cos2a=l-2sin2a=-

33

加“、.心冗)•。冗、.式2亚6112瓦+1

则/(。)=sin2a+—=sin2acos-I-cos2asin—=-----K——i-+-=---------.

v7I6)6632326

点02三角函数

1.(2026・北京・高考真题)fa)=sin(x+9)(0<。<2兀)，将/(x)向x轴正方向平移3。个单位,得到的

函数图像与/(x)图像关于x轴对称，则8的取值个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】平移后函数为sin(x-2*),与sin(x+e)关于x轴对称可知函数值互为相反数，利用正弦相等得方程,

排除不恒成立情形，得到9的取值个数.

【详解】将/(X)=sin(x+°)向右平移3。个单位得

g(x)=f(x-3*)=sin(x-3。+8)=sin(x-2(p).

由题意,g(x)与/(M的图像关于x轴对称，即g*)=-/3)恒成立，

即sin(x-23)=一sin(x+。)=sin(-戈一⑺.分两种情形讨论：

(l)x-2(p=-x-(p+2k7i=>2x-(p=2k7i(keZ),对任意x不恒成立，舍去;

@x-2(p=it-(-x-(p)+2k7i=n+x+(p+2kn(kGZ),化简得

-2<o=7t+^?+2kR=>=-Jr-2kn,即夕=一色(1+2片).

3

jr

由0<9<2兀得0<—彳(1+2左)<271=£=—1,一2,—3,

对应9=*兀，干，因此。的取值个数为3个.

2.(2026・全国I卷高考真题)已知集合力=[singcos孚,8=[一旦一』,11,则()

63422

|百1

D.

【答案】C

■右力■mxi77C।7CI.711

【详解】因为sin-rusin兀+二二一9二=一；

6\6762

10

tan——JJl=tan(兀+J—I]=tanI—t=,1,

4I4)4

即集合TH」},且集合8={—乎,一；』、所以Zc8={—：,1}.

3.（2026•天津•高考真题）函数/,*）的部分图象如图所示，则/*）的解析式可能为（）

C.一x+sinmD.xsinTLX

【答案】C

【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断.

【详解】由题意,

由题意及图得，函数歹=/"）为奇函数，且当x=l时，/（工）<（）,

对A选项，当x=l时，l+sinn=l+0=l>0,与图象不符，故A错误;

对B选项，当x=l时，1-sin7r=l-0=l>0,与图象不符，故B错误;

对D选项，当x=l时，Ixsin兀=1x0=（）,与图象不符，故D错误：

对C选项，在g（x）=-x+sin7u-中，

旦（-工）二一（一x）+sin（—7U）=x-sin7LY=-g（x）,即该函数为奇函数,

g（］）=-l+sin7r=-l+0=-l<0,与图象相符，故C正确.

4.（2025・天津・高考真题）/（x）=sin（^x+>0-n<（p<Tt）,在―泮展上单调递增，且为它

的一条对称轴，［*0）是它的一个对称中心，当xe0,5时，/（X）的最小值为（）

A.--B.--C.1D.0

22

【答案】A

【分析】利用正弦函数的对称性得出。。=4〃+2,根据单调性得出0</<2,从而确定结合对称轴与对

称中心再求出。，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解.

【详解】因为函数在卜,，"］上单调递增，且■为它的一条对称轴，

所以X与时函数取最大值，

II

又因为（利是它的一个对称中心,

71兀c,

­(I)+(P=—+2KTI

2

所以J7,(矶keZ),

]/+8=nm

,由正弦函数的对称性可知扇-2二（2"

设“X）的最小正周期为7(//€Z)»

3124

22nit+it._

即---------6y=4〃+2,

42M

又"'）在建闱上单调递增，则会品啕

(p=—+2kn

・・・0=2,贝।卜,(m,keZ),

2兀

(P=mn——

V〃=0,〃？=1时，中=%,/(X)sinf2x+y1,

兀n4n

当工£0,—时，2x+—G

223

由正弦函数的单调性可知f（x）,=sin—=-^

J\/mm32

故选：A

5.(2025・天津•高考真题)设xeR,则“x=0”是“sin2x=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】通过判断是否能相互推土，由充分条件与必要条件的定义可得.

【详解】由x=0=sin2x=sin0=0,则“x=0"是“sin2x=0”的充分条件;

又当x=九时，sin2x=sin2TI=0,nT^Usin2x=0=Ax=0,

故“x=0”不是“sin2x=0”的必要条件,

综上可知，"X=0是"sin2.1=0”的充分不必要条件.

故选:A.

6.（2025•全国I卷•高考真题）己知点（。,0）（。＞0）是函数y=2tan卜一:的图象的一个对称中心，则

的最小值为（）

47t

A，i仁2D.—

3

【答案】B

12

【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.

【详解】根据正切函数的性质，J，=2tan(xT的对称中心横坐标满足》弋=勺,我2,

即y=2tan(x-9的对称中心是+卜eZ,

兀E

即(I=—H-----,kwZ,

32

又”>0,则4=0时。最小，最小值是1，

即“g

故选：B

7.(2025•上海・高考真题)已知“cR,不等式tan朋-〃tan^x^-a-1<0在(0,2025)中的整数解有

，〃个.关于，〃的个数，以下不可能的是().

A.0R.338C.674D.1012

【答案】D

/X

【分析】由题设可得〃<lan刍<。+1,结合正切函数的周期分“W-g或时，和-石<〃<百两种

情况讨论求解即可.

对干/(x)=tan(exj,周期为7=6,

且f(O)=OJ(l)邛J(2)S〃4)=一石,/(5)=-冬/(6)=0,

当“4-石或a26时，不等式。<tan(a丫)<。+1在(0,2025)中无整数解；

当时，若不等式”如信卜+1有在(0,6］内只有1个整数解,

比如〃=1时，此时在(0,6］内的整数解为x=2,

而2025=6x337+3,

则在(0,2025)中可能有337+1=338个整数解；

若不等式。<lan(寿卜+1有在(0,6］内只有2个整数解,

比如a=-0.9时，此时在(0,6］内的整数解为工=5或x=6,

则在(0,2025)中可能有337x2=674个整数解:

13

由于当—1<1,6一当>止区卜当卜1，孚（T）<1，

则在（0.6］内最多只有2个整数解，因此在（0,2025）中不可能有：012个整数解.

故选：D.

8.（2024•北京・高考真题）设函数f（x）=sinsr（0>O）.已知/（为）=-1,/（x2）=l,且|再一七|的最小值为

乌，则〃）=（）

2

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.

【详解】由题意可知：4为/（4）的最小值点，/为/（X）的最大值点,

则忖-/Lin=9=5，即7=冗，

且刃>0,所以。=§=2.

故选：B.

/\r

9.（2024•天津•高考真题）已知函数/3=3sin（ox^（①>0）的最小正周期为兀.则/⑴在区间

k）L126.

上的最小值是（）

A.--B.--C.0D.-

222

【答案】D

【分析】结合周期公式求出处得/（x）=3sin（2x+力,再整体求出当x/-3引时，2x+f的范围，结

\L126」3

合正弦三角函数图象特征即可求解.

【详解】因为函数/'（X）的最小正周期为兀，则r=25,所以/=2,

即f（x）=3sin2.r+-j,当工£时，+yG与'

所以当2x+1q,即工=堵时，.".％》©］小1

故选：D

10.（2024・天津・高考真题）下列函数是偶函数的为（）

【答案】B

14

【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.

【详解】对A,设《卜函数定义域为R,但/(力!^=3’/⑴二W则/(6/⑴，

故A错误；

对B,设《)=箸’函数定义域为R,

cos(-x)-(-x)_cosx-x

且g(T)==g(x),则g(x)为偶函数,故B正确;

(r『+lx2+1

对3设g)=言，6)=雪卡，砌马

A(-l)*A(l),则人(力不是偶函数,故C错误:

对D,设w(x)=W=函数定义域为R,

/、sin(-x)-(-x)-sinx+x/、..

因为e(r)==八］=一。(x)，且。(x)不恒为0,

则。(x)不是偶函数，故D错误.

故选：B.

II.(2024•新课标n卷•高考真题)设函数/(/)=〃(工+1)2—1,g(x)=cosx+2ar,当xe(-l/)时，曲线

y=/*)与y=g(x)恰有一个交点，则。=()

A.-1B.yC.ID.2

【答案】D

【分析】解法一：令尸(x)=of+4-1,G(X)=COSX,分析可知曲线＞=/(》)与丁=6")恰有一个交点，结合

偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得。=2,并代入检验即可；解法二：令

A(x)=/(x)-g(x),xe(-l,l),可知"x)为偶函数,根据偶函数的对称性可知〃(力的零点只能为0,即可得

4=2,并代入检验即可.

【详解】解法一：令/(x)=g(x),BPa(x+1)2-1=cosx+2ax,可得or?+〃_]=cosx，

令F(X)=OV2+«-l,G(x)=cosx,

原题意等价于当xe(-1,1)时，曲线y=2x)与y=G(x)恰有一个交点,

注意到/(".GCr)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得尸(0)=G(0),即a—1=1,解得a=2,

15

若〃=2,令尸(x)=C(x),可得2丁+1-cosx=0

因为xe(—1,1),Kij2x2^0,l-cosx^0,当且仅当x=0时，等号成立，

nj^2x2+l-cosx>0，当且仅当x=0时，等号成立，

则方程2/+l_cosx=0有且仅有一个实根0,即曲线、=/3与卜=6(%)恰有一个交点，

所以〃=2符合题意；

综上所述：a=2.

解法二：4-/?(^)=/W-g(x)=ar2+t7-l-cosx,xG(-l,l),

原题意等价于〃(》)有且仅有一个零点，

因为〃(一4)=〃(一切+“T-cos(-x)=ax+q-l-cosx=/(9，

则力(x)为偶函数，

根据偶函数的对称性可知“X)的零点只能为0,

即力(0)="2=0,解得〃=2,

若。=2,则力(.丫)=2丁+1-cosx,xe(-1,1),

又因为2X2NO』_COSXNO当且仅当x=0时，等号成立，

可得〃(x)20,当且仅当x=0时，等号成立，

即力(工)有且仅有一个零点()，所以。=2符合题意：

故选：D.

12.(2024•新课标I卷•高考真题)当由0,2何时，曲线卜sinx与y=2sin(3x-£j的交点个数为()

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】画出两函数在[0,2可上的图象，根据图象即可求解

【详解】因为函数^=5m工的最小正周期为7=2兀，

函数y=2sinbx用的最小正周期为7=g,

所以在xw[0,2可上函数y=2sin(3x-R有三个周期的图象，

6)

16

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示;

由图可知，两函数图象有6个交点.

故选:C

13.(2024•新课标II卷•高考真题)(多选)对于函数〃x)=sin2x和g")=sin(2x-；),不列说法中正

4

确的有()

A./(x)与g(x)有相同的零点B./(x)与g(x)有相同的最大值

C./(x)与g(x)有相同的最小正周期D./(X)与g(x)的图象有相同的对称轴

【答案】BC

【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.

【详解】A选项，令/(x)=sin2x=0,解得x=即为/(》)零点，

令g(x)=sin(2x-；)=0,解得x="+?,AeZ,即为g(x)零点，

428

显然/(x),g(x)零点不同，八选项错误；

B选项，显然/(x)2=g(x)z=l，B选项正确；

C选项，根据周期公式，/(刈送(工)的周期均为号=兀，C选项正确；

D选项，根据正弦函数的性质/的对称轴满足2x=E+[oK="+二,A，eZ,

224

g(”)的对称轴满足2》->E+；0”铮9我2,

显然/Q)，g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.

故选：BC

14.(2026•全国1卷•高考真题)已知/(x)=2sin(Qx+。)(aeZ,0W6<2兀)是偶函数，/(x)在区间

上单调递增.则。=，.

3兀

【答案】y1

17

【分析】根据单调性和周期性可得同=1,2.解法一：根据偶函数可得〃=全,，并代入结合单调性检验即

可；解法二：根据题意可得/'(0)=0,即可得。=受技，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分

析可知/(')在戈=0处取到极小值，可得o=£，进而可得结果.

【详解】设函数/(X)的最小正周期为r,由题意可知。工o,

因为函数/(X)在(0弓)上单调递增，则即72兀，

2兀、..

可得同，解得同工2,

且小Z,4/0,则同=1,2.

解法一:因为函数/(x)=2sin(G+0)为偶函数,

则8=4兀+四，k、wZ,且0＜。＜2兀，

2

则占=0,1,^=py,

若。=],则/(x)=2sinor+三7T=2cosav=2cos卜),

2)

即/(x)=2cosx或/(x)=2cos2x,不符合题意,

若。=技，则/(x)=2sin(ax+g

=-Icosax=-2co^|〃3,

即f(x)=-2cosx或/(x)=-2cos2x,符合题意;

且f(g)=-2cos等=1或/'(专)=-2cosg=_2cos(兀4-^1=2cos=1；

综上所述：e音，/fyl=l.

解法二：因为/'(x)=2acos3+e),

若函数/(X)为偶函数，则/'(())=2H。3=0,即cos6=0.

且0«。<2兀，则0=工,2，

22

若0=3，则/(x)=2sinor+g=2cosox=2cos(*卜),/,(jf)=-2|«|sin(|a|x),

即「(x)=-2siar<0或/”(x)=-4sin2x<0在(0g)内恒成立,

可知函数/(x)在(0胃)上单调递减，不符合题意，

18

若0=弓，则/(x)=2sinQX+包=-2cosax=-2co^|彳/f(x)=2|a|sin(|a|x),

2

即r(x)=2siat>0或/'(x)=4sin2x>0在0段内恒成立，

可知函数/(X)在(0胃)上单调递增，符合题意，

且/'(专)=-2cos等=1或，(引=-2cosg=_2cos("七卜cos]=1；

综上所述：0=/图=L

解法三：因为函数/(x)=2sin(or+。)为偶函数，且函数/(力在(0弓J上单调递增,

可知/(x)在x=0处取到极小值，则。=2修-kfZ,且0«0<2兀,

则—I，0吟，则/(x)=2sin(ax+青

=-2cosax=-2co^|4

BP/(X)=-2COSXB£/(.r)=-2cos2.r,符合题意;

15.(2026•上海•高考真题)已知三角函数/(/)=%sin(函+