2027届高三数学 解三角形：正弦定理、余弦定理边角互化的应用专训（含答案）

2027届高三数学解三角形：正弦定理、余弦定理

边角互化的应用专训

解三龟形，，正檐定理、金修定理边龟量化的成用专项洌称

题型一正弦定理边角互化的应用

1.(2026•山东聊城♦一模)记△力3。的内角ABC的对边分别为a,b,c,已知Q=/LAABC的面积为

V3

,asinC=V3ccosX.

2

⑴求A;

(2)求△月0C的局长.

2.(2026•贵州遵义•模拟预测)记△ABC的内角4,3,C的对边分别为Q,b,c，已知(c-25)cosX+

。2+二一c'2

-2b--0,

(1)求角4;

⑵若。=6,b+c=9,求△力BC的面积.

3.(2026•江苏南京•模拟预测)在XABC中，角4b。所对应的边分别为Q",C,已知Q=2,ZS•彳方=

ac+R4-BC.

(1)求证：6=24；

(2)若d为△48。的46边上的高,求b2+4V3d的取值范围.

4.(2026・云南・三模)在445。中，角人民。的对边分别为0,从。，记^力/?。的面积为5,且满足5=

(262--^-c2^siiM.

(1)证明：b=c；

⑵若4§・怒=-1,且Q=V3b,求s.

...........»

5.(2026•重庆•模拟预测)在中，角4,B,。所对的边分别为Q,b,c,且满足：26cosA=c-b.

(1)证明：A=26；

⑵若2=(依-l)(2cos2y+cosB)，且c=4,求△A6C的面积S.

6.(2026•河北保定•三模)在A4BC中，角ABC的对边分别为Q,Ac,4=2c.

(1)若6=2c,求力；

(2)若△ABC为锐角三角形,上。=1,求AAE。周长的取值范围.

7.(2026•河北沧州•二模)在中，内角4,石，C的对边分别为Q,儿c，满足号=鬻条

⑴判断△4?。的形状；

⑵若。为边ZZ?上一点，0为花与司的夹角.证明：ccosO=acos(4-0)+bcos(3+£).

8.(2026・天津河北・二模)在44比7中，内角46,。所对的边分别为。，6,。，已知6=7,。=5,^^856

+bsinA=0.

(1)求6的值：

(2)求△乂8。的面积；

⑶求cos(2A+得)的值.

O

题型二余弦定理边角互化的应用

9.（24—25高三上•福建厦门•阶段检测）已知△43。的内角45。所对的边分别为Q,b,c,且26+。一

2acosC=0.

⑴求4

（2）若。为3c边上一点，/BAD=3NC4D力C=4,4。=、公，求sin/?.

10.（2026•重庆沙坪坝•模拟预测）在①2sin（4+装）=,②（Q+C—b）（a+c+6）=3QC；③

,D7O

迦4二正”.=应当这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题.

a—ca+b

问题：在八八月。中,角O,。所对的边分别为「，且.

⑴求5

⑵若A7=4AB,求sinA

q..................

11.（2026•河南周口•三模）记△43。的内角4B,。的对边分别为Q,b,c,已知c2=4absin2y.

（1）证明：Q=b：

⑵若△ABC的面积为3,求Q的最小值.

12.（2026•重庆•模拟预测）记A48C的内角ABC的对边分别为a,b,c,已知62+QC=a2.

⑴求sin（H；B）的值;

sinA

（2）若sinA+cosA=乎,A4HC；的面积为+1,求Q.

.........................................................................a

13.(2026•河南•二模)在4ABe中，角力，石，。所对的边分别为a,b,c,且满足华？+半噜=等多

smAsmBsinC

(1)求角。的取值范围；

(2)当角。取最大值时，边力8上存在一点。，满足CD=1,求△46。周长的取值范围.

14.(2026-甘肃张掖•二模)记的内角力，B,C的对边分别为a,b,c,已知sin6=-2sinAcosC.

⑴求迂浮的值；

b~

(2)求cosB的取值范围.

解王鲁彬•,正照宏AL今弑友靖边看上也妁定用专擅制秣

正弦定,边角互化的应用

1.（2026•山东聊城•一模）记△力3。的内角ABC的对边分别为a,b,c,已知Q=/LAABC的面积为

V3

,asinC=V3ccosX.

2

⑴求A;

（2）求△月0C的局长.

【答案】⑴4二看

<5

（2）n+2/

【分析】（1）由正弦定理对asinC=，^ccos力边化角，即可求解；

（2）由三角形面积公式先求得比，再结合余弦定理得到b+c,即可求解.

【详解】⑴asinC=V3ccosA,由正弦定理知sin4sinC=VBsinCcos/l,

因为0VCVTT,sinCWO,

所以sinA=V3cosA,即tan/l=V3.

又因为0V力〈兀，所以<=看.

O

⑵因为△45C的面积为呼，所以<儿期必=乎.

由①知力=年，所以5也4=^^,所以儿=2.

JZ

由余弦定理知，a2=〃+c2-26ccos71,

所以6=b2+c2—be=(b+c)2-3bc=(6+c)2—6,

所以(b+c)2=12,所以b+c=2-,

所以△力GC的周长为述+2V3.

2.（2026•贵州遵义•模拟预测）记△AB。的内角A,6,。的对边分别为Q,b,c，已知（c-2b）cosA+

d2+b2-c2_

26=°n,

⑴求角4;

⑵若a=6,b+c=9,求△43C的面积.

【答案】⑴,

⑵乎

【分析】（1）利用余弦定理与正弦定理，将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和化筒求解;

⑵利用余弦定理与面积公式，通过“和平方”将b+c转化为从，即可计算面积.

【详解】（1）已知（c—2b）cosA+。~~—=0,

2D

22—2222

由公?一、皿小

由余弦理cosc。=a+-^--c-,则[j,.1-a--+-6--—-c--=acosC,

2ab2o

代人可得：（c-ZbjcosA+acosCuO.

由正弦定理£"=/^=177=2A（A为△48。外接圆半径），

smAsm6sinC

可得a=2RainA,b=2HsinB,c=2RsinC,

代入上式得：（sinC—2sinB）cos/+sin4cosc=0,

整理得：sinCcos/l+sin74cosC—2sinZ?coSi4=0,

根据两角和的正弦公式sin（力—C）=sinB,即sinB-2sinBcosA=0,

因为sin8H0,所以得1—2cosA=0,解得cosA=<，

又因为AW（0,兀），所以A=全

⑵已知a=6,b+c=9,力=与，

J

由余弦定理a2=62+2bccos4代入得36=（b+c）2-26c-2bcx。=81—3bc,

所以be=15,

则面积为：S=^-besinA=4x15x空=坐⑤.

2224

3.（2026♦江苏南京•模拟预测）在2ABe中，角A,B,。所对应的边分别为Q,b,c,已知Q=2,存•NS=

acA-BA-BC.

（1）求证：3=24：

（2）若d为△ABC的48边上的高，求〃+4V3（Z的取值范围.

【答案】（1）由AB•AC=ac+BA•BC得bccosA=ac4-accosB,

两边同时约去c,并由正弦定理得：sinBeosA=sinA+sinAcosB,

所以sin3cos<—sinAcosB=s\nA,即s\n（I3—A）=sin71.

在△月中，因为A,C为内角，所以6—4或6—/二兀一4.

若6一力=兀-4,则6=兀（舍去）.

故6一力=/,即6=2A.证毕，

（2）（16,24].

【分析】（1）先将向量数量积转亿为边与角的关系，得bccosA=ac+accosZ?,再用正弦定理化边为角，结

合两角差的正弦公式，得sin（6-A）=sin4结合三角形内角范围排除矛盾情况，可证得结果；

⑵由已知与正弦定理b=4cos力，由高的定义得d=2sin24代入目标式化简为8+16sinl2A+y）,结

合A的范围求三角函数值域，即可求得结果.

【详解】⑴略

（2）由⑴知B=24,由正弦定理得，b==""叱'=2acosA=4cos4，又d=asinB=2sin2A

sinAsmX

所以〃+4/d=16cos'乂+8^/3sin2X=8+8（cos2X+A/3sin2X）=8+16sin（2/l+^-）.

由三角形内角ABC均为正数，即4>0,Z?=2/4>0,。=1-38>0,解得8£（0,卷），

o

所以24+强W（专,乎），sin（24+专）E（〈J],

ovo07''2」

所以〃+4收4€（16,24].；

4.（2026・云南・三模）在44庚7中，角43,。的对边分别为0也0,记443。的面积为5,且满足5=；

............B

(2b2--^-c2)sin71.

乙

⑴证明：6=c：

⑵若荏•4方二-1,且Q=&b,求S.

【答案】⑴由S=(2b2—笳21山工,得9csinA=(2b2—"国si",

因为sinA#0,所以-y6c=2b2—微■为,化简得(4b+3c)(b—c)=0,故b=c.

⑵■

【分析】(1)根据S=(2〃一,c2/in4和三角形面积公式化简证明；

乙

(2)根据向量的数量积、余弦定理和三角形面积公式求解.

【详解】(1)略

⑵由⑴知b=c,因为AB-AC=-1,所以­\AC\-COS.4=—1,化简得cos/=—

b2+c2-a2b2+62-3621

又因为a=,所以cosA=

2bc2b22

所以一!=__T，故b=偌,

b-z

所以的面积S=JbcsinA=乎.

5.(2026•重庆•模拟预测)在4ABe中，角A,B。所对的边分别为Q,6,c,且满足：2bcos力=c-b.

(1)证明：4=23；

⑵若2=(火-D(28s2,+cosB),且c=4,求△ABC的面积S.

【答案】(1)证明见解析

(2)273

【分析】(1)利用正弦定理结合三角恒等变形化简得sinB=sin(A—B),进而可得力=2B:

⑵利用二倍角公式化简得8s8=4,进而得到6=£,A=看，。=£■，再求a也求出面积即可.

乙OoZ

【详解】(1)证明：2bcosA=c—b,

由正弦定理可得2sinBcos4=sinC-sinB=sin(4+B)—sinZ?

=sinXeosB+cosAsinB—sinB,

即sinB=sinAcosB—cosXsinB=sin(4—B)

(0,7t),

A-BE(-7r,7r),6+(A-B)=AE(0,冗),

.•・6=4—6即A=2B;

(2)(V3-l)(2cos2jy4-cosZ?)=(V3—l)(2cosB+l)=2

解得cosS=^^，又36(0,兀)，所以石=登，

4u

：,A=2B=^,C=^f

J乙

又c=4,所以b=csinB=2,Q=ccosB=2瓜,

=~~(ib=x2\/3x2=2A/3.

6.(2026•河北保定•三模)在△力石C中，角ABC的对边分别为Q”AC,A=2c.

⑴若b=2c,求a；

(2)若ZVIZ?。为锐角三角形，巨Q=L求A4H7周长的取值范围.

【答案】⑴弓

<5

(2)(1+V2,1+V3)

【分析】(1)利用正弦定理边化角，通过三倍角公式变形，再解三角方程即可求解；

(2)利用边化角，再利用三角恒等变形，即可得到周长的取值.电围.

【详解】(1)已知4=2C,且4+3+。=兀，因此9=兀-3C,

由正弦定理。，结合6=2。得sinB=2sinC,

sin/5sinG

即sin3C=2sinC,展开sin3C=sin(2C+C)=sin2CcosC+cos2csin。

=2sinCcos2C+(2cos2C-l)siriC=sinC(4cos2C-1)=2sinC,

因为C€(O,TT),sinC¥0,所以4cos2。-1=2=>cos2C=-1-,

又因为人+。=3。<亢=。<与，故cosOO,所以可得cosC=4，即。=《,

o26

因此4=2C=件.

J

(2)已知。=1,4=2C,由正弦定理-T*=1%=-「＞=J——,

sinCsinAsin2C2sinCcosC

可得：。c=I,又6=兀一月一C=TT—3C,

2cosC

并由正弦定理磊=就^=暇，则吐嘴冷

故三角形的周长乙=a+b+c=l+喷会十”/=l+2cosC——+。

2cosc

+2cosc

因为为锐角三角形，三个角均为锐角：

A=2CE(O,f)

•B=L3c10考)，可得CW信昼)，即cosOE(夸,乎),

go,9)

所以L=l+2cosCW(H-V2,l+V3).

7.(2026•河北沧州•二模)在AABC中，内角A㈤。的对边分别为Q,b,c,满足年=松|分.

(1)判断aAB。的形状；

(2)若D为边AB上一点，。为石与团的夹角.证明：ccosO=acos(A-e)+bcos(B+e).

【答案】(1)等腰三角形

(2)证明见解析

【分析】(1)借助正弦定理统一边角关系，联立条件推出4=8,判定三角形为等腰三角形.

(2)展开两角和差余弦公式，结合第一问等腰边角等量关系化简，完成等式证明.

【详解】(1)由正弦定理得已■=「二，即f=理吗

smAsmBbsmB

已知马=cos.故sin/_cos.

bcosI3'sinBcosB'

整理得sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(4—石)=0.

因为力(OK),所以4一6=0,即/=R

因此△46。为等腰三角形.

ADCDAC

(2)在△4CD中，由正弦定理得

sinZACDsinAsin。

网为4=6,AC=b,BC=af^a=b.

在△力中，43=c,将待证式右边展开：

acos(X—6)+bcos(B+。)=a(cosAcos3+sinAsin。)+b(cosBcosO-sinBsind).

由4=6得。=4,cosA=cosB,sinA=sinB,

代入后sirMsin^项，氐消，化简得acos/lcos^+acosAcosO=2acosAcosO.

c

由等腰三角形性质，cosA==*即c=2QCOS4,故右边=ccos〃，与左边相等.

b2a

因此ccosO=acos(X—9)+6cos(B+~)，得证.

8.(2026•天津河北•二模)在△ABC•中，内角月，B,。所对的边分别为a,匕，c,已知b=7,c=5,V^acosB

+bsiriA=0.

(1)求6的值：

(2)求△ABC的面积；

⑶求cos(2A+卷)的值.

【答案】(1)6=与

(„15V3

W~T~

⑶嘘

【分析】

⑴利用正弦定理对0QCosB+bsinA=O进行边化角，即可求得B的值；

(2)由于第1小问已经求得6的值，再利用余弦定理求出边长叫最后用面积公式求出△45。的面积：

(3)由第1小问及第2小问中可知6的值及边长明再由正弦是理求得4的正弦值，由正弦值再求出余弦

值，最后用余弦和角公式计算8s(24+,).

【详解】(1)因为V3acosB+bsinA=0,

由正弦定理，得\/3sinAcosB+sinBsinA=0,

因为4€(0,冗)，所以sin4>0,所以J3cosS+sinS=0,

故tanB=一—，由(0,兀)，得6=冬.

,(2)因为b=7,c=5,由余弦定理万2=〃+。2—2accosB,

得49=a2+25—2xax5X—),a?+5a—24—0,

I/

解得Q=3,或Q=—8(舍去).

Q................

所以S=＜。°5也/?=春x3x5xsin券=

NNQmJ

(3)由正弦定理，得-T^—=,即sin力=智旦=当3,

sinAsn\Bb14

因为B为钝角，所以？！为锐角，cosA=Vl-sinM=4r,

14

sin2A=2sin力cos力=炉,cos2A=2cos3—1=,

9o9o

所以cos(2A+-y)=cos2ncosg—sin2Asin-y=--.

.........................................................................a

题型二余弦定理边角互化的应用

9.（24—25高三上•福建厦门•阶段检测）已知△43。的内角45。所对的边分别为a,b,c,H2b+c-

2acosC=0.

⑴求4

⑵若。为3C边上一点，ABAD=3/C4D力C=4,4。=、％求sinB

【答案】⑴专

⑵军

【分析】（1）利用余弦定理求解即可；

（2）法①：由题意可得年，在A/CD中，由余弦定理可得CD=，T,再由正弦定理可得sinC=

6

卑，从而得cosC=-y=-，最后利用sinB=sin（力+。）求解即可；

2V72v7

法②：在△力CD中，由余弦定理可得CD=4,由正弦定理可得sinZXPC=4，从而得cos^ADC=

一空=一空，利用NADC=B十卷求解即可；

7772

法③:在△力CD中，由余弦定理可得CD=e,从而得6。二必百，所以a=必与+Y7,再结合余弦

定理求得c=2,最后在直角中，由正弦的定义求解即可；

法④：利用面积公式可得c=2,再由余弦定理可得。=2。，最后由正弦定理求解即可.

【详解】（1）因为2b+c—2QCOSC=0,且cos。=°甘—―,

2ab

贝］2b+c=2QCOSC=2ax。甘J=。?+心-c?

2abb

即2〃+儿=。2+〃—02,

祥62+c2—a2=—bc,

贝］cosi+\—_1

Zbc2

因为川W（0,7T）,所以为二冬.

o

⑵由⑴得，＜=至，因为乙£4D=3NC4。,所以NC4D=等,

36

所以NR4O=与一/。40=专一看=等，

JOVZ

法①:如图在AACD中，由余弦定理可得：

CD2=AD2+AC2-2AD-ACcos^DAC=3+16—2/x4x净

=7,

即CD=。，

在A4CD中由正弦定理.以=/^,即¥=3；所以sinC=—,

sinZ/MCsmC_LsmC2。

2

因为0VCV年，故cosC=，l—sin2C=。,

32v7

在4ABe中，sin13=sin(A+C)=sinAcosC+cos4sinC=xx6

22v722V7<

法②：同解法①

CDAC'即空

在△/CD中由正弦定理

sin^DACsinZADC

2

所以sin/4£)C="^",cosN71OC=

V77，

又因为乙4。。=乙以4。+/6=6+高，即cos(B+-1-)=-^~，所以sinB=.

法③：同上GD="7,

在直角AABD中，RD=de?+3,所以a=J/+3+/,

由⑴问知出=〃+c?+儿，所以(Vc2+3+A/7)2=c?+4。+16,

即c2+2V7Vc2+3+10=c2+4c+16,得V7Vc2+3=2c+3,c2-4c+4=0,

所以c=2,BD=V7,sinB=.

法④：由⑴知4=萼，则NCW=1，

36

因为^^ABC=S3BD+S^CD，

所以春x4csin冬=-ixV3c+-yx4x/sii吟,

即V3c=c+V3，解得c=2,

所以/=〃+〃+be=16+4-8=28,即Q=20,

ab，即誓=焉，

在△46。中，由正弦定理

sin/sinB

2

V21

解得sinB==

7

10.（2026♦重庆沙坪坝•模拟预测）在①2sin（4+^）=。蓝,②(a+c-b)(a+c+b)=3QC；③

sinX—sinBsinC*

这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题.

a—ca+b

问题：在△ABC中，角4B,。所对的边分别为Q,b,c,且

⑴求氏

⑵若J3C=4AB,求sinA.

【答案】⑴

B=f

⑵

s…智

【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换化简条件求石.

（2）通过0,c边长的关系以及余弦定理求出的关系，后利用三角形面积公式求出sinA

sinA+sin。_sinA+sin(1+B)_

【详解】⑴选①，根据正弦定理，gsin4+cosA=

sinZ?sinZ?

sinA（l+cos6）+cosAsin8

sinB，

所以（\/5sin/i+cos?l）sin3=sin/+sinXcosB+cosAsinB,因为sin/1*（）,解得V3sinB=1+cosB,

sin（B—£）==，因为BE（0,兀），则6—强《一%斗）,则6=看.

xb7zbvbb73

选②，因为（a+c—b）（a+c+b）=3ac,

（a+c）2—b2=3ac,

°#~~b=4=cosB,因为8G（0,兀），所以3=等.

Zac23

选③，因为si"sin8=sing，根据正弦定理，工二包=_彳，

解得“°=3=cosB,因为86（0,兀），所以B.

z（ic/o

（2）无论选①，②，③均得到B=等,

«3

因为a=4c,B=^,所以cos3=坨上工=4,解得b=4^c,b=W^a.

38c224

又因为一^=±7，

smAsinn

asinBas呜二2候

所以sinA=

bV13~13

/na

与上述同理.

2

11.（2026•河南周口•三模）记4ABC的内角48,。的对边分别为Q,b,c,已知，=4absin-^-.

（1）证明：Q=b；

（2）若△46。的面积为3,求Q的最小值.

【答案】（1）证明见解析

⑵几

【分析】⑴由三角恒等变换及余弦定理化简得证；

（2）由三角形面积公式得到出⑼口。的关系，利用正弦函数的取值范围求Q的最小值.

【详解】（1）因为，2=4而sin?等，

所以c2=4ab---f'=2ab（1-cos。）,

又。2=Q?+62_2abcosC,

所以d2+b2-2abcosC=2ab（1—cosC），即a2+b2=2ab,

所以（a—b）2=0,即a=b.

证毕.

（2）因为S=-yahsinC=3,a=b,

所以sinC=3,

a-

因为CE（0,兀），所以sinCW（0,1],

所以0V&Wl,解得述，

a-

所以当C=]时，Q的最小值为

22

12.(2026•重庆•模拟预测)记的内角ARC的对边分别为a.bx,已知b+QC=a.

sin(A-B)

⑴求的值;

sinX

⑵若sinA+cosA=的面积为瓜+1,求a.

【答案】(1)1

(2)a=V6+V2

【分析】⑴利用两角差的正弦公式得sin(A-B)=sin?lcos3—sin8cos力，再结合正弦、余弦定理进行

边角转化即可；

⑵由sinX+cosA=可得sin2力=一■]和cosA=2,又有sin(A-B)=sin/,得sinB=

sin(2A-7T)=g.由正弦面积公式得QC=4(/5+1).通过三角恒等变换可得：b=-2acosA,又由c=

2

-——=a(l-4cosA)，结合QC=4(V3+1)可得Q的值.

【详解】(1)由两角差的正弦公式结合正弦定理可得：=sin/lcos'—;i"Bcos/=cos6—

sin力sinA

cosAsin0

=COSB-^OSA

sinA

./fLb2+c2—cr

由余弦定理可得：蚂与曳=COSB_^OSA=上卢1_

sinAaZaca

a2+c2—6262+c2-a2_a2—b21

2ac2acac

甑.sin(4-Z?)

所以---：—;----=1.

sinA

(2)由sin力+cosA=两边平方得:sin2A=一蒋".所以4W(专，兀)

乙乙乙

又有sin/l+cosA=V^sin(/4+£)=,所以sin(z4+-j-)=，COSyZ^=

d乙*Ni*乙

cos[("+多一日=中

由(1)知s'11'f=1得4-B=7u—/,所以sin8=sin(2A—7T)=—sin2/4=4■,

sinA2

由~1~QCsin6=1,得QC=4(V34-1)

因为sinB=—sin2X=-2siny4cos/,结合正弦定理可得b=-2acosA

2222

,2公a-6a-(-2acosX)2

又b-+ac=a~次0c=------=-----------------=a—4acos'A

aa

所以ac=a•(a—4acos2A)=4(V3+1),化简得/=纵心+?=--=8+4V3,

1.4cos2力]_4.(第于⑥)

即。=①+次.

13.(2