高一预习人教A版高中数学必修一：幂函数

01思维导图与题型归纳

鬲函数的定义)一(一般地，函数J'=v"叫做总函数，其中•'.是自变同，”是常数:

H鬲函数在(0,18)上都有定义

当a>0时，靠函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0/8)上单调递增

幕函数的性质1当a<0时，得函数的图象都过点(1环且在(0：；8)上单调遂调

/当0为奇数时，.尸X•为奇函数

飞二呼为偶数时0，=x•为偶函数.

02基础知识梳理

知识点一、幕函数概念

形如y=x"的函数，叫做希函数，其中a为常数.

知识点诠释：

幕函数必须是形如片干的函数，幕函数底数为单一的自变量x,系数为1,指数为常数.例如:

y=3x4,y=x2+l,y=(x-2)2等都不是小函数.

知识点二、幕函数的图象及性质

1、作出下列函数的图象：

I

(1)y=x：(2)y=x2；(3)y=x2;(4)y=x-1；(5)y=x3.

知识点诠释：

幕函数随着a的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：

(1)所有的密函数在(0,+8)都有定义，并且图象都过点(1,1)；

(2)a>0时，制函数的图象通过原点，并且在区间［0,+oo］上是增函数.特别地，当a>l时，幕函数

的图象下凸：当0<a<l时，鼎函数的图象上凸；

(3)a<0时，哥函数的图象在区间((),+00)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图

象在y轴右方无限地逼近歹轴正半轴，当x趋于y时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半粕.

2、作熹函数图象的步骤如下：

(1)先作出第一象限内的图象；

(2)若呆函数的定义域为(0,+oo)或［0,”)，作图已完成；

3/38

若在（70,0）或（-8,0］上也有意义，则应先判断函数的奇偶性

如果为偶函数，则根据歹轴对称作出第二象限的图象；

如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.

3、事函数解析式的确定

（1）借助累函数的定义，设备函数或确定函数中相应量的值.

（2）结合塞函数的性质，分析塞函数中指数的特征.

（3）如函数/（刈-4/是某函数，求/（“）的表达式，就应由定义知必有A=l,即

4、幕函数值大小的比较

（1）比较函数值的大小问题•般是利用函数的单调性，当不变于利用单调性时，可与0和1进行比较.常

称为“搭桥”法.

（2）比较累函数值的大小，一般先构造事函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小.

（3）常用的步骤是：①构造塞函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小.

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03题型精讲举一反三

题型1：幕函数的基本概念

例1.下列函数是幕函数的是()

A.y=(2x)aB.y=2x'C.y=.v6+6D.y=x05

【答案】D

【解析】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是累函数；

B选项不满足系数为1的特征，所以不是冢函数；

C选项不符合y=xa的单一形式，所以不是豪函数；

D选项是寻函数.

例2.(2026•而一•四川成都・期末)下列函数中，既是塞函数，又在(0,y)上单调递减的是()

A.y=2x2B.y-x2C.y=x3D,y=2'

【答案】B

2

【解析】y=2xfy=2”均不是零函数,

y=d在R上单调递增，

»=X一2是塞函数，且在(0,+8)上单调递减.

故答案为：B.

例3.(2026•高一•辽宁葫芦岛•阶段检测)下列函数不是幕函数的是()

A.f(x)=x3B../(x)=xG

C.f(x)=2xD.f(x)=-

X

【答案】c

【解析】对于选项A,/(x)=.d符合系函数=的形式，是辕函数；

对于选项B,/(力=4=)符合寤函数/a)=x°的形式，是寤函数；

对于选项C,/(x)=2x不符合幕函数/(x)=x。的形式，不是事函数；

对于选项D,/(力=：=/符合基函数/("=/的形式，是幕函数.

故选：C.

变式1.下列函数中是塞函数的是()

①y=-x2i②y=2'；③y=xx；④y=(x-l)3；⑤y=x'\⑥y=x2+x\

A.①③⑤B.①②⑤C.③⑤D.只有⑤

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【答案】C

【解析】》=-犬的系数是-1而不是1,故①不是幕函数；

y=2,是指数函数，故②不是寻函数：

y=（x-l）3的底数是x-1而不是不，故④不是累函数；

y=/+/是两个幕函数和的形式，故⑥也不是幕函数；

而y=<2和/具有基函数歹二亡的形式，故③⑤是幕函数.

故选：C.

变式2.下列函数中，属于暴函数的是（）

A.y=（2.r）2B.y=4xC.y=--D.y=2x

X

【答案】B

【解析】形如歹（a为常数且a£R）为寻函数，要求底数为变量且系数为1,

对比选项仅有B：）,=«=）符合要求.

故选：B.

题型2：求幕函数的解析式

例4.（2026・高一•广东佛山・期末）已知幕函数y=/（x）的图象过点［3，WJ，则/（4）=（）

A.2B.jC.3D.1

【答案】B

【解析】暴函数的一般形式为/（1）=产（々为常数），所以3。=当，

1I

解得故事函数解析式为/（》）=/"

-111

/（4）=42=石=1

故选：B.

例5.（2026・高一・贵州黔东南•期末）已知呆函数/（x）=〃*的图象过点（摄27）,则〃?一的值为（）

A.2B.4C.0D.-2

【答案】B

【解析】由基函数/（力=〃*的图象过点知m=1,

I3z

6/38

=27,所以r=-3,

故"Lf=4.

故选：B.

例6.（2026•高一・江苏扬州•阶段检测）若易函数y=/的图象经过点（8,4）,则。=（）

258

A.-B.-C.2D.-

【答案】A

【解析】因为幕函数卜=,/的图象经过点（8,4）,

2

所以8a=4,即23a=22,所以3。=2,解得

故选：A

变式3.（2026•高一•浙江•阶段检测）已知幕函数丁=/卜）的图象过点（2,8）,则（）

A./（A）=4XB./（x）=2/

C./（A）=.V3D./（.v）=3v

【答案】C

【解析】因为/（x）为第函数，.•/。）=产，

又因为图象过（2,8）,所以/⑵=8,即2。=8,得a=3,.■./（*）=/.

故选：C.

变式4.（2026•高一•甘肃天水•期末）若辕函数/*）的图象经过点则〃2）=（）

142J

A.1B.V2C.2D.4

【答案】B

【解析】因为“力为幕函数,所以设/（x）=x°,

/（l）=fLY=L,解得a=:，

,4⑷22

所以y（x）=V=6,所以/（2）=拉・

故选：B

题型3：幕函数定义域问题

例7.（2026・高一•湖北孝感•期末）已知第函数/（力的图象经过点卜,J）,则/（x）的定义域为（）

7/38

A.RB.[0,+a))C.(0,+oc)D.(-co,0)u(0,+co)

【答案】C

(i

【解析】设/(x)=/，因为暴函数/(x)的图象经过点4,-

所以〃4)=¥=g,即22a=2一|，解得a=-g,

11

mw/(x)=x2=-^,故要使函数有意义,则x>0,

所以函数/(X)的定义域为(0,+8)

故选：C

例8.幕函数/(x)=x；的定义域是()

A.(-co,0)u(0,+oo)B.[0,+oo)C.(0,+8)D.R

【答案】B

【解析】•••/(X)=/=4，-C，即/(x)的定义域为[0，+8).

故选：B.

点卜卦

例9.(2026•高一•广东深圳•期末)已知幕函数/(X)的图象过点则函数y=/(4x-3)的定义域是

()

C.*

【答案】D

【解析】•••/(')是察函数，..•设/卜)=产，将"子)代入解析式，

得8小=乎，即23m=232=2-1解得〃7=一3.

故f(x)=-=；，则y=/(4..3)=/1,

y/xV4x-3

所以4x—3>0,所以x>g,

4

所以函数P=/(4x-3)的定义域是(j+8；

故选：D.

变式5.(2026•高一・河南•期中)已知函数/*)的定义域为(-2,4),则函数卜=/(2x)+(xT)T的定义域为

()

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A.(-4,8)B.(-4,1)U(1,8)

C.(-1,2)D.(W)

【答案】D

-2<2x<4,、…/、

【解析】由I八，解得X€(—1,1)U(1,2).

X—1HU

故选：D.

变式6.(2026・高一•广东广州•期中)呆函数/")图象过点2,三，则y=/(x)+/(2-M)的定义域为()

\/

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2]D.(-2,2)

【答案】A

【解析】设幕函数为/3=/,则〃2)=2"=丰，故。=-；,/(x)=3，

则f(x)的定义域为(。，叱)，

故y=/(x)+/(2-|x|)满足彳解得0<x<2.

故选：A

题型4：幕函数值域问题

例10,(2026・高一・浙江宁波・期中)累函数/(工)=(〃/_2小+1"+在第一象限的大致图象如图所示.

⑴求/W的解析式，并写出其值域；

⑵若小)+/(j=6(a>0),求/(叫+/9)的值

【解析】(1)因为/3=(〃/-2阳+1卜匚阳是幕函数，

所以〃/一2m+1=I»解得阴=0或/«=2,

所以/3=工或小)=破=4.

由图知/(')在第一象限的图象是曲线.不是直线.所以/(x)=4.

9/38

所以/(力的定义域为［o,R),值域也为［0,一).

(2)由(1)知/(x)=V7,

例11.(2026・高一・陕西商洛•期中)已知小函数/(x)=xM3+3(/<m<2,mwZ)满足:

①/'(X)在(0,X©)上为增函数，

②对WxwR,都有/(-x)-/(x)=0,

求同时满足①②的幕函数/“)的解析式，并求出工«1,4］时，/(x)的值域.

【解析】因为/(x)在(0,y)上为增函数，所以_/-2〃?+3〉0,解得-

又一2<m<2,〃i€Z,所以，〃？=-1或加=0.

又因为/(-x)=/(x)，所以/(')是偶函数，所以-川一2〃?+3为偶数.

当州二一1时，-2/〃+3=4满足题意；当〃?=0时，-2”?+3=3不满足题意，

所以/(》)=/，

又因为/(》)=/在［1,4］上递增，所以/(吐血=八1)=1,/(心”〃4)=256,

故1.1,4］时，/(x)的值域是［1,256］.

例12.(1)使用玉点作图法,在图中而出/(切=叠的图象，并注明定义域.

(2)求函数〃(力=.［_2,-3的值域.

【解析】(1)由于/3=：=审，

则"0)=0,/(-1)=/(1)=1,/(-8)=/(8)=^=4,

所以=x；过点(。，。)，(-1，1)，(1，1)，(-8,41(8,4)，

故"丫)=/的图象，如图所示，函数的定义域为R；

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⑵由题可知〃(工)=，一2--3，

设j=/之0，则〃(x)=〃?(/)=『-2/-3=(/-1)2-4>-4,

当U1时取等号，故〃(》)的值域为［-4,+8).

变式7.已知冢函数/(村=/冷吁6(加€2)在区间(0,4<0)上是减函数.

(1)求函数/(》)的解析式；

⑵讨论函数”X)的奇偶性和单调性；

(3)求函数/(X)的值域.

【解析】(1)依题意2"/-6<0,即(2〃?+3)(〃L2)〈0.因为〃?tZ,所以〃?=一1或机=0

或阳=1,所以/(>=尸或f(==婷或/(工)=会

(2)若/")=一定义域为(-8,0)5。,MO),则/")二/为奇函数，且在(-8,0)和(0,+oo)上单调递减；

若/(力=^定义域为(-8,0)5。，+8)，则/(")=/为偶函数,且在(-%0)上单调递增,在+00)上单调

递减；

若"、)二一定义域为(-8,。)50，+8)，则/(、)=『为奇函数，且在(-8,0)和(0,y)上单调递减；

(3)若，(力=/,则/(x)为奇函数,当x〉0时/(x)w(O,+8),所以x<0时/(x)«-8,0),所以函数的

值域为(-8,0)=(0,+8);

若=则/(x)为偶函数,当x>0时/(x)e(O,+8),所以x<0时〃x)e(O,+8),所以函数的值域

为(。,+8)；

若“”=一，则”X)为奇函数，当工〉0时/(力£(0,+8),所以x<0时/(加(-8,0),所以函数的值域为

(-co,0)u(0,+co):

变式8.(2026・高一•福建龙岩•阶段检测)已知森函数/(x)=(〃J-3〃i+3)丁的图象关于V轴对称.

(I)求/〃的值；

(2)设g(x)=x,若对任意的菁仪五,2］，总存在吃£(1-凡3〃+1］,使fa)=g(X2)成立,求实数。的取值范

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围.

【解析】（1）由幕函数定义,知3/〃+3=1,解得〃?=1或川=2,

当拉=1时，〃x）=x的图象不关于y轴对称，舍去，

当期=2时，/（x）=v的图象关于y轴对称，符合题意，因此〃?=2.

（2）由上易知/（x）=/,

由于对任意的石€［孝,2］，总存在七£（"。，30+1］,使/a）=g（X2）成立，

设函数/（x）在［4,2］上的值域为集合力，函数g（x）在（1-。,3〃+1］的值域为集合8,

所以/q4,

易知当工以孝？］时，/（x）的值域g,4］,则集合4=g,4］,

当ie（l—时，g（x）的值域为则集合8=（1-,3a+l］,

1-a<3〃+1

又AqB,得,1一,解得。之1.

3a+l>4

变式9.（2026・高一•全国・单元测试）已知寻函数/5）=（六-k-1）«伏eR）,且在区间（0,+如内函数图象是

上升的.

（1）求实数月的值；

（2）若存在实数a,6使得函数/（x）在区间［。，句上的值域为［a,b］,求实数a,b的值.

【解析】（1）〃幻=（公-A-1片优eR）为塞函数，

工F-k-1=I，解得丁=-1或左=2,

又，（外在区间（0,+8）内的函数图象是上升的，

Q0,

M=2；

（2）•••存在实数a,。使得函数/（x）在区间“口上的值域为且/（乃=/,

nnP=a

.•力⑸田即%2=y

a<b,二4=0,h=1.

题型5：幕函数的图象

例13.在同一坐标系内，函数丁=/（。/（））和》=曲一，的图像可能是（）

a

12/38

y

【答案】c

【解析】当a>0时：

直线J，=ai-L：斜率。>0,y轴截距」■V（）,故直线过一、三、四象限.

aa

幕函数y=x°：若031,在（0,wo）递增且“上凸”,无此选项.

若。=2,y=/是偶函数，图像为开口向上的抛物线，对应选项C.

若"1,在（（）,+8）递增且“下凸”，无此选项.

当a<0时：

直线j,=at-L：斜率。<0,歹轴截距-上>0,故直线过一、二、四象限，无此选项.

aa

系函数y=x"：在（0,+8）递减，龙应选项A、D,但A中直线截距为负，D中直线截距为负，均与a<0矛

盾.

综上，只有选项C符合条件.

例14.（2026・高一・浙江•开学考试）函数/（x）=x-2的图象大致是（）

13/38

【解析】由函数/。)=-=4,则满足/工0,解得户0,

A

即函数/(X)的定义域为(-8,0)50,+8),

因为〃r)=3=4=/(x)，所以函数/(x)为偶函数，其图象关于歹轴对称，排除BD选项,

又由累函数的性质，可得/(%)=婷在(0,+8)上单调递减，

所以选项A的图象符合题意.

例15.(2026高一新疆和田期末)函数/(力=一的图象大致为()

【解析】因为寻函数/8)=一的指数-4<0,所以/(x)在(0,+oc)单调递减，

又因为/(x)定义域为(一8,0)5。，+°°)，/(-X)=(-X)-4=X-4=/(X),

所以“X)为偶函数，则在(-8,0)单调递增，

故选：B.

变式10.(2026・高一•上海嘉定•期中)图中G，C”G为三个幕函数(y=x")在第一象限内的图象，则解析式

中指数。的值依次可以是()

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Cy

o\i?

A.0.5,3,-1B.-1,3,0.5C.0.5,-1,3D.-1,0.5,3

【答案】D

［解析】令图象为GCC的呆函数分别为y=/,y=户=/，

观察图象知，曲线C1在第一象限内从左到右下降，对应函数在（0,+8）上单调递减，则因<0；

曲线a，G在第一象限内从左到右都上升，对应函数在（0,+8）上都单调递增，

而在x>i时，曲线G在直线y=x।二方，曲线G在直线沙=“下方，则

因此四=-1,%=05a3=3.

故选：D

7|^?

变式11.（2026・高一・江苏南京•阶段检测）在同一坐标系内，函数y=x"（。工0）和），=依-4的图象可能

a

是（）

4

c°T

【答案】A

a>0

的图象得':。‘即可能成立‘

【解析】对于A,结合函数），=/的图象得。>0,结合》二

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故A正确;

a<0

对于B,结合函数丁=/的图象得。>0,结合），=尔-』的图象得彳1即。<0,两者矛盾;故B错误;

a—>0

.a

a>0

对于C,结合函数y=x"的图象得。<0,结合y=ax-‘的图象得1八，即。>0,两者矛盾，故C错误;

a——<0

.a

a<0

对于D,结合函数y=/的图象得a<0,结合y=的图象得《i无解，故D错误；

a—<0

a

故选：A.

变式12.（2026•高一•全国•单元测试）已知二次函数y=ad+队的图象如图所示，则函数和

【解析】由图象可知。>0,-二>0,所以b<0,

2a

根据暴函数的性质可知函数/（》）=/和g（x）=/在第•象限分别是单调递增、单调递减，显然只有B项正

确.

故选：B

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题型6：幕函数定点问题

例⑹函数的图象恒过定点（）

A.（1,0）B.（2,1）C.（0,-1）D.（m+1,1）

【答案】B

【解析】令1=1,即x=2时，

，y=\m=\9

.x。_亦图象恒过定点（2,1）.

故选：B.

例17.（2026・高三•黑龙江伊春•开学考试）已知/（X）为基函数，加为常数，且相>1,则函数g（x）=/（x）+M、

的图象经过的定点坐标为（）

A.（U）B.（1,2）C.（-U）D.（-1,2）

【答案】B

【解析】因为塞函数的图象过定点（1,1）,即有=

所以g（l）=/（l）+〃/J=l+l=2,

即g（x）的图象经过定点（1,2）.

故选：B.

例18.（2026高一海南阶段检测）下列哥函数中，其图象关于y轴对称且过点（0,。）、（草）的是（）

42

A.y=xiB.y=xc.y=XD.y=^

【答案】B

【解析】A项，函数图象在第一象限，故不关于y轴对称，故不符合；

B项，函数图象关于原点对称，旦过（0,0卜。,1）,符合；

C项，指数小于0,故其图象不过点（0,0）,故不符合；

DDL函数图象关于原点对称，故不符合：

故选：B

变式13.（2026•高一•天津滨海新区•期中）已知函数y=J,（Va<0）的图象恒过定点4若点力在一次函

数〃的图象上，其中加，〃>0,则_1+1■的最小值为（）

mn

A.1B.V2C.2D.4

【答案】D

17/38

【解析】依题意，41』)，则〃?+〃=1,因此工+4=(m+〃)(-1-1)=2二J22+4叵1=4，

mnmnmnVmn

当且仅当小=〃=1时取等号，

2

所以当机=〃=：时，’取得最小值4.

2nin

故选：D

变式14.函数y=3.d—2的图象过定点()

A.(U)B.(-U)

C.(1,-1)D.(-1,-1)

【答案】A

【解析】当x=l时,”3x1"—2=1,所以函数j，=3x-2的图象过定点(1,1).

故选:A.

变式15.(2026•高一•四川凉山,期末)若函数y=/(x)与y=g(x)图象关于y=x对称，且/(x+2)=/+3,

则y=g(x)必过定点()

A.(4,0)B,(4,1)C.(4,2)D.(4,3)

【答案】D

【解析】求出函数丁=/卜)的解析式，利用「=1求出函数y=/(x)的图象所过的定点坐标，然后利用两函

数图象的对称关系可求出函数尸g(x)所过定点的坐标.•・,/(x+2)=x0+3,.•./(x)=(x-2)“+3,

/./(3)=(3-2f+3=4,

所以，函数》=/(')的图象过定点(3,4),

又•••函数？=/。)与)，二85)图象关于N=x对称，因此，函数了二8(月必过定点(4,3).

故选：D.

题型7：利用单调性解不等式

例19.(2026•高一•河北•期末)已知幕函数/('『("/T6+S);*2在(o,+8)上单调递减.

⑴求/G)的解析式;

看一〃"3为假命题，求实数，的取值范围;

(2)若命题：3X€[1,3],

(3)求不等式/(x+1)</(3-2x)的解集.

【解析】(1)因为/(%)=(*-5m+5*・2是3函数,所以阳2一5阳+5=1,解得〃?=1或〃?=4：

18/38

当阳=1时，/（X）=A--'=-,在（0.+8）上单调递减，符合题意；

X

当阳=4时，/（x）=x2,在（0,y）上单调递增，不符合题意，舍去;

所以，/（X）的解析式为/（X）=L

X

（2）因为命题为假命题，所以其否定“力力⑶,1-〃〉/"）”为真命题;

JW/（X）

由（1）知/（x）=L,则4=x,所以x-4＞，在［1,3］上恒成立，即。在［1,3］上恒成立；

XJ（x）XX

设g（x）=x-g,xw［l,3］,g（x）在［1,3］上单调递增；

则g（x）_ga）=N=。，因为在u,可上恒成立，所以〃＜g*y。，即实数。的取值范围是

（-8,0）；

(3)由/。)=,，不等式/(x+l)</(3-2x)

X

即为击J_=J——工<0。0_2*+?八一2■土

=（、+）（3一2》<C

3—2xx+13-2x(x+1)(3-29

<=>7——3：2——_<0<=>(x+l)X--Ifx--<0

(x+l)(2.r-3)V\3A2)

23

由“数轴标根法”求得不等式的解集为：（-8,-1）=

3,2

例20.（2026•高一•天津•期末）已知塞函数/（工）=（6加一阳田^^^在第一象限上是增函数.

⑴求/"）的解析式；

⑵若/（3-2“）＜/（4+1）,求实数。的取值范围.

【解析】（1）因为/（力=仅混一句/是骞函数,

所以6m2-m=\，

解得〃或〃？=一!，

又“X）在第一象限上是增函数，故m＞o,

1i

所以〃=5,则〃x）=—.

（2）由（1）知〃x）=x：在（°，*0）上是增函数，

又“3-24）＜/（〃+1）,/3=户的定义域为［°，+00），

19/38

3—2。<a+l

23

所以43—2〃20解得彳

/7+1>0

、

23

所以。的取值范围是。-<^<-».

例21.（2026・高一•辽宁•期末）已知幕函数/（力=（〃/+8〃?-8卜"'.2的定义域为口

⑴求〃？；

⑵解不等式/"三&/'（X）.

\LX+J/

【解析】（I）因为函数/（》）=（/+8〃?-8卜'"2是基函数，

所以〃/+8m-8=1»解得机=-9或〃?=1,

当〃?=1时/（冷=/,定义域为R,符合题意，

当阳=一9时/（》）=「，定义域为（7,0）50，+°°），不符合题意，

故阳=1.

（2）由（1）得/（x）=x3,所以/（X）在R上单调递增，

所以由可得二NX，

I2x+3J2x4-3

x+42X2+3X-X-42X2+2X-42（X+2）（X-\）,

2.v+32x+32x+32x+3

所以竹?（丁）（2x+3）«0,解得x4十2”亨.

2x+3/OV2

变式16.（2026・高一•重庆壁山•阶段检测）己知事函数/（x）="-5m+7）/为奇函数.

（1）求叫

⑵若/（/）</（3/2）,解关于x的不等式.

【解析】（1）因为函数/"）二（〃"5〃?+7卜”是箱函数，

所以〃/一5/〃+7=1,解得m=3或m=2,

又因为/（"是奇函数，

所以m=3.

（2）由（1）知/"）=/,所以/（x）在R上单调递增，

所以由/（/）</（3%一2）可得一<3.2,

所以X2—3X+2<0,即（X-1）（X-2）<0,

解得1<X<2,

20/38

所以不等式解集为{x[l<x<2}.

变式17.(2026・高一・上海虹口•期末)已知幕函数，=/(x)在(0,+8)上是严格减函数，其中

m

/(%)=(〃/-

(1)求的值；

⑵求关于x的不等式/(W+2x)</(x+6)的解集.

【解析】(1)由己知可得〃/-〃Ll=l，

即-M-2=(w+1)(/n-2)=0,

解得m=-1或6=2

当阳=-1,则歹=£；在(①依)上严格减，符合条件，

当用=2,则N=x在(0,内)上严格增，不符合条件，

综上所述，m=-\.

x2+2A->0

(2)由(1)及不等式，有•x+6>0,

x2+2x>x+6

x(x+2)>0

可得，x>-6,

(x+3)(x-2)>0

解得-6<工<-3或%>2.

故所求解集为(-6,-3)D(2,+8).

变式18.(2026・高一•陕西西安•阶段检测)已知塞函数/(工)=工廿+3.3€2)的图象关于y轴对称，且在区

间(0,+8)上单调递增.

(I)求机的值：

⑵求满足不等式/(2a-1)</(〃+1)的实数。的取值范围.

t解析】(1)由题意，寤函数/(x)的图象关于》轴对称，且在(0,+8)上单调递增，故可知其指数为

正偶数，

-m2+3m>0

故有-/“cZ,解得〃?=1或2.

-nr+3nieZ

若拉=1,则〃x)=/,此时/⑶为偶函数，符合题意；

若〃7=2,则〃x)=/,此时/(X)为偶函数，符合题意.

综上所述，加=1或2,/(工)=工2.

21/38

(2)由/(2a—1)</(。+1),可得(2〃一I)?<(a+1)2,整理得3研〃-2)<0,

解得0<a<2,即〃w（0,2）.

变式19.（2026•高一•福建莆田•期末）已知幕函数/3=（4-加-1）产在（0,+句上单调递增,

g（x）=2/（x）+l

⑴求函数的解析式；

⑵如果函数g（x）在区间[/一2出心）上是增函数，求。的取值范围;

⑶求关于x的不等式g（x）-2ar>a+l-x的解集（其中aeR）.

【解析】（1）由题意可得〃/一〃-1=1,解得加=2或m=—l,

又因为/（x）=（加一加-1）X"在（0,+8）上单调递增，所以机>0,

所以〃7=2,所以/（x）=/

（2）由（1）知g（x）=2/（x）+l=2V+1,

又因为函数g（八）在区间-2a,十回上是I曾函数，

所以2〃20,解得aKO或。22,即。的取值范围为（―吗0]=[2,+8）.

(3)不等式转化为2/+(1-2〃卜—〃>0,则(x—a)(2x+l)>0.

当时，解得一；或…，即不等式的解集为~,一；卜（“，+8）；

当时，解得即不等式的解集为

综上所述：当…；时，不等式的解集为（-%加信,+8

当“=—g时，不等式的解集为卜巴-g[u（],+8）,

当“〉一；时，不等式的解集为‘孙-g）u（a,+8）.

题型8：幕值大小比较

例22.（2026・高一•江苏连云港•期末）下列比较大小中错误的是（）

A-2.2^<2,3^B.（-；）"<（一（）"

C.]2~2）]3WD.（-0.63）3<（—0.64）'

22/38

【答案】D

【解析】对于A,令=由幕函数性质可知。>0时，在第一象限内函数单调递增,

因为0<2.2<2.3,所以/（2.2）</（2.3）,故A正确；

对于B,令/（x）=x-2,由基函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减，

且/⑺为偶函数,所以/卜升/13/1外吗），

因为g>g>0,所以所以故B正确；

对于C,令/（x）=xT，由基函数性质可知=<0时，在第一象限内函数单调递减，

因为1.3>1.2>0所以故C正确：

对于D,令/（》）=/,由幕函数性质可知。>0时，在第一象限内函数单调递增，

且“力为奇函数,所以/（-0.63）=-/（0.63）,/（-0.64）=一小.孙

因为0<0.63<0.64,所以/（0.63）</（0.64）,所以/（一0.63）〉〃一0.64）,故D错误.

故选：D.

例23,（2026•高一•云南楚雄•期末）己知a=（-2025）3,/?=（-2026）3,则（）

A.a>b>0B.b>a>0

C.0>a>bD.0>b>a

【答案】C

【解析】因为y=d是增函数，

因为一2025>-2026,所以0>（-2。25），>（—2026），,

即Q>a>b.

故选：C

例24.（2026•高一•广东广州•期末）若0<a〈l〈b,则（）

A.aa<b\ah<bhB.ba<a\bh<ah

C.ba<a\ah<bhD.<b\bh<ab

【答案】A

【解析】因为N=x"（O<a<l）在（0,+oc）上单调递增，又a〈b,所以/<n，

又因为），=/（方>1）在（0,+8）上单调递增，又a〈b,所以/<加，

故d

故选：A.

23/38

变式20.（2026・高一•四川凉山期末）已知。=2°」，/，=（；），c=g），则实数。、b、c的大小关系

是（）

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.a>b>c

【答案】B

【解析】因为寤函数y=x°」在（0,”）上为增函数，

且〃=2°」，=（r'）=302=（32）=901,

z•、-0.3

e=-=（4-'）=403=（43）°,1=64°',所以

故选：B.

变式21.（2026•高一•黑龙江佳木斯•阶段检测）已知暴函数y="x）的图象经过点（4,2）,则以下说法正确

的是（）

函数为偶函数若

A./（X）B.M/（X,）>/（X2）

C.设司,工2>0,则”,（»）；/（七）D.3x>0,/（x）<0

【答案】C

【解析】设/（耳=/，因为呆函数丁=/（'）的图象经过点（4,2）,所以4“=2,所以。=：，所以

/（X）=X，=4，

因为/（力=五的定义域为［0,田），不关于原点对称，所以/卜）为非奇非偶函数，故A错误：

因为/（x）=F在［0,+8）上单调递增，

所以当0<为<X2时，fM<f（x2）,故B错误；

/（2）+/（七）丫X|+X2Xi+d+2y/^（后一⑸

2244

所以/（宥_）之/（再）；/（乙）,故c正确；

因为任意x>0,都有/（》）>（），故D错误.

故选：C

11

变式22.（2026・高一•全国•阶段检测）设〃=（抖6=停卜=2131,则凡仇c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

24/38

【答案】B

【解析】由题意，。,Ac均为正数,

16A.2c3L且2〈空屋,

因为。6—,c6=hX3

812781818181

所以a6＜c6〈V,由y=f在(0,母)上单调递增可知。＜。＜心

故选：B.

题型9：幕函数性质综合应用

例25.(2026•高一•浙江杭州・期中)(1)求下列不等式的解集:(i)2X2+3X-2＜0；(ii)

3x+l

(2)已知幕函数/(外=(/-加-1卜川在(0,+oo)上单调递增，设g*)=2/(x)-3,当xw(l,3)时，求函数g(x)

的值域.

【解析】(1)(i)因式分解得2/+3工一2=(2%-1)(%+2*0,

解得-2KxK(，所以原不等式的解集为-2,；.

得^通分得U!1一4工(l-4x)(3x+l)>0

(ii)移项,即之0,等价于＜

3x+l3X+1H0

解得所以原不等式的解集为I"：.

34I34」

(2)•.•函数/。)=(〃/一〃?-1)/为基函数，机—1=1,解得加=2或机=—1,

乂f(x)在(0,+如上单调递增，.••力=2,即/(x)=/,

1.g(幻=2.-_3,对称轴为x=0,在xw(L3)上单调递增，

g(l)=2-3=-l,g(3)=2-9-3=15,故函数g(x)的值域为(—1,15).

例26.(2026・高一•辽宁盘锦•开学考试)己知第函数〃