2027高考数学复习：利用空间向量计算线面角的问题

专题10利用空间向量计算线面角的问题

【方法总结】

1.直线与平面所成的角

如图，直线力8与平面a相交于点8,设直线48与平面a所成的角为仇直线力8的方向向量为〃，平面

a的法向量为〃，则sin9=|cosV〃，〃>|=I""L

2.利用向量求线面角的2种方法

(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与

平面所成的角.

【例题选讲】

考点一棱柱(台)模型

［例1］如图，在三棱柱中，CGJ_底面48C,ACLBC,。是4G的中点，且/C=8C

=AA\=2.

⑴求证:8G〃平面力以。；

(2)求直线BC与平面ABXD所成角的正弦值.

解析(1)如图，连接4瓦设=连接。£

由48C—48cl为三棱柱，簿E为小8的中点.

又。是小G的中点，所以3G〃O£又8Gz平面48。，OE<=平面月&O,所以8G〃平面480.

(2)因为CCiJ_底面月8C,ACLBC,所以C4CB,CG两两垂直，以C为坐标原点，

以C4CB,CG所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

则。(0,0,0),8(0,2,0),A(2,0,0),9(0,2,2),91,0,2),

所以筋|=(一2,2,2),^0=(1,-2,0),M=(0,-2,0).

欣〃=0,[-2x+2y+2z=0,

设平面力丛。的法向量为〃=(x,y,z),贝/_得，

BJ)n=0,卜一2y=0,

令y=1,得x=2,z=1,所以〃=(2,1,1).

BCn|

\BC\\/t\I=J

I6

所以直线8c与平面力田。所成角的正弦值为u.

6

［例2］在直三棱柱44C-48iG中，为正三角形，点。在棱4C上，且CO=33D,点、E,F

分别为棱48,8囱的中点.

(1)证明：4c〃平面。£〃；

(2)若AiCLEF,求直线JiCi与平面OE/所成的角的止弦值.

解析(1)如图，连接/团，AiB交于点、H,设小B交EF于点、K,连接。K,

因为四边形力8小小为矩形，所以，为线段/出的中点.

因为点E,尸分别为校48,的中点，所以点K为线段B”的中点，所以4K=38K.

又CD=3BD,所以小C//QK.又小平面QEEDKU平面DEF,所以小C〃平面QEE

(2)连接C£EH,由(1)知，EH//AA\y因为A4_L平面所以平面48C.

因为△力8c为正三角形，且点E为棱48的中点，所以CE_L4B.

故以点E为坐标原点，分别以成，诙，诙的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图明示的空间直

角坐标系Exyz.

设Z8=4,AAi=t(t>0),则E(0,0,0),4(2,1,0),A[2,0,0),C(0,0,23),A2，2’

所以疵=(一2,-t,23),£F=(-2,2°].

因为4C_LEA所以杭・济=0,所以(一2)X(—2)—/X；+23X0=0,所以1=22,

所以或=(一2,2,0),或=(—2'°,2J.

-2,v+2y=0,

EFn=0,

设平面Of77的一个法向量为〃=&,y,z),则二所以_3什

2=0.

应>〃=0,2

取x=l,则“=(1,2,3).又ti=52=(—2,0,23),

设直线4G与平面。灯所成的角为仇

一46

则sind—|cos——

HMiCil6X46

所以直线4G与平面所成的角的正弦值为6.

6

[例3](2020•北京)如图，在正方体/BC。一/iBCQi中,E为BBi的中点.

(1)求证：8G〃平面

(2)求直线44与平面ADiE所成角的正弦值.

解析(1)在正方体力8C。一小41Goi中，/出〃43且力4=小41,小4i〃CQ且/出=。。|,

...力8〃。1。1且月8-Ci£>i,：.四边形为平行四边形，/.BC\//AD\^

•；BCiQ平面4DiE,4OiU平面力DiE,〃平面/。小.

(2)以点力为坐标原点，AD,AB,44所在直线分别为x轴、j轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐

标系Axyzy

设正方体"8—NiBCDi的棱长为2,则力(0,0,0),/1((),0,2),。(2,(),2),E((),2,1),

刀1=(0,(),2),行]=(2,。，2),丘=(0,2,1).

〃•/1力1=0,[2x+2z=0,

设平面的法向量为”=(x,y,z),由‘,得

l2y+z=0,

nAE=0,

_»n-AA\—47

令z=-2,则x=2,y=1,则〃=(2,1,—2).cos</t,AA\>===—.

|川|京3X23

因此，直线力小与平面力。出所成角的正弦值为2.

3

[例4](2020•浙江)如图，在三.棱台4BC-DEF中,平面/C五。_L平面/8C,N4CB=N4CD=450,

DC=2BC.

(1)证明：EF上DB；

(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.

解析(1)如图，过点。作。O_L/C,交直线4C于点。，连接08.

由N/CO=45。，DOL4C得CD=ICO.

由平面力CFO_L平面48c得。。_L平面X8C,所以。O_L8C

Io

由N力。4=45。，BC=CD=CO得4O_L4C.所以8CJ■平面4。。，故BC1DB.

22

由三棱台4BC-DEF得BC//EF,所以EFLDB.

AB

B

(2)法一：如图，过点。作0，_L8。，交直线8D于点，，连接C”.

由三棱台川?。一。加•得。/〃CO,所以直线。b与平面。8。所成角等于直线CO与平面Q8C所成角.

由8CJ_平面300得OH_LBC,故。”_L平面〃CO,所以NO"为直线CO与平面D5C所成角.

设。。=22.

由。。=0。=2,BO=BC=2,得80=6,0H=23,所以sin/OCH=°”=3,

3OC3

因此，直线。户与平面D8c所成角的正弦值为;.

法二：由三棱台48。一。七尸得。尸〃CO,

所以直线。”与平面。4c所成角等于直线CO与平面Q4C所成角，记为仇

如图，以。为原点，分别以射线OC,OD为y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.

设CO=22.由题意知各点坐标如下：

0(0,(),()),8(1,1,0),C((),2,0),0((),0,2).

因此公=(0,2,0),病=(-1,1,0),CD=(0,-2,2).

设平面的法向量〃=(x,y,z).

〃灰=0,i+y=(),

由’___即，可取〃=(1,1,1).

〃百=(),l-2y+2z=(),

t\OCn\3

所以sin〃=|cos〈OC,/?>|=__¥.

1。。卜1川3

因此，直线。尸与平面。8c所成角的正弦值为

3

【对点训练】

I.如图，在三棱柱48。一/归Ci中，△ABC和△4小C均是边长为2的等边三角形，点O为,4C中点，平

面力由GCJ_平面/18C.

(1)证明：小。_L平面48C；

(2)求直线AB与平面48a所成角的正弦值.

1.解析(1)・・7小=小。，且。为XC的中点，

又•・•平面44iGC_L平面力8c平面44iGCn平面48C=/C,4OU平面力小。。，.・.4OJ_平面/4C.

(2)如图，以。为原点，OB,0C,04所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

由已知可得0(0,0,0),4(0,-1,0),B(3,0,0),4(0,0,3),Ci(0,2,3),

：.AB=(3,1,0),A7B=(3,0,一3),j]Ci=(0,2,Oi,

Ci=0,2y=0,

设平面414cl的法向量为〃=(x,y,z),则，.即

nA?B=O,3x-3z=(),

・•・平面44G的一个法向量为〃=(1,0,1),

设直线48与平面小4。］所成拘角为a,则sina=|cos</8,u>|,

一ABn36

又•.•cosv/8,〃>=一==,

\AB\\n\224

••・/8与平面48G所成角的止弦值为6.

4

2.(2020・全国H)如图，已知三棱柱力〃。一4历G的底面是正三角形，侧面83GC是矩形，M,N分别为

BC,81G的中点，P为AM上一点,过8cl和P的平面交.48于£,交4C于凡

(1)证明：AA\〃MN,且平面/h〃WN_L平面上以。/；

(2)设。为△48iG的中心，若力0〃平面E8iC/,且力。=/夕，求直线反E与平面4所成角的正

弦值.

2.解析(1)因为M,N分别为5C,31G的中点，所以MN〃CG.又由已知得力小〃CG,极4AJ/MN.

因为是正三角形，所以囱G_L/iuV.又BC1MN,故片G_L平面44WN.

所以平面小4HN_L平面EBCF.

(2)由已知得4W_L3C.以•“为坐标原点，A必的方向为x轴正方向，身为单位长,

建立如图所示的空间直角坐标系加一平，则48=2,AM=3.

连接则四边形力ON尸为平行四边形，故PM=23,j3'3,0J.

2

由(1)知平面Ni/1MN_L平面ABC.

作N0_L4W,垂足为0,则AQ_L平面力8。.设。(a,0,0),则N0=JU

4-（V-4],故或=--4-[3F"靛尸2J

又〃=(0,-1,0)是平面的法向量，故

卜一V“，瓦氐>]->〃.盛10

sinl2J=cos<w,B\E>=___=

间•前I10

所以直线小E与平面出力MN所成角的正弦值为

3.斜三棱柱48C—48iG中，底面是边长为2的正三角形，46=7,ZJiJ5=ZJUC=60°.

(1)证明：平面44CJ_平面

(2)求直线BC\与平面小所成角的正弦值.

3.解析（1）・・・/4=2,A\B=7,N4/B=60。，

，由余弦定理得力仔=力邓+,4加-24/"BcosN/MA,

即4^一244-3=0=441=3或4小=一1（舍），故AAi=3.

取8c的中点O,连接04,。小，。是边长为2的正三角形，・・・40J_BC,且40=3,BO=1.

由44=/C,ZA\AB=ZA}AC,AA\=AA\得48=小。=7,

故4O_L8C,且4Q=6.

•・FO2+4Q2=3+6=9=44,：.AOLA\O.又BCCAO=O,故小O_L平面/14C,

•・・40u平面小8C,••・平面48C_L平面/8C.

(2)以。为原点，08所在的直线为戈轴，取的中点K,连接OK,以OK所在的直线为歹轴，过。

作OGJ_4小，以0G所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，

则8(1,0,0),51(1,3,()),Ci(-1,3,0),4(0,2,2),

・••比1=(-2,3,0),诟i=(0,3,0),信|=(一1,2,2),

设/n=(x,y,1)为平面/84闭的法向量，

•苗=3y=0,x=2,

则=〃?=(2,0,1).

'•后i=-x+2y+2=(),y=().

22=278

设直线8G与平面48以小所成角为仇则sin〃=_

1砥囱I3x3—39

故直线BC】与平面ABBiAi所成角的正弦值为2

39

4.如图，在几何体NBC—小田C中，平面力MCGJ_底面四边形小力CG是正方形，B\Ci〃BC,Q

是48的中点，且/C=4C=24iG，ZACB=2n.

3

(1)证明:力。_L/1C；

(2)求直线AC与平面小所成角的正弦值.

4.解析(1)如图所示，连接*G与小。交点，连接A/0.

•・•四边形4/lCCi是正方形，;历是4G的中点，又。是48的中点，・・・M0〃8C,MQ=；BC,

又〃/?C且/?C=2KCi,：.MQ〃R\C\.MQ=%G,

・•・四边形81GM。是平行四边形，:・B\QHC\M,VCiMUiC,，历0JL小C.

(2)・・•平面4/lCG_L平面力8C,平面由平面48c=4C,CCil^C,CC«平面小力CQ,

・・・CGJ_平面4?C.如图所示，以。为原点，CB,CG所在直线分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系,

令AC=BC=2B\Ci=2,

则C(0,0,0),A[3,一1,0),A\(3,—1,2),B(0,2,0),S(0,1,2),

：,CA=(3,-I,0),或i=(3,-2,0),派=(0,1,-2),

设平面的法向量为〃=[x,y,z),则由〃_L8i4,

3(—2y=0,

可得，'可令y=23,则x=4,z=3,

y—2z=0,

，平面小的一个法向量〃一(4,23,3),

\n-CA\]?oa

设直线4C与平面力山以所成为角为a,则sina=

\n\-\CA\23131

5.如图所示，在四棱台月8co一小SGA中，A4iJ_底面力8。。，四边形48C。为菱形，M为C。的中点,

ZBAD=\2Q0,AB=AAx=2A[B\=2.

(1)求证：力ALL平面44】8山；

(2)求直线DDi与平面48。所成角的正弦值.

5.解析(1)：•四边形49CO为菱形，24/£＞一12()。，连接4C,则△48为等边三角形，

又M为CO的中点，：,AMLCD,又CD"AB,：.AMLABt

•.•月小_1_底面/8CQ,4WU底面48C。，/.AMlAAi,

又力4d44]=力，.•.力加_1_平面44必归.

(2).・•四边形力8C。为菱形，/历1。=120。，AB=AA}=2A\B\=2,

.\DM=1,AM=3,AAAMD=ZBAM=900t又力小_1_底面/3CO,

以力为坐标原点，AB,AM.4小所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，

[-1■

建立如图所示的空间直角坐标系4qz,则4(0,0,2),BQ,0,0),。(一1,3,0),2,2

2

，而=G-),应)=(-3,3,0,A?B=[2,0,-2),

设平面的法向量为〃=(x,y,z),

〃•访=0,

-3x+3y=0,

则有，_=y=3x=3z,令x=l,则〃=(1,3,1),

nAiB=0]2x-2z=0

_♦\nDD\\।

，直线。。i与平面力14。所成角。的正弦值sin0=|cos<〃，DD]>\==

|〃||。坊5

考点二棱(圆)锥模型

|例1]如图，在三棱锥力一9。。中，AB=BD=AD=AC=2,△8CO是以4。为斜边的等腰直角三角

形，P为的中点，E为4。的中点.

(1)求证：力E_L平面3C。；

(2)求直线PD与平面ACD所成角的正弦值.

解析(1)由题图可知，△43。是边长为2的等边三角形，

•；E为BD的中点、,C.AELBD,且4E=3,如图，连接CE,

•••△8CQ是斜边长为2的等腰直角三角形，・・・"=5。=1,

2

在△/£1(；中，JC=2,EC=l,AE=3,.\/<C2=JE2+EC2,：,AELEC.

•：BDCEC=E,8OU平面EC。，ECU平面8CZ),工力后，平面8co.

(2)方法一取8的中点凡连接力凡EF,'：AC=ADtACD1JF.

，

由(1)可知，AELCD,：AEC\AF=At4EU平面力£凡力"U平面力七尺平面力后入

又CQU平面4CO,，平面O_L平面力CD.

设尸。力后相交于点G,则点G为的重心，：.AG=DG=AE=

33

过点G作G"_l_力产于〃，则G，J■平面4CO,

连接。〃，则NGOH为直线P。与平面AC。所成的角.

23

易知AAGHs^AFE,EF='BC=2,AF=14,AGH=AGEF=3X2=221

222AF|4221

2

y

••・sin/GO"="=即直线尸。与平面/CO所成角的正弦值为7.

方法二由(1)可知4£_L平面8CQ,且CE_L80,・•・可作如图所示的空间直角坐标系2—“z,

则40,0,3),C(l,0,0),0(0,I,0),从‘-2'2J,

历=(0,1,-3),O)=(-l,1,0),而TUi

n-AD=01y—3z=0,

设平面4c。的一个法向量为〃=(x,y,z),/.t即

HCD=0,—x+y=0,

1131

取x=y=1,则z=§'’3J为平面4c。的一个法向量,

\nDP\7

设尸。与平面力CO所成的角为仇则sin®=_=

\n\-\DP\7

故直线PO与平面AC。所成角的正弦值为

|例2](2020・新山东)如图，四棱锥「一月5c。的底面为正方形，PD_L底面力6co.设平面RIO与平

面P8C的交线为/.

(1)证明:LL平面尸DC；

(2)已知PO=4O=1,。为/上的点，求P8与平面0CQ所成角的正弦值的最大值.

解析(1)在正方形力8C。中，AD//BC,因为力£>Q平面P8C,BCU平面PBC,所以力。〃平面P3C,

又因为力OU平面以。，平面以OH平面P8C=/,所以4。〃/.

因为在四棱锥产一4?。。中，底面48co是正方形，所以/Q_LOC,所以/_LQC,

又POJ_平面力/?。，所以力。_1_尸。，所以/_LPO.因为。cnpo=。，所以/J_平面PDC.

(2)如图建立空间直角坐标系Dxyz,

因为尸0=/。=1,则有。(0,0,0),C(0,1,0),4(1,0,0),P(0,0,1),B(l,1,0),

设。(加，0,1),则有庆=(0,1,0),DQ=(m,0,1),丽=(1,1,-1).

DCn=0,v=(),

设平面0CO的法向量为〃=(x,y,z),贝『即，

DQ,"=0,vztv+z—0,

令x=l,则Z=—〃7,所以平面。CQ的一个法向量为〃=(1,0,—m),

n-PB1+0+〃？

贝!|cos</t,PB>=

|〃||两3,m2+1

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值,

所以直线与平面所成角的正弦值等于

|1+川=31+痴+加=3.一加

|cos<«,PR>\=

3-ni2+I3w2+13加+i

W3.一于"W3.i+[=6,当且仅当加=i时取等号,

3〃/+i33

所以直线PB与平面QCO所成角的正弦值的最大值为

［例3］如图，在四棱锥E一/I8C。中，底面48CQ为直角梯形，AB//CD,BC±CD,AB=2BC=

2CD.△£48是以48为斜边的等腰直角三角形，且平面E48_L平面力8CQ.点“满足：济=2或(2引0,

1］>

(1)试探究力为何值时，CE〃平面8。凡并给予证明；

⑵在(1)的条件下，求直线/B与平面4。厂所成角的正弦值.

解析(1)当;1=；时，C£〃平面反。.

证明如下：连接4C,交4。于点连接ME

因为AB〃CD,所以4M：欣?=44：。。=2：1.又讲=:或，所以"：律=2：1.

所以AM：MC=AF：EF=2：1.所以MF//CE.

又MFu平面BDF,CEC平面BD凡所以CE〃平面BDF.

(2)取48的中点。，连接EO,OD.贝I£O_L/18.

又因为平面/〃K_L平面4ACD,平面平面/占8=/&EOu平面/片笈，

所以EO_L平面/BC7),因为OOu平面/8C。，所以EO_L。。.

由8C_LC。，及AB=2CD,AB//CD,得0。_148,

由08,OD,O£1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz.

因为△£J4为等腰直角三角形，AB=2BC=2CD,所以OA=OB=OD=OE,设。4=1,

所以0(0,0,0),4—1,0,0),B(l,0,0),C(l,I,0),D(0,1,0),E(0,0,1).

所以力=(2,(),0),航=(-1,1,0),E2=(-1,0,-1),

西=；/=卜％V),3],所以或=g0,-3),

〃协=0,

设平面8。尸的法向量为〃=(x,y,z),则有，所以

〃•或=0,

取x=1,得〃=(1,1,2).

设直线与平面尸所成的角为仇则sin9=|cos＜港，心|=@"l=Rx"°x"°x2|=6

|油制212+12+226

故直线m5与平面8。尸所成角的正弦值为5

6

［例4］如图，在四棱锥E-,48C。中，底面48C。是圆内接四边形，CB=CD=CE=1,AB=AD=AE

3,ECLBD.

(1)求证：平面平面4BCQ；

(2)若点P在平面ABE内运动，且。尸〃平面BEC,求直线DP与平面ABE所成角的正弦管的最大值.

解析(1)如图，连接/C,交8。于点O,连接EO,

•；AD=AB,CD=CB,AC=AC,工△4OC也△48C,易得△ADO/A/iBO,

：.ZAOD=ZA()B=9()°t：,ACA.BD.

又ECLBD,EC(V1C=C,平面力EC,又OEu平面NEC,AOE1BD.

又底面ABCD是圆内接四边形，・•・ZADC=ZABC=90°,

在RtZVl。。中，由/。=3,CD=1,可得/C=2,/O=3,AZJEC=90°,AE=A0=3

2ACAE2

易得△力EOs△力。巴；.N4OE=N4EC=90。,MPEOA.AC.

又AC,BDu平面4BCD,ACC\BD=O,，EO_L平面/BCD,

又EOu平面8EO,，平面平面48CZ).

(2)如图，取力£的中点.M,18的中点N,连接MN,ND,DM,

则MN〃BE,由(1)知，ND4C=NBAC=300,即NZM8=50°,

•••△48。为正三角形，:,DN1AB,又BCtAB,，平面OWN〃平面E8C,・••点P在线段MN上.

以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

贝小°),加♦°),。，£6ZU-；,。］心j。］

.・小卜;‘2°°),建JU'2I.=[；'2^：1跋=("j-/J,

底〃=0,3x+y=0,«

设平面48E的法向量〃=(t，y,z),则，即令x=l,则〃=(1,3,3),

而〃=0,3x+z=0,

p3+323_3]

设/济=为麻(0W把1),可得济=成+^=14’24Z，44J,

itDp|

|川•|苏|I12

设直线OP与平面4所成妁角为仇则sin9=

I42x22+/+4'

VO＜；＜1,.••当2=0时，sin0取得最大值.

7

故直线。尸与平面月BE所成角的止弦值的最大值为

［例5］(2021•浙江)如图，在四棱锥尸一片8CQ中，底面/8CQ是平行四边形，N/8C=120。，AB=\,

8C=4,PA=15,M,N分别为PC的中点，PDLDC,PMLMD.

(1)证明：ABSM；

(2)求直线NN与平面PDM所成角的正弦值.

解析(1)在平行四边形48co中，由已知可得，CD=AB=1,CM=；〃C=2,ZDCA/=60°,

所以由余弦定理可得，DA42=CD2J-CA/2-2-CD-CA/cos60c=3,

则cD+nWn+Budna/，即CQ_LOM,

又PMA.MD,PMDDM=M,所以CO_L平面PDM,

而PMu平面PQM,所以CO_LEW.因为CO〃/8,所以力8_1尸忖.

(2)由(1)知，CD上平面PDM,又CDu平面/BCD,所以平面48COJ_平面POM,

且平面ABCD平面r)POM=DW,因为PMA.DM,且PMu平面PDW,所以PM_L平面ABCD,

连接力M,则在A48M中，AB=1,BM=2,N/l8M=120。，

可得4彳=1+4—2・12(一；)=7,

又PA=15,在中，求得PM=22,

取力。中点E,连接ME,则ME〃C。，可得ME、MO、MP两两互相垂直，

以M为坐标原点，分别以MZX/WE、分别为x轴、y釉、z轴建立空间直角坐标系，

则4(-3,2,0),尸(0,0,2),C(3,-1,0).又N为PC的中点，

33

所以M；，—；，2),^=(2,一；，2),

平面的一个法向量为〃=(0,1,0),

,._>\n-A^\is

设直线力A，与平面所成角为仇则sin8=|cos<俞，〃>|==

冈初6

故直线力N与平面PDW所成角的正弦值为15

6

［例6|(2017•浙江)如图，已知四棱锥P-ABCD,△为。是以力。为斜边的等腰直角三角形，BC//AD,

CDLAD,PC=AD=2DC=2CB,E为。。的中点.

(1)证明：CE〃平面必&

(2)求直线CE与平面尸8c所成角的正弦值.

解析(向量法)：(1)设4。的中点为0,连接08,0P.•••△以。是以力。为斜边的等腰直角三角形,

LOPtAD.,：BC=XAD=OD,且BC//OD,

2

，四边形8C。。为平行四边形，又•・・CO_L4Z）,：.OBlADf^OPClOB,I.力。_L平面。尸£

过点O在平面POB内作OB的垂线OM,交PB于",

以。为原点，04所在直线为x轴，。。所在直线为y轴，0M所在直线为z轴，建立空间直角坐标系,

如图.设。。=1,则有4(0,-1,0),8(1,0,0),C(l,1,0),。(0,1,0).设尸(x,0,z)(z>0),

由PC=2,OP=I,得](1)2+1+/-4,得尸」，z=3,即点4"2'°,2),

g+/=1,22

J-j3]

而£为PO的中点，・・・A4’2’4J.

设平面的法向量为〃=(.打，y\yzi),

-f」I3]——1乃+»1+;zi=0,

VJP=l2'2J,48=(1,1,0),A22取"=一],得〃=(1,-],3).

xi+yi=0,

T[_5_13]T

而史=14,24J,则屋•〃=(),而CEU平面以8,〃平面

(2)设平面P8C的法向量为丽=(必，)*Z2),•・•瑟=(0,1,0),BP=[~2""2),

”=0，

•**_3I3_rx取X2=l,得“1=(1,0,3).

X2IZ2U,

22

一\CE-ni\2

设直线CE与平面P8C所成角为仇则sinJ=|cosV〃i,CE>|=一=,

画IM8

故直线与平面P8c所成角的正弦值为

O

（几何法）：（1）如图，设口的中点为E连接E凡FB.因为£,尸分别为PO,以的中点,

所以E尸〃力。且又因为8c〃力。，BC=XAD,所以跖〃8c且防=8C

22

即四边形尸为平行四边形，所以。£〃8立

因为8/七平面以8,CEU平面以B,所以。石〃平面

P

F,E

/件.f0

BM-C

(2)分别取8C,力。的中点为M,N.连接PN交EF于点、Q,连接M。，BN.

因为£,F,N分别是尸O,PA,力。的中点，所以0为痔的中点，

在平行四边形“CE9中，M。〃。石.由△24。为等腰直角三角形得尸NJ_4〃

由。CJ_4。，N是力力的中点得ANJL/10.又PNCBN=N,所以彳。_1_平面。8N.

由8C〃4Q得8C_L平面〃8N,那么平面08C_L平面〃8M

过点。作P3的垂线，垂足为“，连接AW.则是A/Q在平面尸4C上的射影,

所以NQMH是直线CE与平面P3C所成的角.

设。。=1.在△PCO中，由OC=2,CQ=1,PD=2得CE=2,

在APBN中，由PN=BN=1,PB=3得0H=\

4

I7

在RtZk"。"中，。〃=,M()=2,所以sinNQA/〃=,

48

所以直线CE与平面P8C所成角的正弦值是.

【对点训练】

1.如图，已知三棱锥P一48C,平面片C_L平面48C,AB=BC=PA="C=2,ZJ5C=120°.

2

(1)求证：PALBC；

(2)设点E为PC的中点，求直线AE与平面P8c所成角的正弦值.

1.解析(\)AB=BC=2tZABC=\20°,由余弦定理得

+—2/184CcosN/18C=4+4—2X2X2x(一』=12,故AC=23.

又必2+402=4+12=修:小；2,故以J_4C.

又平面以C_L平面48C,且平面R/CG平面48。=力。，故,以_L平面力8c.

又BCU平面ABC,故口_L8C.

(2)由(1)知以_L平面力BC,故以力为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系力一个z

则4(0,0,0),5(1,3,0),P(0,0,2),C(0,23,0),E(0,3,1).

故就=(0,3,1),PC=(0,23,-2),血=(一1,3,0),

/H?C-0,23y-2z=0,

设平面P8c的法向量〃i=(x,y,z),则即

nvBC=0,-x+3y=0,

x=3,

令》=1,有-y=l,故可取〃I=(3,1,3),

3,

\AE-ni\2391

设直线4E与平面PBC所成的角为仇Msin6='==2，,

\AE^m\(3)2+F(3)2+12+(3)27

所以直线与平面尸8c所成角的正弦值为

2.在△44C中，D,E分别为力8,4c的中点，AB=2BC=2CD,如图①，以。七为折痕将A/OE折起,

使点力到达点尸的位置，如图②.

(1)证明：平面8C〃_L平面CEP；

(2)若平面OEP_L平面反?£。，求直线DP与平面BCP所成角的正弦值.

图②

2.解析(1)在题图①中，因为18=28C=2C。，且。为48的中点，

所以由平面几何知识，得N4C8=90。.又E为力C'的中点，所以。石〃3C.

在题图②中，CE1DE,PE1DE,R.CECiPE=Et所以。叫L平而。EP,所以〃C_L平而。TP,

又BCu平面BCP,所以平面BCP_L平面CEP.

(2)因为平面£>/尸_1_平面BCEQ,平面。石尸n平面EPu平面DEP,EPA.DE,

所以EP_L平面8CEZ).又CEu平面BCED,所以£P_LC£

以后为坐标原点，E。,EC,EP的方向分别为x轴沙轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.在

题图①中，设BC=2a,则43=44,AC=23a,AE=CE=3a,DE=a.

则P(0,0,3a),D(a,0,0),C(0,3a,0),BQa,3a,0).

所以加=(一“，0,3a),BC=(~2a,0,0),CP=(0,一3a,3a).

/rBC=0,-2G=0,

设平面4。尸的法向量为〃=。，y,z),则___艮。