高中数学选择性必修1第三章《椭圆》练习题（含答案解析）

高中数学选择性必修1第三章椭圆练习题（含答案解析）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

22

1.点尸为椭圆5+9=1上一点，尸为焦点，则|尸产|的最大值为（）

A.1B.3C.5D.7

2.设P是椭圆1+2=1上一点，p到两焦点耳行的距离之差为2,则APK玛是

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

22

3.椭圆土+2r=1的焦距等于2,则〃?的值为（）

m5

A.6B.9C.6或4D.9或1

4.已知椭圆£+/=15>|）的离心率为半，则其焦距为（）.

A.jB.273C.6D.2"

x25

5.已知椭圆C:^―+尸=1（〃?>0）,则“用=2"是"椭圆C的图心率为的（）

m2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道

可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上.已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近

地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大

值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变就前的2倍，则此次变轨任务前的椭

圆轨道的离心率为（）

A-IB.空C-与1D.41

7.已知椭圆C:二+与=1储>。>0）的长轴长为8,且离心率为芈，则。的标准方程为（）

crD4

A%21n厂二x-y',x-y~.

A•■{-y=1B・一一4-——二C-4--=D，64+T=1

16,64491615

8.已知方程宝1一+二=1表示焦点在V轴上的椭圆，则〃?的取值范围是（）

25-m〃?+9

A.-9<m<25B.-8<m<25

试卷第1页，共6页

C.9<rn<25D.8<7/z<25

9.点P是椭圆二十二=1上一点，尺,乃是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为i,

167

当点。在第一象限时，尸点的纵坐标为（）

759

A.2B.—C._D・—

334

10.焦点在y轴上的椭圆机/+产=］的离心率为当，则/〃的值为（）

A.1B.2

C.3D.4

11.阿基米德（公元前287年公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，

他利用“逼近法”得到椭圆的面枳除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘枳若椭圆

C的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，，面积为8兀，则椭圆。的方

程为（）

A.—+y2=1B.—+—1c.—+—=1D.—+—=1

4＞164=J1612416

22

12.设椭圆C:宁+与-=1的左右焦点分别为G，鸟，直线/过E且与C交于48两点，则

△力8尼内切圆半径的最大值为（）

A.：B.更C.-D.1

224

22

13.已知椭圆亍+今=1（。＞8〉0）的左、右焦点分别为耳、石，点力是椭圆短轴的一个顶

点，且cosNZ45=q,则椭圆的离心率6=（）

A.；B.立C.!D.巫

2244

22

14.已知”，鸟是椭圆C：5+今=1（«＞力＞0）的左，右焦点，A是C的左顶点，点尸在过A

且斜率为平的直线上，△/华乙为等腰三角形，/片％产=12（尸，则。的离心率为

21C11

A.-B.：C.-D.-

3234

15.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，

某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场

地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1,阳光照射

油纸伞在地面卜形成了一个椭圆形影子（春分时,该市的阳光照射方向与地面的夹角为60。）・

试卷第2页，共6页

则（）

A.该椭圆的离心率为追二1

B.该椭圆的离心率为，JT-5

2

C.该椭圆的焦距为巫正

D.该椭圆的焦距为2/-1

3

16.函数y=（"o,且"1）的图象恒过定点A,若点A在椭圆，亍=1

〃>0)上，则加+n的最小值为()

A.12B.14C.16D.18

17.设耳，乃是椭圆£的两个焦点，P为椭圆E上的点，以〃片为直径的圆经过人，若

tanNPF、F,=走,则椭圆E的离心率为

1215

B.正C.直

AD

-#54-T

18.在写生课上，离身高1.5m的絮语同学不远的地面a上水平放置着一个半径为o.5m的

正圆C,其圆心C与絮语同学所站位置A距离2m.若絮语同学的视平面兀，平面a,力。，平

面冗，，且jCc平面冗于点。，CQ=lm,则絮语同学视平面上的图形的离心率为（）

A.1B.®C.®D.-

6565

19.如图所示，“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点。变轨进入以

月球球心?为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在。点第二次变轨进入仍以尸为一

个焦点的椭圆轨道n绕月飞行，若用2G和2J分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2q和2七分

别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：①%-c=%-G：②。|+。=%+，2：

③9外＞年2；④-L＜二".其中正确的是（）

-a\a2

试卷第3页，共6页

A.(2X3)B.①④C.①③D.②④

223

2().己知力,鸟是椭圆C：£+5」的左、右焦点，离心率为"，点A的坐标为叼,

则N片力尼的平分线所在直线的斜率为()

A.2B.1C.琳D.应

二、多选题

22)2

21.已知椭圆「十二=1与椭圆41r+3=1,则()

A.k<9B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等

22.下列是真命题的是()

A.已知定点石(-则满足|尸耳|+「死|=/的点Q的轨迹为椭圆

B.已知定点£(-2,0),£(2,0),则满足|可|+「6卜4的点。的轨迹为线段

C.到定点£(-3.0).尼(3.0)距离相等的点的轨迹为椭圆

D.若点P到定点F、(-4,0),工(4,0)的距离的和等于点A45.3)到定点R(-4,0),/^(4,0)

的距离的和，则点。的轨迹为椭圆

23.已知尸是椭圆E:21上一点，尸-鸟为其左、右焦点，且的面积为3,

则下列说法正确的是()

试卷第4页，共6页

A.P点纵坐标为3B./月”吟

C.△月秋的周长为4(五+1)D,△片里的内切圆半径为孤5-1)

22

24.设耳，6为椭圆C：营+卷=1的两个焦点，尸(・%,%)为。上一点且在第一象限,/(不必)

为△耳尸鸟的内心，且△石桃内切圆半径为1,则()

A.|/P|=y/5B.x()=C.玉=2D.k/F^-k^=——

三、填空题

25.已知点(3,2)在椭圆三+匕=1(7M>0,〃>0)上,则点(・3,3)与椭圆的位置关系

是___________

2

26.短轴长为班，离心率。=3•的椭圆的两焦点为耳入，过耳作直线交椭圆于A、S两点,

则△力4鸟周长为.

22

27.已知椭圆于+卷=1的左焦点为R点F在椭圆上且在x轴的上方，若线段尸尸的中点

在以原点O为圆心，|0「|为半径的圆上，则|叩=。点的坐标为.

28.设椭圆。:±+《=1(0>6>0)的右焦点为八。为坐标原点.过点尸的直线2x+y-4=0

ab

与椭圆的交点为。(点。在X轴上方)，且则幡圆C的离心率为

29.方程工_+1=1表示椭圆的充要条件是________.

5—kk

四、解答题

30.求椭圆其+左=1的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标.

2316

31.求解下列问题：

(1)已知椭圆长轴的两个端点到左焦点的距离分别是2和4,求椭圆的离心率:

(2)设厂是椭圆的一个焦点，与鸟是短轴，若NB、FB2=6y,求椭圆的离心率.

鸟，离心率为空，p为椭圆

32.已知椭圆C:£+*=1(6/>b>0)的左、右焦点分别为F,,

C上一点，且AM用面积的最大值为4.

(1)求椭圆C的方程;

试卷第5页，共6页

(2)过点用作两条互相垂直的直线48和。£,A,B,D,E都在椭圆C上，求需的取值范

I45

围.

33.如图，小企,0),B分别是椭圆。：今+今的左顶点和上顶点，圆。经

过点3,P为椭圆C上一点，过A且与力尸垂直的直线交圆0于两点C,Q.若点"(he)在椭

⑴求椭圆C的标准方程:

⑵求△PCO面积的最大值.

试卷第6页，共6页

参考答案

号

题123456789

1D0

案

答cBCBAcADB

号

题u2A0

1C21D31D41B51C61D71D81C9

答案B

题号222324

21

答案BDCDABD

AC

1.C

【分析】先求得"，C,由此求得|尸修的最大值.

22

【详解】•,•?+3=1，•・・〃2=9，〃=5n/=4,

即a=3,。=2.

所以的最大值为〃+c=3+2=5.

故选：C

2.B

【详解】试题分析：两焦点分别为：（2,0）,（-2,0）.

根据椭圆的定义：

P到两焦点工耳的距离之和等于4x2=8,

又因为P到两焦点凡丹的距离之差为2,

可求得，P到两焦点距离分别为5.3.

所以三角形边长分别为3,4,5.所以是直角三角形选B.

考点：本题主要考查椭圆的定义，标准方程及几何性质.

点评：常见题型，利用椭圆的定义及儿何性质，确定三角形边长，以确定其形状.

3.C

【分析】分焦点在x轴和），轴，求出c,利用2c=1即可求解.

X2y2--------

【详解】椭圆—+二~=1的焦点在x轴时，有c=—5.

m5

由题意得：2c=J〃L5=2,解得：加=6.

22

椭圆一+4■=1的焦点在y轴时，有c=,5-〃1.

m5

由题意得：2c=j5-〃？=2,解得：加=4.

答案第1页，共16页

故选：c

4.B

【分析】根据离心率可以求出力，由。=亚丁即可J即可得焦距.

h2

【详解】根据题意得e=

解得标=4,

因此c=y/a2-1=>J3,

所以焦距为

故选：B.

【点睛】本题主要考查的是椭圆的几何性质，熟知离心率公式，以及是解决本题

的关键，考查计算能力，是基础题.

5.A

【分析】根据椭圆离心率定义，对参数〃，的取值进行分类讨论即可判断出结论.

【详解】由〃?=2可得椭圆=i,此时离心率为。=£='£="s

2ayJ22

此时充分性成立；

若椭圆C'的离心率为平，当时，可得离心率为e=£=耳工=噂，解得〃?二:，

即必要性不成立；

综上可知，“机=2”是“椭圆C的离心率为军”的充分不必要条件•

故选：A

6.C

【分析】根据给定条件，列出变轨前后椭圆长半轴长和离心率的关系等式，即可求解得答案.

【详解】设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为则半焦距为阳，

设变轨后椭圆的长半轴长为"，显然变轨后椭圆离心率为2e,半焦距为2.'，

1l2e3(1e),

依题意，%[a'+-l2eaM^=a3(-〃ea+町整理得K+=+即2夕+2-1=。，

而0<e<1,解得e=也」，

答案第2页，共16页

Qi

此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为、2一•

故选：C

7.A

【分析】根据概念得到”,b,c,即可得到结果.

【详解】由题意易得2〃=8,则a=4,

因为椭圆C的离心率为，所以c=45，

4

则〃=16-15=1,

2

故C的标准方程为77+J广=1，

lo

故选：A.

8.D

【分析】由题知，”<9>25-〃”。，再解不等式即可.

22

【详解】解：「方程"一+二=1表示焦点在y轴上的椭圆，

25-m〃？+9

w+9>25-w：>0,解得：8</H<25.

故选：D.

9.B

【分析】根据椭圆方程求出。力，。，由椭圆的定义可求出|可|+「周+/K|=2a+2c,然后

利用等面积法可求出尸点的纵坐标.

22

【详解】由2+号=1,得/=16万=7,

16/

所以a=41=V7,c=J16—7=3,

所以附|+|"周+|尸周=2"2c=8+6=14,

设8的内切圆半径为L

因为4"1+归周+1尸周/=；片周孙

117

所以gx14x1=彳乂6月,，得力=彳.

故选：B

答案第3页，共16页

Vi

10.D

【分析】将椭圆的方程化成标准形式后再根据离心率可求得〃?的值.

2

X2

【详解】椭圆的方程〃E+V=l化为标准方程为工+'=.

m

•・•焦点在y轴上，

:./=16=—,

m

J.c2=a2-b2=\-L

m

W13

由题意得夕=-r=1-r，

a~m4

解得"=4.

故选D.

【点睛】本题考查椭圆中基本展的计算，解题时需要把椭圆的方程化为标准形式，再确定出

相关的参数，然后再结合题意求解，属于基础题.

11.B

22

【分析】由题意，设出椭圆的标准方程为今+方=1（。＞）＞0）,然后根据椭圆的离心率以

及椭圆面积列出关于。力的方程组，求解方程组即可得答案.

v2V2

【详解】解：由题意，设椭圆。的方程为了■+a=1（"方＞°）,

因为椭圆。的离心率为李，面积为8兀，

「己更

-2

所以7~V~a~~f解得。2=16万=4，

8兀=abit

X2v2

所以椭圆。的方程为77+?=1,

1o4

故选：B.

12.C

答案第4页，共16页

【分析】根据等面积法表示出内切圆半径r的表达式厂=在利用韦达定理求“一丹I

的最大值即可.

【详解】由题知。=2,c=l,设4（演，乂），4。2，外），设△”8工内切圆半径为八

则5“卓（|何+|啊+照尸;时山-对，

.・.4"=2c•忻一以，即8，=2,-川，.•.尸=必:必

设4?的方程为：工=〃沙-1,代入椭圆方程可得：（3〃/+4日-6〃少-9=0,

6M_9

VA>0,，乂+必二25/，必必二,，/，

3〃?+43〃/+4

../--------------------\（6mX36-12Jnr+\

，必一）‘2=4（M+y2）-4^2=JL2\+-24=…4'

1'vv7+4AJ3m+43m+4

设”7^7?“则3〃〜4="十小一对二品=/,

t

3

年1时，该表达式对应的函数是减函数，・・・/=1时，取得最大值3,・•・「最大值为屋

故选：C.

13.D

【解析】依题意，不妨设点力的坐标为（0,好,在巳中，由余弦定理得再

根据离心率公式计算即可.

22

【详解】设椭圆"今=1（。〉人>0）的焦距为2c（C>0）,

22

则椭圆£+今=1（。>^>°）的左焦点K的坐标为（-c,0）,右焦点弱的坐标为（c，o）,

依题意，不妨设点4的坐标为（0,6），

在△£42中，由余弦定理得：

2

依玛闫"『+1盟|-2\AF.伤|cos/FXAF2,

124

3I

4c°=2a2-2a2x—=一a',

42

答案第5页，共16页

解得e=

4

故选：D.

【点睛】本题考查椭圆的几何性质，在△石力工中，利用余弦定理求得;f=4/是关键，属

于中档题.

14.D

【分析】先根据条件得/V2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.

【详解】因为鸟为等腰三角形，/七人P=120°,所以PF*BB=2C,

由”斜率为得，tanNP/16=-^sinZ.PAF2,cosZPAF2»

66VI3JI3

PRsin/PAF]

由正弦定理得羽=sin/4"'

11

所以二=____叵_____:尸F----------d4G七;

所以"Csin(L”"JB城[i5"4'

3'丁不一%事

故选：D.

15.B

【分析】先求出8片，结合椭圆的知识以及正弦定理求得凡。，进而可得椭圆的离心率和焦

距.

【详解】如图，伞沿的圆心位于点。，伞柄底端位于点片，片8为圆的直径，C8为椭圆形

的左右顶点，

由题意可得力4=2,08=0^=],则8=45"

BF、={0F*0B2=历二戊,即a+c=",

阳光照射方向与地面的夹角为60。，即C=60',

则/CAB=180"-60-45°=7s,

sin75°=sin(30+45)=sin300cos45°+cos30°sin450=lx—+—x—=口+也,

22224

BCABla2

在VABC中，----,,,,UP.rm~m，

sin/C/8sinCsin75sin60

答案第6页，共16页

73-1

‘'e=3=J24+:26=小小-5,故A错误,B正确.；

丫-36-

2c=2737?-5,故CD错误.

故选：B.

16.C

【分析】求出A的坐标代入椭圆方程，再将"+〃化为积为定值的形式，利用基本不等式可

求得结果.

【详解】由3—x=0,即x=3,得P=l,所以A。』），

x2y291,

因为点A在椭圆一+—=1上，所以一+—=1（w>0,.,»>0）,

nmn

所以〃7+〃=（/〃+”）（、■!■）=10+4—>10+2,

innnmVnm

当且仅当m=12，〃=4时，等号成立.

故选：C

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意更必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值,

则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）••三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这

个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

17.D

【分析】由已知条件可得/尸6"=90。，然后利用已知条件和勾股定理可求出pK|,|P6|,

再结合椭圆的定义列方程可求出a，c的关系，从而可求出离心率

【详解】由题设/明月二90。，

答案第7页，共16页

因为tanNPFE=2弋,所以|尸尼卜「冉|-tanZP/^F,=竿r

由勾股定理可得

15

因为「8|+『打卜勿，

所卜产6J46彳口_36

Wr以----c+-------c=勿,rTa=-----c,

15155

故离心率e=-=-^＞

a3

故选：D.

18.D

【分析】作出图形，结合邈中数据和三角形相似即可求解.

【详解】画出题中所述图：

可知圆在视平面上得到的是椭圆，且长轴长为圆的直径，即2a=1

BDCDB'DDD'八'1.5I.5“

通过相似关系，由另7=K7及7R=K7,代入数据：^=—X—=0,9,

AA'C'AAA'D'A2.5

8，Q=0.5X1.5=O

1.5'

所以288'=26=0.8,则C?=片=!一竟=0（）9,。=京，所以6=白入2='.

•4J1U1xjJ

故选：D.

19.C

【分析】对于①，由|尸周建立联系；对于②，根据椭圆的性质及不等式的可加性可以判断;

对于③，对式子-&先变形后就可以对③④作出判断.

【详解】由《一4二|刊1，«2-C2=|PF|,得q-。=。2-。2,故①符合题意;

由图可知。＞%，目＞。2,故②不符合题意;

答案第8页，共16页

/.a,1_2

a2

,/ax>a2,.-J--<1--,

为生

故④不符合题意，③符合题意.

故选:C.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是|"1=4-仇=42-。2；二是对卬-。=。2-。2的变

形.

20.A

【分析】由题得：/=4,结合得出椭圆方程，根据角平分线的性质，过点”作用平

分线的对称点尸,由中点坐标公式求出£产的中点。，即可求得的平分线所在直线的

斜率.

【详解】由题可知：/=4,c2=a2-b2=4-b2,

12Ah21

已知e=5，则/=rF=^—=7，得出〃=3，

2a44

所以椭圆方程为:

43

焦点片（-1，°"（1，°）而彳0）,即：伤口轴以出弓，

又因为：|"；|=|力周=2a=4得/卜|«,

设：/片4g的角平分线所在直线为/,

则点与关于/的对称的点为厂，

所以：产在传的延长线上，但网=W3g则网=1

所以，尸（L—1）

设V的中点为。，有。（。，-力，

得出力。所在直线的斜率卜2一卜。9，

、。=1-0

即NE4用的平分线所在直线的斜率为2.

故选:A.

答案第9页，共16页

【点睛】本题主要考查椭圜的标准方程，利用了椭圆的几何性质、离心率和角平分线的性质,

以及中点坐标公式和斜率公式相结合.

21.AC

【分析】分别对两个椭圆进行分析，得到对应的短轴长，焦距，离心率等，即可得出结论.

x22__________

【详解】由题意，在石+丁=1中，有。=5,b=3,c=4a?=j25-9=4,

c4

，短半轴为3,长半轴为5,焦距为4x2=8,离心率e=£=5，

在“r>=］中，有4=。25-左»b=49一左，。=J25-Z-(9-2)=4,

ND—KV—A

工长半轴为、25—〃,短半轴为,9-1,焦距为4x2=8,

25-k>04

9,0，解得：S离心率心节耳,

工AC正确，BD错误.

故选；AC.

22.BD

【分析】根据椭圆定义可依次判断各个选项.

【详解】对于A,•.•/<2,根据椭圆定义，点尸的轨迹不存在，故A错误；

对于B,.•.|月工|=4,.•.点户的轨迹为线段用"故B正确；

对于C,到定点片(-3,0)H(3,0)距离相等的点的轨迹为线段”用的垂直平分线，故C错误;

对于D,3)到定点6(-4,0),5(4,0)的距离的和为

^(5+4)2+32+45-4)2+32=4M>8，

所以点。的轨迹为椭圆，故D正确.

故选：BD.

23.CD

答案第10页，共16页

【分析】根据题意得耳(一2,0),巴(2,0),设点P(叫〃兀进而得加=±浮，〃=±,，再根

据椭圆的对称性，讨论尸(力‘，手时，结合余弦定理得再结合等面积法求内切

圆的半径即可.

22

【详解】解：:〃=2"，b=2,,-.c=yJa-b=2,

H=2C=4,£(-2.0),6(2,0),

设点*乙区"3,，〃=±5，故选项A错误，

9

巫

-

4±

把点。坐标代入椭园方程得:-+-2

84

不妨设尸(坐，

■••ImF-(胆+2)2十(32一卜2"，I”F-(胆-2>+(4)2-22-Vi4,

2242/4

io7

■•.IP用2+1PF]I2-(2e):=—x2-16=y>0,

.”跖*,故选项B错误，

由椭圆的定义可知，△片方?尸的周长为2a+2c=4百+4=4(«+1),故选项C正确，

设△片招尸的内切圆半径为，，则•(4+4)=3,

r=1(72-1),故选项D正确,

故选：CD.

24.ABD

【分析】如下图所示，设切点为A,8,C,由椭圆的定义结合内心的性质可判断A；由等

面积法求出K代入椭圆的方程可判断B；求出/("1)可判断C：由两点的斜率公式可

判断D.

【详解】如下图所示，设切点为A,B,C,

对于A,由椭圆的方程鼻+2=1知：。=5力=4,c=3,

2JIO

由椭圆的定义可得：|所卜作|=2。=10,

易知卜用+怛周=|耳周=6,所以四|=|心|=2,

答案第11页，共16页

所以|z尸|=vm=石，故A正确；

对于BCD,=S.研+S,喋+S*巧=4|历|+|。周+任用产=A24+2c)・j

][8

又因为%%=5X6XM=5X(10+6)X1,解得：%=彳

又因为P(毛，坊)为C上一点且在第一象限，所以a+得=1,解得：/=半，故B正确:

从而『用=。+夕。=5+6,所以/卜附卜附=3+6，

所以卜用二|阿|=3+石，而|。3=3,所以/(&1)，故C错误；

从而修"岭"嵩xjTT—4故口正确•

9499

【分析】由已知得一+—=1，继而有一+—>1,由此可得答案.

mnmn

9499

【详解】解：因为点(3,2)在椭圆上，所以£+7=1'又〃»°，〃>°，所以蔡+；7>1，故点

(-3,3)在椭圆外.

故答案为：点在椭圆外.

26.12

【分析】根据短轴长为26，离心率求得长半轴，再由用周长为4a求解.

2

【详解】因为短轴长为2石，离心率。=’，

c2

所以6=Jr5，e="=J,

又a2=b2+c2，

解得4=3,

所以△/出入周长为/=48-/月+8£=4〃=12,

答案第12页，共16页

故答案为：12

【分析】求得椭圆的。，b,JJ设椭圆的右焦点为尸，连接"'，运用三角形的中位

线定理和椭圆的焦半径公式，求得尸的坐标，利用椭圆的定义求解।户用.

【详解】解：由题意，该椭圆的长半轴长4=3,短半轴长6=石，半焦距c=2,离心率eg

设椭圆的右焦点为尸，连接尸尸，

线段的中点A在以原点。为圆心，2为半径的圆，

连接40,可得|「尸|=2|4。|=4,

设。的坐标为(〃?,〃)，由焦半径公式可得3-京〃=4,可得加=-1•，代入到椭圆方程得〃=孚，

由|P尸|=2|力0=4得|P"|=2x3—4=2,

故答案为：2；(-

【点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、几何性质，注意运用三角形的中位线定理，

考查运算能力，属于中档题.

28.正

3

(68、

【解析】转化条件为〃(2,0),设点Q(》,-2x+4),列方程可得点。(彳，可，结合椭圆定义可

得〃，再由离心率的公式即可得解.

【详解】因为点尸在直线2x+歹-4=0上，所以尸(2,0),椭圆左焦点6(-2,0),

设点。(X,-2X+4),则Wq=Jx，+(—2x+4)2=|O']=2,解得•或X=2(舍去),

所以点。

所以2a=\QF\+的=„+(})+J(却+(})=竽，即"竽，

答案第13页，共16页

e£2e

所以椭圆的离心率一。一至一3•

~5~

故答案为：

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是求出点。的坐标，再结合椭圆的定义、离心率公式

即可得解.

29.（0,牛仔5）答案不唯一

【分析】两个分母为不相等的正值时，所给方程表示椭圆.

【详解】方程^―J=1表示椭圆，

5-kk

5_〃＞0

则必有%＞°解之得°＜女＜彳或9攵＜5

5-k^k

故答案为：（0，1^7（9，5'卜（答案不唯一，其他等价情况也对）

（。与和［。'-岑）

30.长轴长8,短轴长5,焦点坐标为，顶点坐标为（。,4）、（0,-4）.

【分析】首先将椭圆方程化为标准式，再根据椭圆的几何性质一一计算即可；

422V"12539

【详解】解：椭圆77"=1，即16+25，即/=16，/=—，又c2=a?-b2，所以c~=—»

2516—44

所以。=4,b=g。=竽，所以长轴长2〃=8,短轴长2人=5,焦点坐标为。，畔•和

（。，-曰，顶点坐标为（0,4）、（0,-4）、佼。）、,永0）；

31.（1）!

⑵当

【分析】（I）根据已知条件列方程组，求得44,由此求得椭圆的离心率.

（2）根据已知条件求得。=2/）,由此求得椭圆的离心率.

a-c=21

【详解】⑴依题意〃,、na=3,c=l=c=w

答案第14页，共16页

(2)由于做=股=。，4改=60。，所以三角形4股是等边三角形，

所以FB[=FB=BB[,gp-2b,一二彳，

2(la2

所以椭圆的离心率为e=,—(7=-

32.⑴K=l；

84

⑵['].

【分析】(1)根据离心率.、焦点三角形的性质及椭圆参数关系列方程求〃、b,即可得喃圆

方程.

(2)讨论直线力6和OE的斜率，设直线方程并联立椭圆.应用韦达定理及弦长公式求I』例