2025-2026年天津市北师大版高中数学高三上册第10章导数应用习题

2025-2026年天津市北师大版高中数学高三上册第10章导数应用习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-2,4]上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A.8B.10C.12D.14解析：首先对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x。令f′(x)=0，解得x=0或x=2。分别计算f(x)在x=-2、x=0、x=2、x=4处的函数值：f(-2)=-2³-3(-2)²+2=-10，f(0)=0³-3(0)²+2=2，f(2)=2³-3(2)²+2=-2，f(4)=4³-3(4)²+2=18。因此，最大值M=18，最小值m=-10，M+m=8。故选A。2.函数g(x)=e^x-x³在区间(0,1)内（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：对函数g(x)求导，得到g′(x)=e^x-3x²。令h(x)=e^x-3x²，则h′(x)=e^x-6x。在区间(0,1)内，e^x>1，6x<6，因此h′(x)>0，即h(x)在(0,1)内单调递增。又因为h(0)=1>0，所以g′(x)>0，即g(x)在(0,1)内单调递增。故选A。3.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）A.3B.2C.1D.0解析：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-a。因为f(x)在x=1处取得极值，所以f′(1)=0，即3(1)²-a=0，解得a=3。验证：f′(x)在x=1两侧的符号变化，当x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，符合极值条件。故选A。4.函数y=ln(x²+1)-2x在区间(-∞,0)上的最大值为（）A.-1B.0C.1D.2解析：对函数y求导，得到y′=(2x)/(x²+1)-2=(2x-2(x²+1))/(x²+1)=(-2x²+2)/(x²+1)。令y′=0，解得x=±1。在区间(-∞,0)上，只有x=-1符合条件。计算y在x=-1和x→-∞时的函数值：y(-1)=ln(2)+2，y→-∞时，y→+∞。因此，最大值为ln(2)+2。选项中无正确答案，需重新命题。5.已知函数f(x)=x³-3x²+2x-1，则方程f(x)=0在区间(1,2)内的实根个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1。令f′(x)=0，解得x=1±√(1/3)。在区间(1,2)内，f′(x)>0，即f(x)单调递增。计算f(1)=-1，f(2)=1，由零点存在性定理，f(x)=0在(1,2)内无实根。故选A。6.函数y=x³-6x²+9x+1的拐点坐标为（）A.(1,5)B.(2,3)C.(3,4)D.(0,1)解析：对函数y求二阶导，得到y′′=6x-12。令y′′=0，解得x=2。计算y在x=2处的函数值：y(2)=2³-6(2)²+9(2)+1=3。因此，拐点坐标为(2,3)。故选B。7.若函数f(x)=x³-3x+a在x=1处取得极小值，则a的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-3。令f′(x)=0，解得x=±1。因为f(x)在x=1处取得极小值，所以f′(x)在x=1左侧为负，右侧为正。计算f(1)=1-3+a=a-2，由极值条件，f(1)=0，解得a=2。故选B。8.函数y=|x³-2x|在区间[-2,2]上的最小值为（）A.-8B.-2C.0D.2解析：对函数y求导，得到y′=3x²-2。令y′=0，解得x=±√(2/3)。计算y在x=-2、x=-√(2/3)、x=√(2/3)、x=2处的函数值：y(-2)=|(-8)+4|=4，y(-√(2/3))=|(-2√(2/3))²+2√(2/3)|=2√(2/3)，y(√(2/3))=|2√(2/3)|=2√(2/3)，y(2)=|8-4|=4。因此，最小值为0。故选C。9.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别为M和m，则M-m的值为（）A.4B.6C.8D.10解析：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x+2。令f′(x)=0，解得x=1±√(1/6)。计算f(x)在x=-1、x=1-√(1/6)、x=1+√(1/6)、x=3处的函数值：f(-1)=-1³-3(-1)²+2(-1)=-6，f(1-√(1/6))=1³-3(1-√(1/6))²+2(1-√(1/6))≈-0.11，f(1+√(1/6))=1³-3(1+√(1/6))²+2(1+√(1/6))≈-0.11，f(3)=3³-3(3)²+2(3)=0。因此，最大值M=0，最小值m=-6，M-m=6。故选B。10.函数y=2x³-3x²-12x+5的极值点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：对函数y求导，得到y′=6x²-6x-12。令y′=0，解得x=-1或x=2。计算y′′(x)=12x-6，y′′(-1)=-18<0，y′′(2)=18>0，因此x=-1为极大值点，x=2为极小值点。故极值点个数为2。故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[0,3]上的最大值为______，最小值为______。参考答案：最大值2，最小值0解析：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x。令f′(x)=0，解得x=0或x=2。计算f(x)在x=0、x=2、x=3处的函数值：f(0)=0，f(2)=-2，f(3)=0。因此，最大值为2，最小值为0。2.函数g(x)=e^x-x³在x=1处的切线方程为______。参考答案：y=(e-2)x+1解析：对函数g(x)求导，得到g′(x)=e^x-3x²。计算g′(1)=e-3，g(1)=e-1。切线方程为y-g(1)=g′(1)(x-1)，即y=(e-3)(x-1)+e-1，化简得y=(e-2)x+1。3.函数y=x³-6x²+9x+1的凹区间为______。参考答案：(∞,3)解析：对函数y求二阶导，得到y′′=6x-12。令y′′>0，解得x>2。因此，凹区间为(∞,3)。4.函数f(x)=x³-3x+a在x=2处取得极大值，则a的值为______。参考答案：-1解析：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-3。令f′(2)=0，解得a=1-12=-1。5.函数y=|x³-2x|在x=1处的导数为______。参考答案：-1解析：对函数y求导，得到y′=3x²-2。计算y′(1)=1。6.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,1]上的最大值为______。参考答案：2解析：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x+2。令f′(x)=0，解得x=1±√(1/6)。计算f(x)在x=-1、x=1-√(1/6)、x=1+√(1/6)、x=1处的函数值：f(-1)=-5，f(1)=0，f(1±√(1/6))≈1.11。因此，最大值为2。7.函数y=ln(x²+1)-2x在x=0处的二阶导数为______。参考答案：-2解析：对函数y求二阶导，得到y′′=(4x²-2)/(x²+1)²。计算y′′(0)=-2。8.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[0,2]上的最小值为______。参考答案：0解析：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x+2。令f′(x)=0，解得x=1±√(1/6)。计算f(x)在x=0、x=1-√(1/6)、x=1+√(1/6)、x=2处的函数值：f(0)=0，f(2)=0，f(1±√(1/6))≈1.11。因此，最小值为0。9.函数g(x)=e^x-x³在区间(-1,1)内的单调递增区间为______。参考答案：(0,1)解析：对函数g(x)求导，得到g′(x)=e^x-3x²。令h(x)=e^x-3x²，则h′(x)=e^x-6x。在区间(-1,0)内，h′(x)<0，在区间(0,1)内，h′(x)>0。因此，g(x)在(0,1)内单调递增。10.函数y=x³-6x²+9x+1的拐点坐标为______。参考答案：(2,3)解析：对函数y求二阶导，得到y′′=6x-12。令y′′=0，解得x=2。计算y在x=2处的函数值：y(2)=3。因此，拐点坐标为(2,3)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[0,3]上的最大值为4。（×）解析：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x。令f′(x)=0，解得x=0或x=2。计算f(x)在x=0、x=2、x=3处的函数值：f(0)=0，f(2)=-2，f(3)=0。因此，最大值为2，不是4。2.函数g(x)=e^x-x³在x=0处的导数为1。（√）解析：对函数g(x)求导，得到g′(x)=e^x-3x²。计算g′(0)=1。3.函数y=x³-6x²+9x+1的凹区间为(2,∞)。（×）解析：对函数y求二阶导，得到y′′=6x-12。令y′′>0，解得x>2。因此，凹区间为(2,∞)，不是(2,∞)。4.函数f(x)=x³-3x+a在x=1处取得极小值，则a=0。（×）解析：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-3。令f′(1)=0，解得a=1。5.函数y=|x³-2x|在x=0处的导数为0。（√）解析：对函数y求导，得到y′=3x²-2。计算y′(0)=-2。6.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,1]上的最大值为2。（√）解析：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x+2。令f′(x)=0，解得x=1±√(1/6)。计算f(x)在x=-1、x=1-√(1/6)、x=1+√(1/6)、x=1处的函数值：f(-1)=-5，f(1)=0，f(1±√(1/6))≈1.11。因此，最大值为2。7.函数y=ln(x²+1)-2x在x=1处的二阶导数为-2。（√）解析：对函数y求二阶导，得到y′′=(4x²-2)/(x²+1)²。计算y′′(1)=-2。8.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[0,2]上的最小值为-2。（×）解析：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x+2。令f′(x)=0，解得x=1±√(1/6)。计算f(x)在x=0、x=1-√(1/6)、x=1+√(1/6)、x=2处的函数值：f(0)=0，f(2)=0，f(1±√(1/6))≈1.11。因此，最小值为0，不是-2。9.函数g(x)=e^x-x³在区间(-1,1)内的单调递增区间为(-1,0)。（×）解析：对函数g(x)求导，得到g′(x)=e^x-3x²。令h(x)=e^x-3x²，则h′(x)=e^x-6x。在区间(-1,0)内，h′(x)<0，在区间(0,1)内，h′(x)>0。因此，g(x)在(0,1)内单调递增，不是(-1,0)。10.函数y=x³-6x²+9x+1的拐点坐标为(3,1)。（×）解析：对函数y求二阶导，得到y′′=6x-12。令y′′=0，解得x=2。计算y在x=2处的函数值：y(2)=3。因此，拐点坐标为(2,3)，不是(3,1)。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[0,3]上的最大值和最小值分别为多少？解答：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x。令f′(x)=0，解得x=0或x=2。计算f(x)在x=0、x=2、x=3处的函数值：f(0)=0，f(2)=-2，f(3)=0。因此，最大值为2，最小值为-2。2.函数g(x)=e^x-x³在x=1处的切线方程为多少？解答：对函数g(x)求导，得到g′(x)=e^x-3x²。计算g′(1)=e-3，g(1)=e-1。切线方程为y-g(1)=g′(1)(x-1)，即y=(e-3)(x-1)+e-1，化简得y=(e-2)x+1。3.函数y=x³-6x²+9x+1的凹区间为多少？解答：对函数y求二阶导，得到y′′=6x-12。令y′′>0，解得x>2。因此，凹区间为(2,∞)。4.函数f(x)=x³-3x+a在x=2处取得极大值，则a的值为多少？解答：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-3。令f′(2)=0，解得a=1-12=-1。5.函数y=|x³-2x|在x=1处的导数为多少？解答：对函数y求导，得到y′=3x²-2。计算y′(1)=1。6.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,1]上的最大值为多少？解答：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x+2。令f′(x)=0，解得x=1±√(1/6)。计算f(x)在x=-1、x=1-√(1/6)、x=1+√(1/6)、x=1处的函数值：f(-1)=-5，f(1)=0，f(1±√(1/6))≈1.11。因此，最大值为2。7.函数y=ln(x²+1)-2x在x=1处的二阶导数为多少？解答：对函数y求二阶导，得到y′′=(4x²-2)/(x²+1)²。计算y′′(1)=-2。8.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[0,2]上的最小值为多少？解答：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x+2。令f′(x)=0，解得x=1±√(1/6)。计算f(x)在x=0、x=1-√(1/6)、x=1+√(1/6)、x=2处的函数值：f(0)=0，f(2)=0，f(1±√(1/6))≈1.11。因此，最小值为0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求函数在区间[-1,3]上的最大值和最小值。解答：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x+2。令f′(x)=0，解得x=1±√(1/6)。计算f(x)在x=-1、x=1-√(1/6)、x=1+√(1/6)、x=3处的函数值：f(-1)=-5，f(1-√(1/6))≈1.11，f(1+√(1/6))≈1.11，f(3)=0。因此，最大值为2，最小值为-5。2.已知函数g(x)=e^x-x³，求函数在区间(-1,1)内的单调递增区间。解答：对函数g(x)求导，得到g′(x)=e^x-3x²。令h(x)=e^x-3x²，则h′(x)=e^x-6x。在区间(-1,0)内，h′(x)<0，在区间(0,1)内，h′(x)>0。因此，g(x)在(0,1)内单调递增。3.已知函数y=x³-6x²+9x+1，求函数的拐点坐标。解答：对函数y求二阶导，得到y′′=6x-12。令y′′=0，解得x=2。计算y在x=2处的函数值：y(2)=3。因此，拐点坐标为(2,3)。4.已知函数f(x)=x³-3x+a在x=1处取得极小值，求a的值。解答：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-3。令f′(1)=0，解得a=1。5.已知函数y=|x³-2x|，求函数在x=1处的导数。解答：对函数y求导，得到y′=3x²-2。计算y′(1)=1。6.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求函数在区间[-1,1]上的最大值。解答：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x+2。令f′(x)=0，解得x=1±√(1/6)。计算f(x)在x=-1、x=1-√(1/6)、x=1+√(1/6)、x=1处的函数值：f(-1)=-5，f(1)=0，f(1±√(1/6))≈1.11。因此，最大值为2。7.已知函数y=ln(x²+1)-2x，求函数在x=1处的二阶导数。解答：对函数y求二阶导，得到y′′=(4x²-2)/(x²+1)²。计算y′′(1)=-2。8.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求函数在区间[0,2]上的最小值。解答：对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x+2。令f′(x)=0，解得x=1±√(1/6)。计算f(x)在x=0、x=1-√(1/6)、x=1+√(1/6)、x=2处的函数值：f(0)=0，f(2)=0，f(1±√(1/6))≈1.11。因此，最小值为0。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.B5.A6.B7.B8.C9.B10.C二、填空题1.最大值2，最小值02.y=(e-2)x+13.(∞,3)4.-15.-16.27.-28.09.(0,1)10.(2,3)三、判断题1.×2.√3.×4.×5.√6.√7.√8.×9.×10.×四、简答题1.最大值2，最小值-22.y=(e-2)x+13.(2,∞)4.-15.16.27.-28.0五、应用题1.最大值2，最小值-52.(0,1)3.(2,3)4.15.16.27.-28.0【解析】一、单项选择题1.对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x。令f′(x)=0，解得x=0或x=2。计算f(x)在x=0、x=2、x=3处的函数值：f(0)=0，f(2)=-2，f(3)=0。因此，最大值为2，最小值为-2。故选A。2.对函数g(x)求导，得到g′(x)=e^x-3x²。计算g′(1)=e-3。切线方程为y-g(1)=g′(1)(x-1)，即y=(e-3)(x-1)+e-1，化简得y=(e-2)x+1。故选A。3.对函数y求二阶导，得到y′′=6x-12。令y′′>0，解得x>2。因此，凹区间为(2,∞)。故选B。4.对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-3。令f′(2)=0，解得a=1-12=-1。故选B。5.对函数y求导，得到y′=3x²-2。计算y′(1)=1。故选A。6.对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x+2。令f′(x)=0，解得x=1±√(1/6)。计算f(x)在x=-1、x=1-√(1/6)、x=1+√(1/6)、x=1处的函数值：f(-1)=-5，f(1)=0，f(1±√(1/6))≈1.11。因此，最大值为2。故选B。7.对函数y求二阶导，得到y′′=(4x²-2)/(x²+1)²。计算y′′(1)=-2。故选B。8.对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x+2。令f′(x)=0，解得x=1±√(1/6)。计算f(x)在x=0、x=1-√(1/6)、x=1+√(1/6)、x=2处的函数值：f(0)=0，f(2)=0，f(1±√(1/6))≈1.11。因此，最小值为0。故选C。9.对函数g(x)求导，得到g′(x)=e^x-3x²。令h(x)=e^x-3x²，则h′(x)=e^x-6x。在区间(-1,0)内，h′(x)<0，在区间(0,1)内，h′(x)>0。因此，g(x)在(0,1)内单调递增。故选B。10.对函数y求二阶导，得到y′′=6x-12。令y′′=0，解得x=2。计算y在x=2处的函数值：y(2)=3。因此，拐点坐标为(2,3)。故选B。二、填空题1.对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x。令f′(x)=0，解得x=0或x=2。计算f(x)在x=0、x=2、x=3处的函数值：f(0)=0，f(2)=-2，f(3)=0。因此，最大值为2，最小值为0。2.对函数g(x)求导，得到g′(x)=e^x-3x²。计算g′(1)=e-3，g(1)=e-1。切线方程为y-g(1)=g′(1)(x-1)，即y=(e-3)(x-1)+e-1，化简得y=(e-2)x+1。3.对函数y求二阶导，得到y′′=6x-12。令y′′>0，解得x>2。因此，凹区间为(2,∞)。4.对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-3。令f′(2)=0，解得a=1-12=-1。5.对函数y求导，得到y′=3x²-2。计算y′(0)=-2。6.对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x+2。令f′(x)=0，解得x=1±√(1/6)。计算f(x)在x=-1、x=1-√(1/6)、x=1+√(1/6)、x=1处的函数值：f(-1)=-5，f(1)=0，f(1±√(1/6))≈1.11。因此，最大值为2。7.对函数y求二阶导，得到y′′=(4x²-2)/(x²+1)²。计算y′′(1)=-2。8.对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x+2。令f′(x)=0，解得x=1±√(1/6)。计算f(x)在x=0、x=1-√(1/6)、x=1+√(1/6)、x=2处的函数值：f(0)=0，f(2)=0，f(1±√(1/6))≈1.11。因此，最小值为0。9.对函数g(x)求导，得到g′(x)=e^x-3x²。令h(x)=e^x-3x²，则h′(x)=e^x-6x。在区间(-1,0)内，h′(x)<0，在区间(0,1)内，h′(x)>0。因此，g(x)在(0,1)内单调递增。10.对函数y求二阶导，得到y′′=6x-12。令y′′=0，解得x=2。计算y在x=2处的函数值：y(2)=3。因此，拐点坐标为(2,3)。三、判断题1.对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x。令f′(x)=0，解得x=0或x=2。计算f(x)在x=0、x=2、x=3处的函数值：f(0)=0，f(2)=-2，f(3)=0。因此，最大值为2，最小值为-2。故错误。2.对函数g(x)求导，得到g′(x)=e^x-3x²。计算g′(0)=1。故正确。3.对函数y求二阶导，得到y′′=6x-12。令y′′>0，解得x>2。因此，凹区间为(2,∞)，不是(2,∞)。故错误。4.对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-3。令f′(1)=0，解得a=1。故错误。5.对函数y求导，得到y′=3x²-2。计算y′(0)=-2。故正确。6.对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x+2。令f′(x)=0，解得x=1±√(1/6)。计算f(x)在x=-1、x=1-√(1/6)、x=1+√(1/6)、x=1处的函数值：f(-1)=-5，f(1)=0，f(1±√(1/6))≈1.11。因此，最大值为2。故正确。7.对函数y求二阶导，得到y′′=(4x²-2)/(x²+1)²。计算y′′(1)=-2。故正确。8.对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x+2。令f′(x)=0，解得x=1±√(1/6)。计算f(x)在x=0、x=1-√(1/6)、x=1+√(1/6)、x=2处的函数值：f(0)=0，f(2)=0，f(1±√(1/6))≈1.11。因此，最小值为0，不是-2。故错误。9.对函数g(x)求导，得到g′(x)=e^x-3x²。令h(x)=e^x-3x²，则h′(x)=e^x-6x。在区间(-1,0)内，h′(x)<0，在区间(0,1)内，h′(x)>0。因此，g(x)在(0,1)内单调递增，不是(-1,0)。故错误。10.对函数y求二阶导，得到y′′=6x-12。令y′′=0，解得x=2。计算y在x=2处的函数值：y(2)=3。因此，拐点坐标为(2,3)，不是(3,1)。故错误。四、简答题1.对函数f(x)求导，得到f′(x)=3x²-6x。令f′(x)=0，解得x=0或x=2。计算f(x)在x=0、x=2、x=3处的函数值：f(0)=0，f(2)=-2，f(3)=0。因此，最大值为2，最小值为-2。2.对函数g(x)求导，得到g′(x)=e^x-3x²。计算g′(1)=e-3，g(1)=e-1。切线方程为y-g(1)=g′(1)(x-1)，即y=(e-3)(x-1)+e-1，化简得y=(e-2)x+1。3.对函数y求二阶导，得到y′′=6x-12。令y′′>0，解得x>2。因此，凹区间为(2,∞)。4.对函数f(x)求导，得到f′(x)=