2026年四川省部编版高三数学第十六章数列极限与导数综合练习题

2026年四川省部编版高三数学第十六章数列极限与导数综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的前10项和S_10等于（）A.120B.150C.180D.210解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，得3+4d=9，解得d=3/2。前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，得S_10=10/2[2×3+(10-1)×3/2]=180。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：递推展开b_2=b_1+2=3，b_3=b_2+3=6，b_4=b_3+4=10，b_5=b_4+5=15，b_6=b_5+6=21。3.当x→∞时，函数f(x)=3x^2-5x+2/x的极限为（）A.3B.5C.0D.不存在解析：f(x)=3x^2-5x+2/x=3x^2/x-5x/x+2/x^2/x=3x-5+2/x，当x→∞时，3x→∞，故极限不存在。4.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,1)上的最大值等于（）A.0B.ln2C.1D.-1解析：f′(x)=1/(x+1)-1=0，解得x=0。f(0)=ln(0+1)-0=0。当x∈(-1,0)时，f′(x)>0，f(x)递增；当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)递减。故最大值为0。5.若函数g(x)=x^3-3x+1在x=1处的切线方程为y=kx+b，则k+b的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：g′(x)=3x^2-3，g′(1)=3×1^2-3=0，切线斜率k=0。g(1)=1^3-3×1+1=-1，切线过点(1,-1)，故切线方程为y=-1，k+b=0-1=-1。6.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n，则c_4的值为（）A.8B.10C.12D.14解析：c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，c_4=2^3-1=7。7.若函数h(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a的值为（）A.1B.2C.eD.e^2解析：h′(x)=e^x-a，h′(0)=1-a=0，解得a=1。8.数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=2d_n+1（n≥1），则d_5等于（）A.31B.33C.35D.37解析：递推展开d_2=2×1+1=3，d_3=2×3+1=7，d_4=2×7+1=15，d_5=2×15+1=31。9.当x→0时，函数f(x)=sinx/x-x^2/x的极限为（）A.1B.0C.-1D.2解析：f(x)=sinx/x-x^2/x=sinx/x-1=1-1=0。10.函数F(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最小值等于（）A.-2B.-1C.0D.-8解析：F′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令F′(x)=0，得x=0或x=2。F(-2)=-8，F(0)=2，F(2)=-4，F(3)=0，最小值为-8。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则该数列的公比q=________。解：a_4=a_2q^2，54=6q^2，q=±3。2.数列{b_n}的前n项和S_n=4n^2-3n，则b_3=________。解：b_3=S_3-S_2=(4×3^2-3×3)-(4×2^2-3×2)=27-14=13。3.若lim(x→∞)(3x^2+ax+5)/x^2=2，则a=________。解：原式=lim(x→∞)(3+a/x+5/x^2)=3，a=0。4.函数f(x)=x^2-4x+3在x=2处的导数f′(2)=________。解：f′(x)=2x-4，f′(2)=2×2-4=0。5.数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}-2（n≥2），且c_1=10，则c_5=________。解：等差数列，d=-2，c_5=10+(5-1)×(-2)=0。6.函数g(x)=ln(1-x)-x在x=0处的二阶导数g''(0)=________。解：g′(x)=-1/(1-x)-1，g''(x)=1/(1-x)^2，g''(0)=1。7.若函数h(x)=x^3+px+q在x=-1处取得极值，则p+q=________。解：h′(x)=3x^2+p，h′(-1)=3×(-1)^2+p=0，p=-3。h(-1)=-1-(-3)+q=0，q=-2，p+q=-5。8.数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n，则d_n=________。解：d_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。9.函数F(x)=e^x+x^2在x=0处的三阶导数F'''(0)=________。解：F'''(x)=e^x+2，F'''(0)=1+2=3。10.函数f(x)=x/(x-1)在x=2处的切线方程为________。解：f′(x)=1/(x-1)^2，f′(2)=1，f(2)=2，切线方程y-2=1(x-2)，即y=x。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}单调递增，则其极限一定存在。（×）解：单调递增不一定有界，如a_n=lnn，当n→∞时，a_n→∞。2.函数f(x)=1/x在x→0时极限存在。（×）解：lim(x→0^+)1/x=+∞，lim(x→0^-1/x=-∞，左右极限不等，极限不存在。3.若函数g(x)在x=c处可导，则其在该点一定连续。（√）解：可导必连续，这是导数的基本性质。4.数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则{b_n}是等比数列。（√）解：b_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，是首项为1，公比为2的等比数列。5.函数f(x)=x^3在x=0处取得极值。（×）解：f′(x)=3x^2，f′(0)=0，但x=0不是极值点，因为f(x)在x=0处单调递增。6.若数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+n（n≥2），则{c_n}是等差数列。（×）解：c_n-c_{n-1}=n，不是常数，故不是等差数列。7.函数g(x)=sinx在x=π处取得极值。（√）解：g′(x)=cosx，g′(π)=-1≠0，但x=π是驻点，且g(x)在x=π处取得极小值。8.数列{d_n}的前n项和S_n=n^3，则d_n=3n^2。（×）解：d_n=S_n-S_{n-1}=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1。9.函数F(x)=e^x在任意点都可导。（√）解：e^x的导数是e^x，处处可导。10.若函数h(x)在x=c处取得极大值，则其导数h′(c)必为0。（×）解：导数可能不存在，如f(x)=|x|在x=0处取得极小值，但f′(0)不存在。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求数列{a_n}的前n项和S_n，其中a_n=2n-1。解：等差数列，a_1=1，d=2，S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]=n/2[2+2(n-1)]=n^2。2.求函数f(x)=x^2-4x+5在区间[1,3]上的最大值和最小值。解：f′(x)=2x-4，令f′(x)=0，得x=2。f(1)=2，f(2)=1，f(3)=2，最大值2，最小值1。3.求极限lim(x→∞)(x^2+1)/(2x^2-3x+1)。解：原式=lim(x→∞)(1+1/x^2)/(2-3/x+1/x^2)=1/2。4.求函数g(x)=x^3-3x^2+2的导数g′(x)。解：g′(x)=3x^2-6x。5.求数列{b_n}的通项公式，其中b_1=1，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2）。解：b_n-b_{n-1}=2n，累加b_n=1+2(2+3+...+n)=1+2n(n+1)/2=n(n+1)。6.求函数F(x)=e^x在x=0处的切线方程。解：F′(0)=1，F(0)=1，切线方程y-1=1(x-0)，即y=x+1。7.求函数h(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,1)上的单调性。解：h′(x)=1/(x+1)-1，当-1<x<0时，h′(x)>0，递增；当0<x<1时，h′(x)<0，递减。8.求数列{c_n}的前n项和S_n，其中c_n=3^n。解：等比数列，a_1=3，q=3，S_n=a_1(q^n-1)/(q-1)=3(3^n-1)/2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，固定成本为10万元，每件产品成本为50元，售价为80元。若每月生产x件产品，求利润函数P(x)。解：P(x)=80x-50x-100000=30x-100000。2.求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[-1,4]上的最大值和最小值。解：f′(x)=3x^2-12x+9，令f′(x)=0，得x=1或x=3。f(-1)=-5，f(1)=5，f(3)=1，f(4)=5，最大值5，最小值-5。3.求数列{a_n}的通项公式，其中a_1=1，a_n=a_{n-1}+n（n≥2）。解：a_n-a_{n-1}=n，累加a_n=1+2+3+...+n=n(n+1)/2。4.求极限lim(x→∞)(x^2+2x)/(x^3+3x^2+1)。解：原式=lim(x→∞)(1/x+2/x^2)/(1+3/x+1/x^3)=0。5.求函数g(x)=x^2-4x+3的导数g′(x)，并判断其在x=2处的单调性。解：g′(x)=2x-4，g′(2)=0，x=2不是极值点，但g′(x)在x=2两侧异号，故x=2是拐点。6.求数列{b_n}的前n项和S_n，其中b_n=2^n。解：等比数列，a_1=2，q=2，S_n=2(2^n-1)/1=2^{n+1}-2。7.求函数F(x)=ln(x+1)在x=0处的切线方程。解：F′(0)=1，F(0)=0，切线方程y-0=1(x-0)，即y=x。8.某物体做自由落体运动，初始速度为0，加速度为9.8m/s^2。求物体在t秒内下落的距离s。解：s=0.5at^2=4.9t^2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.A4.A5.B6.B7.A8.A9.B10.D解析：1.等差数列求和公式应用；2.递推数列展开；3.极限计算；4.函数最值；5.导数几何意义；2.数列求通项；7.导数与极值；8.递推数列展开；9.极限计算；10.函数最值。二、填空题1.±32.133.04.05.06.17.-58.2n9.310.y=x解析：1.等比数列通项公式；2.数列求通项；3.极限计算；4.导数计算；5.递推数列展开；2.导数计算；7.导数与极值；8.数列求通项；9.高阶导数；10.切线方程。三、判断题1.×2.×3.√4.√5.×6.×7.√8.×9.√10.×解析：1.单调性与极限关系；2.极限存在性；3.可导与连续关系；4.等比数列判定；5.极值判定；2.递推数列性质；7.极值判定；8.数列求通项；9.导数性质；10.极值点导数性质。四、简答题1.S_n=n^2解：a_n=2n-1，等差数列，S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]=n/2[2+2(n-1)]=n^2。2.最大值2，最小值1解：f′(x)=2x-4，令f′(x)=0，得x=2。f(1)=2，f(2)=1，f(3)=2，最大值2，最小值1。3.1/2解：原式=lim(x→∞)(1+1/x^2)/(2-3/x+1/x^2)=1/2。4.3x^2-6x解：g′(x)=3x^2-6x。5.a_n=n(n+1)/2解：b_n-b_{n-1}=2n，累加b_n=1+2+3+...+n=n(n+1)/2。6.y=x+1解：F′(0)=1，F(0)=1，切线方程y-1=1(x-0)，即y=x+1。7.递增（-1,0），递