2025-2026年部编版高三数学第三十七章数列的应用练习题

2025-2026年部编版高三数学第三十七章数列的应用练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，若将数列{a_n}的前n项和记为S_n，则S_10的值为（）A.120B.150C.180D.210解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，得3+4d=9，解得d=3/2。则S_10=10×3+(10×9)/2×3/2=150，故选B。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则b_5的值为（）A.31B.63C.127D.255解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，即{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，则b_n+1=2^n，b_5=2^5-1=31，故选A。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，则c_4的值为（）A.8B.16C.32D.64解析：由S_n=2^n-1，得c_1=S_1=1。当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}，验证n=1时成立，则c_4=2^3=8，故选A。4.在等比数列{a_n}中，已知a_2=6，a_4=54，则该数列的前6项和S_6的值为（）A.90B.180C.360D.720解析：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_2=6，a_4=54，得a_1q=6，a_1q^3=54，解得q=3，a_1=2。则S_6=2(1-3^6)/(1-3)=365，故选C。5.已知数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n，则d_3的值为（）A.7B.9C.11D.13解析：由S_n=n^2+n，得d_1=S_1=2。当n≥2时，d_n=S_n-S_{n-1}=2n，验证n=1时成立，则d_3=2×3=6，故选B。6.若数列{e_n}满足e_1=2，e_n+1=√(e_n+3)（n∈N），则e_4的值约为（）A.2.1B.2.3C.2.5D.2.7解析：由递推关系e_n+1=√(e_n+3)，计算e_2=√5≈2.236，e_3=√6.236≈2.492，e_4=√7.492≈2.724，故选D。7.在等差数列{f_n}中，若f_1+f_3+f_5=27，f_2+f_4+f_6=33，则该数列的公差d为（）A.1B.2C.3D.4解析：由等差数列性质f_1+f_5=2f_3，f_2+f_6=2f_4，则27=3f_3，33=3f_4，解得f_3=9，f_4=11，d=f_4-f_3=2，故选B。8.已知数列{g_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{√(g_n)}的前3项和为（）A.8√3B.10√3C.12√3D.14√3解析：由S_n=3^n-1，得g_n=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}，则√g_n=√(2×3^{n-1})=√2×3^{(n-1)/2}，前3项和为√2(3^0+3^{1/2}+3^{1})=8√3，故选A。9.若数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=2h_n+1（n∈N），则h_10的值约为（）A.1023B.2047C.4095D.8191解析：由递推关系h_n+1=2h_n+1，变形为h_n=2^n-1，则h_10=2^{10}-1=1023，故选A。10.在等比数列{a_n}中，若a_3=12，a_6=96，则该数列的前5项和S_5的值为（）A.60B.90C.120D.150解析：由等比数列性质a_6=a_3q^3，得q=2，a_1=a_3/q^2=3，则S_5=3(1-2^5)/(1-2)=93，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_4=14，则该数列的通项公式为________。解：由a_4=a_1+3d，得14=5+3d，解得d=3，则a_n=5+3(n-1)=3n+2。2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=3b_n（n∈N），则b_6的值为________。解：由递推关系b_n+1=3b_n，得{b_n}是首项为2，公比为3的等比数列，则b_6=2×3^5=486。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，则c_5的值为________。解：由S_n=n^2+n，得c_1=S_1=2。当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=2n，验证n=1时成立，则c_5=2×5=10。4.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则该数列的公比q为________。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_2=6，a_4=54，得a_1q=6，a_1q^3=54，解得q=3。5.已知数列{d_n}的前n项和S_n=2^n-1，则d_4的值为________。解：由S_n=2^n-1，得d_1=S_1=1。当n≥2时，d_n=S_n-S_{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，则d_4=2^3=8。6.若数列{e_n}满足e_1=3，e_n+1=e_n+2（n∈N），则e_7的值为________。解：由递推关系e_n+1=e_n+2，得{e_n}是公差为2的等差数列，则e_n=3+2(n-1)=2n+1，e_7=2×7+1=15。7.在等差数列{f_n}中，若f_1+f_3+f_5=21，f_2+f_4+f_6=27，则该数列的公差d为________。解：由等差数列性质f_1+f_5=2f_3，f_2+f_6=2f_4，则21=3f_3，27=3f_4，解得f_3=7，f_4=9，d=f_4-f_3=2。8.已知数列{g_n}的前n项和S_n=4^n-1，则数列{√(g_n)}的前2项和为________。解：由S_n=4^n-1，得g_n=4^n-4^{n-1}=3×4^{n-1}，则√g_n=√(3×4^{n-1})=2√3×2^{(n-1)/2}，前2项和为2√3(1+2)=6√3+4√3=10√3。9.若数列{h_n}满足h_1=2，h_n+1=2h_n+1（n∈N），则h_8的值约为________。解：由递推关系h_n+1=2h_n+1，变形为h_n=2^n-1，则h_8=2^8-1=255。10.在等比数列{a_n}中，若a_3=8，a_5=32，则该数列的前4项和S_4的值为________。解：由等比数列性质a_5=a_3q^2，得q=2，a_1=a_3/q^2=2，则S_4=2(1-2^4)/(1-2)=30。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则该数列是等差数列。（）解：由S_n=2n^2+n，得d_n=S_n-S_{n-1}=4n-1，则{a_n}是等差数列，正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则b_5=32。（）解：由b_3=b_1q^2，得q=2，b_5=b_1q^4=16，错误。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^3，则c_n=3n^2。（）解：当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=3n^2，但c_1=S_1=1≠3，错误。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=5，d=3，则S_10=190。（）解：S_10=10×5+(10×9)/2×3=190，正确。5.已知数列{e_n}满足e_n+1=2e_n+1，则{e_n+1}是等比数列。（）解：由e_n+1=2e_n+1，变形为e_n+2=2(e_n+1)+1，则{e_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，正确。6.若数列{f_n}的前n项和S_n=2^n-1，则f_n=2^{n-1}。（）解：当n≥2时，f_n=S_n-S_{n-1}=2^{n-1}，但f_1=S_1=1≠1，错误。7.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则a_3=24。（）解：由等比数列性质a_3^2=a_2a_4，得a_3=±√(6×54)=±36，但a_3=24，正确。8.已知数列{g_n}的前n项和S_n=3n^2+n，则c_n=6n-2。（）解：当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=6n-2，但c_1=S_1=4≠4，错误。9.若数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=2h_n+1，则h_n=2^n-1。（）解：由递推关系h_n+1=2h_n+1，变形为h_n=2^n-1，正确。10.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，q=3，则S_5=62。（）解：S_5=2(1-3^5)/(1-3)=62，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，求该数列的通项公式。解：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=4n+1，验证n=1时成立，则a_n=4n+1。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=3b_n（n∈N），求b_5的值。解：由递推关系b_n+1=3b_n，得{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列，则b_5=1×3^4=81。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，求c_3的值。解：由S_n=n^2+n，得c_1=S_1=2。当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=2n，验证n=1时成立，则c_3=2×3=6。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=4，d=-2，求S_10的值。解：S_10=10×4+(10×9)/2×(-2)=-40。5.已知数列{e_n}满足e_1=2，e_n+1=e_n+3（n∈N），求e_6的值。解：由递推关系e_n+1=e_n+3，得{e_n}是公差为3的等差数列，则e_n=2+3(n-1)=3n-1，e_6=3×6-1=17。6.在等比数列{f_n}中，若a_2=6，a_4=24，求该数列的公比q。解：由等比数列性质a_4=a_2q^2，得q=2。7.已知数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-1，求g_4的值。解：由S_n=2^n-1，得g_1=S_1=1。当n≥2时，g_n=S_n-S_{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，则g_4=2^3=8。8.若数列{h_n}满足h_1=3，h_n+1=2h_n（n∈N），求h_5的值。解：由递推关系h_n+1=2h_n，得{h_n}是首项为3，公比为2的等比数列，则h_5=3×2^4=48。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产5台，求第10年生产设备数量。解：由等差数列{a_n}，a_1=10，d=5，则a_{10}=10+9×5=65台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年人口数量。解：由等比数列{b_n}，b_1=100，q=1.1，则b_5=100×1.1^5≈161.05万。3.某企业投资回报率为每年20%，已知第一年投资100万元，求第5年投资总额。解：由等比数列{c_n}，c_1=100，q=1.2，则c_5=100×1.2^4≈207.36万元。4.某学校图书馆藏书量每年增加200本，已知2020年藏书量为5000本，求2025年藏书量。解：由等差数列{d_n}，d_1=5000，d=200，则d_5=5000+4×200=5800本。5.某产品成本每年下降5%，已知2020年成本为100元，求2024年成本。解：由等比数列{e_n}，e_1=100，q=0.95，则e_4=100×0.95^4≈81.46元。6.某城市绿化面积每年增加10%，已知2020年绿化面积为100公顷，求2023年绿化面积。解：由等比数列{f_n}，f_1=100，q=1.1，则f_3=100×1.1^3≈133.1公顷。7.某工厂产品年产量每年增加15%，已知2020年产量为1000件，求2026年产量。解：由等比数列{g_n}，g_1=1000，q=1.15，则g_6=1000×1.15^6≈2488.32件。8.某企业员工工资每年上涨8%，已知2020年工资为5000元，求2024年工资。解：由等比数列{h_n}，h_1=5000，q=1.08，则h_4=5000×1.08^4≈7346.55元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.A4.C5.B6.D7.B8.A9.A10.B解析：1.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，S_n=na_1+n(n-1)/2d，S_10=10×3+10×9/2×3/2=150。2.递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，{b_n+1}是首项为3，公比为2的等比数列，b_5=2^5-1=31。3.S_n=n^2+n，当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=2n，验证n=1时成立，c_4=2×4=8。4.a_2=a_1q，a_4=a_1q^3，q=(a_4/a_2)^(1/2)=3，S_6=2(1-3^6)/(1-3)=365。5.递推关系h_n+1=2h_n+1，变形为h_n=2^n-1，h_10=2^{10}-1=1023。6.等比数列a_n=a_1q^{n-1}，a_3=a_1q^2，a_6=a_1q^5，q=(a_6/a_3)^(1/3)=2，S_5=30。二、填空题1.3n+22.4863.104.35.86.157.28.10√39.25510.30解析：1.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，a_4=a_1+3d，14=5+3d，d=3，a_n=5+3(n-1)=3n+2。2.递推关系b_n+1=3b_n，{b_n}是首项为2，公比为3的等比数列，b