2026年湖南省苏教版高一数学第九十四章复数综合练习题

2026年湖南省苏教版高一数学第九十四章复数综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在复数集合C中，下列运算正确的是（）A.(2+3i)•(1-i)=5-5iB.(1+i)²=2iC.|2i|=2iD.√(i²)=1解析：选项A正确，(2+3i)•(1-i)=2-2i+3i-3i²=5+i；选项B错误，(1+i)²=1+2i+i²=2i；选项C错误，|2i|=√(2²+0²)=2；选项D错误，√(i²)=√(-1)=i。故选A。2.若复数z满足z+2i和z-2i都是实数，则z的实部是（）A.0B.2C.-2D.任意实数解析：设z=a+bi，则z+2i=a+(b+2)i，z-2i=a+(b-2)i。由题意知b+2=0且b-2=0，解得b=-2，a为任意实数。故实部为任意实数。3.复数z=(1+i)÷i的模长是（）A.1B.√2C.2D.√5解析：z=(1+i)÷i=(1+i)i/i²=(i+i²)/(-1)=-1-1i=-1-i，|z|=√((-1)²+(-1)²)=√2。4.若复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=|a|，则z在复平面内对应的点位于（）A.x轴正半轴B.x轴负半轴C.y轴正半轴D.y轴负半轴解析：|z|=√(a²+b²)=|a|⇒√(a²+b²)=|a|⇒a²+b²=a²⇒b²=0⇒b=0，故z为实数且位于x轴。5.方程x²+2x+3=0在复数范围内的解是（）A.1+i√2B.-1+i√2C.-1-i√2D.1-i√2解析：x=-1±√(1-3)/2=-1±i√2。6.若复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，则z₁•z₂的虚部是（）A.7B.-7C.8D.-8解析：z₁•z₂=(2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i²=8-i，虚部为-1。7.在复平面内，点A(1,2)对应的复数是1+2i，则点B(-1,-2)对应的复数是（）A.-1-2iB.1-2iC.-1+2iD.1+2i解析：复数与对应点坐标一一对应，故B点对应-1-2i。8.若复数z满足|z-1|=1且argz=π/3，则z等于（）A.1/2+√3/2iB.1/2-√3/2iC.1+√3iD.1-√3i解析：设z=a+bi，则|a+bi-1|=1且arg(a+bi)=π/3⇒a²+b²-2a=1且b/a=tan(π/3)=√3⇒a=1/2，b=√3/2⇒z=1/2+√3/2i。9.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁/z₂的值是（）A.iB.-iC.1D.-1解析：z₁/z₂=(1+i)/(1-i)=((1+i)•(1+i))/((1-i)•(1+i))=(1+2i+i²)/(1-i²)=i/(1+1)=i/2。10.已知复数z满足z²=4i，则z的模长是（）A.2B.√2C.4D.1解析：设z=a+bi，则(a+bi)²=4i⇒a²-2abi-b²=4i⇒a²-b²=0且-2ab=4⇒a=b=±1⇒z=±1+i⇒|z|=√(1²+1²)=√2。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z=3-4i，则z的共轭复数是________。参考答案：3+4i解析：共轭复数将虚部符号取反，故为3+4i。2.复数5i的模长是________。参考答案：5解析：|5i|=√(0²+5²)=5。3.若复数z满足|z|=2且argz=π/2，则z的代数形式是________。参考答案：2i解析：模长为2，辐角为π/2的复数为2i。4.方程x²=-4的解是________。参考答案：±2i解析：x=±√(-4)=±2i。5.若复数z₁=2+i，z₂=1-3i，则z₁+z₂的实部是________。参考答案：3解析：z₁+z₂=(2+i)+(1-3i)=3-2i，实部为3。6.若复数z=a+bi（a,b∈R）满足z²=4，则a²+b²=________。参考答案：4解析：z²=(a+bi)²=a²-2abi-b²=4⇒a²-b²=4且-2ab=0⇒a=±2，b=0⇒a²+b²=4。7.复数-3i的三角形式是________。参考答案：3(cosπ+isinπ)解析：模长为3，辐角为π，三角形式为3(cosπ+isinπ)。8.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁•z₂的模长是________。参考答案：2解析：z₁•z₂=(1+i)(1-i)=1-i²=2，模长为2。9.若复数z满足|z|=1且argz=π/4，则z²的辐角是________。参考答案：π/2解析：z²的模长为1，辐角为2×π/4=π/2。10.已知复数z₁=2+i，z₂=3-2i，则|z₁-z₂|的值是________。参考答案：√13解析：z₁-z₂=(2+i)-(3-2i)=-1+3i，|z₁-z₂|=√((-1)²+3²)=√10。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若z₁+z₂是实数，则z₁和z₂都是实数。（×）解析：反例，z₁=1+i，z₂=-1+i，z₁+z₂=2为实数，但z₂不是实数。2.若z₁•z₂是实数，则z₁和z₂都是实数。（×）解析：反例，z₁=i，z₂=-i，z₁•z₂=-1为实数，但z₁和z₂不是实数。3.复数z=a+bi（a,b∈R）的模长|z|一定大于a。（×）解析：当b=0时，|z|=a，不成立。4.若复数z₁和z₂满足|z₁|=|z₂|，则z₁=z₂。（×）解析：反例，z₁=1+i，z₂=-1-i，|z₁|=|z₂|=√2，但z₁≠z₂。5.复数z的共轭复数的模长等于z的模长。（√）解析：|z̄|=|z|恒成立。6.若复数z满足z²=1，则z=±1。（×）解析：z=±i也满足z²=1。7.复数的三角形式一定可以写成r(cosθ+isinθ)的形式。（√）解析：三角形式的标准定义。8.若复数z₁和z₂满足z₁+z₂是纯虚数，则z₁和z₂的实部之和为0。（√）解析：设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，z₁+z₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i为纯虚数⇒a₁+a₂=0。9.复数z的辐角主值一定在[0,2π)范围内。（×）解析：辐角主值范围是[0,π)。10.若复数z₁和z₂满足z₁•z₂=0，则z₁=0或z₂=0。（√）解析：复数乘法性质。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.什么是复数的模长？如何计算？参考答案：复数z=a+bi的模长|z|是它对应复平面内点到原点的距离，计算公式为|z|=√(a²+b²)。2.什么是复数的辐角？辐角主值范围是什么？参考答案：复数z=a+bi的辐角是它与正实轴的夹角，辐角主值范围是[0,π)。3.什么是共轭复数？共轭复数有什么性质？参考答案：复数z=a+bi的共轭复数是z̄=a-bi。性质：z+z̄=2a，z-z̄=2bi，|z|=|z̄|，argz̄=π-argz（若argz∈(0,π)）。4.什么是纯虚数？纯虚数有什么特点？参考答案：实部为0且虚部不为0的复数称为纯虚数。特点：模长等于虚部的绝对值，辐角主值是π/2或3π/2。5.复数加减法的几何意义是什么？参考答案：复数加减法的几何意义是向量的加减。z₁+z₂对应以z₁和z₂为邻边的平行四边形的对角线向量；z₁-z₂对应从z₂指向z₁的向量。6.复数乘法的几何意义是什么？参考答案：复数乘法的几何意义是模长相乘、辐角相加。若z₁=r₁(cosθ₁+isinθ₁)，z₂=r₂(cosθ₂+isinθ₂)，则z₁•z₂=r₁r₂(cos(θ₁+θ₂)+isin(θ₁+θ₂))。7.什么是复数的三角形式？如何从代数形式转换为三角形式？参考答案：复数的三角形式是r(cosθ+isinθ)。转换方法：模长r=|z|=√(a²+b²)，辐角θ=argz=arctan(b/a)，注意θ的象限。8.什么是复数的几何意义？参考答案：复数在复平面内对应点，模长对应点到原点的距离，辐角对应向量与正实轴的夹角。复数运算对应向量运算。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知复数z₁=3+2i，z₂=1-4i，求z₁/z₂的值。解答：z₁/z₂=(3+2i)/(1-4i)=((3+2i)•(1+4i))/((1-4i)•(1+4i))=(3+12i+2i+8i²)/(1-16i²)=(3+14i-8)/(1+16)=(-5+14i)/17=-5/17+14/17i。2.已知复数z满足|z-2|+|z+2|=6，求z的模长。解答：设z=a+bi，则|a+bi-2|+|a+bi+2|=6⇒|a-2+bi|+|a+2+bi|=6⇒√((a-2)²+b²)+√((a+2)²+b²)=6。这是椭圆的标准形式，长轴为6，焦距为4，短轴为√(6²-4²)=√20=2√5，故z的模长为2√5。3.已知复数z₁=1+i，z₂=2-i，求z₁+z₂和z₁•z₂的模长。解答：z₁+z₂=(1+i)+(2-i)=3⇒|z₁+z₂|=3；z₁•z₂=(1+i)(2-i)=3⇒|z₁•z₂|=3。4.已知复数z满足z²+2z+5=0，求z的模长。解答：z=-1±√(1-5)/2=-1±2i⇒|z|=√((-1)²+(-2)²)=√5。5.已知复数z₁=2+3i，z₂=4-3i，求z₁/z₂的模长。解答：z₁/z₂=(2+3i)/(4-3i)=((2+3i)•(4+3i))/((4-3i)•(4+3i))=(8+6i+12i+9i²)/(16-9)=(-1+18i)/7=-1/7+18/7i⇒|z₁/z₂|=√((-1/7)²+(18/7)²)=√(1/49+324/49)=√(325/49)=5√13/7。6.已知复数z满足|z|=5且argz=π/3，求z²的模长和辐角。解答：z=5(cosπ/3+isinπ/3)=5(1/2+√3/2i)=5/2+5√3/2i⇒z²=25(1/4+√3/2i+3/4i²)=25(-1/4+√3/2i)=-25/4+25√3/2i。模长为√((-25/4)²+(25√3/2)²)=√(625/16+1875/4)=√(625/16+7500/16)=√(8125/16)=25√13/4；辐角为π+π/3=4π/3。7.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求z₁•z₂的模长和辐角。解答：z₁•z₂=(1+i)(1-i)=2⇒模长为2；辐角为0。8.已知复数z满足|z-1|=2且argz=π/4，求z的代数形式。解答：设z=a+bi，则|a+bi-1|=2且arg(a+bi)=π/4⇒a²+b²-2a=4且b/a=tan(π/4)=1⇒a=b⇒a²+a²-2a=4⇒2a²-2a-4=0⇒a²-a-2=0⇒(a-2)(a+1)=0⇒a=2（舍去a=-1，因为|z-1|=2⇒a>1）⇒z=2+2i。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.B4.A5.B6.A7.A8.A9.A10.B二、填空题1.3+4i2.53.2i4.±2i5.36.47.3(cosπ+isinπ)8.29.π/210.√10三、判断题1.×2.×3.×4.×5.√6.×7.√8.√9.×10.√四、简答题1.复数z=a+bi的模长|z|是它对应复平面内点到原点的距离，计算公式为|z|=√(a²+b²)。2.复数z=a+bi的辐角是它与正实轴的夹角，辐角主值范围是[0,π)。3.复数z=a+bi的共轭复数是z̄=a-bi。性质：z+z̄=2a，z-z̄=2bi，|z|=|z̄|，argz̄=π-argz（若argz∈(0,π)）。4.实部为0且虚部不为0的复数称为纯虚数。特点：模长等于虚部的绝对值，辐角主值是π/2或3π/2。5.复数加减法的几何意义是向量的加减。z₁+z₂对应以z₁和z₂为邻边的平行四边形的对角线向量；z₁-z₂对应从z₂指向z₁的向量。6.复数乘法的几何意义是模长相乘、辐角相加。若z₁=r₁(cosθ₁+isinθ₁)，z₂=r₂(cosθ₂+isinθ₂)，则z₁•z₂=r₁r₂(cos(θ₁+θ