2026年人教版高一数学必修第一册第11单元数列应用测试卷

2026年人教版高一数学必修第一册第11单元数列应用测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值等于（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+1（n∈N），则该数列的前6项之和S_6等于（）A.63B.127C.255D.511解析：由递推关系c_{n+1}=2c_n+1可得c_{n+1}+1=2(c_n+1)，即数列{c_n+1}是首项为2的等比数列，通项为2^n，故c_n=2^n-1。前6项和S_6=2^1+2^2+...+2^6-6=2^7-6=128-6=122。选项无正确答案，需修正题目。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2√3C.-3D.±3√2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=6=d_1q，d_4=54=d_1q^3，联立可得q^2=9，故q=±3。选项C正确。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则e_3的值等于（）A.9B.12C.15D.18解析：由数列通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=S_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故e_3=2×3=6。选项无正确答案，需修正题目。6.若数列{f_n}的前n项和T_n=3^n-1，则该数列的第4项f_4等于（）A.24B.48C.72D.96解析：由数列通项关系f_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时f_1=T_1=2，当n≥2时f_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故f_4=2×3^3=54。选项无正确答案，需修正题目。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则该数列的前10项和S_10等于（）A.90B.180C.270D.360解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，得a_5=9，前10项和S_10=5(a_1+a_{10})=5×2a_5=90。选项A正确。8.已知数列{h_n}满足h_1=2，h_{n+1}=h_n+2√h_n（n∈N），则该数列的通项公式h_n等于（）A.n^2B.n^2+1C.(n+1)^2D.2n解析：令t_n=√h_n，则t_{n+1}=t_n+2，故t_n=t_1+2(n-1)=4+2(n-1)=2n+2，h_n=(2n+2)^2=4n^2+8n+4。选项无正确答案，需修正题目。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_3=8，则该数列的前5项和S_5等于（）A.31B.63C.127D.255解析：由等比数列性质i_3=i_1q^2=8，得q=2，前5项和S_5=1×(1-2^5)/(1-2)=31。选项A正确。10.已知数列{j_n}的前n项和U_n=2n^2-3n，则该数列的第3项j_3等于（）A.6B.9C.12D.15解析：由数列通项关系j_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时j_1=U_1=-1，当n≥2时j_n=4n-5，故j_3=4×3-5=7。选项无正确答案，需修正题目。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立可得5d=15，故d=3。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列的第4项b_4等于______。解：由数列通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=2n，故b_4=2×4=8。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，联立可得q^2=9，故q=±3。4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=2d_n+1（n∈N），则该数列的前5项之和S_5等于______。解：由递推关系d_{n+1}=2d_n+1可得d_{n+1}+1=2(d_n+1)，即数列{d_n+1}是首项为2的等比数列，通项为2^n，故d_n=2^n-1。前5项和S_5=2^1+2^2+...+2^5-5=32-5=27。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=3n^2-n，则该数列的第3项e_3等于______。解：由数列通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=6n-6，故e_3=6×3-6=12。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=2，a_6=17，则该数列的通项公式a_n等于______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_6=a_1+5d=17，得5d=15，故d=3，a_n=2+(n-1)×3=3n-1。7.已知数列{g_n}满足g_1=3，g_{n+1}=g_n+2（n∈N），则该数列的前4项之和S_4等于______。解：由递推关系g_{n+1}=g_n+2可得数列{g_n}是首项为3的等差数列，公差为2，前4项和S_4=4×3+(4×3-1)×2/2=28。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=2，h_3=8，则该数列的前6项和S_6等于______。解：由等比数列性质h_3=h_1q^2=8，得q=2，前6项和S_6=2×(1-2^6)/(1-2)=126。9.若数列{i_n}的前n项和U_n=n^2+n+1，则该数列的第2项i_2等于______。解：由数列通项关系i_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时i_1=U_1=3，当n≥2时i_n=2n，故i_2=2×2=4。10.已知数列{j_n}的前n项和V_n=2^n-1，则该数列的第4项j_4等于______。解：由数列通项关系j_n=V_n-V_{n-1}（n≥2），当n=1时j_1=V_1=1，当n≥2时j_n=2^{n-1}，故j_4=2^3=8。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（）解：由数列通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=5，当n≥2时a_n=4n+1，故数列{a_n}不是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则该数列的公比q等于4。（）解：由等比数列性质b_4=b_1q^3=16，得q=2，故该命题错误。3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+c_{n-1}（n≥2），则该数列是等差数列。（）解：由递推关系c_{n+1}=c_n+c_{n-1}可得c_{n+2}=c_{n+1}+c_n，故c_{n+2}-c_{n+1}=c_n，即c_{n+2}-c_n=c_{n+1}，故数列{c_n}是等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_5=12，则该数列的前6项和S_6等于24。（）解：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3=12，得a_3=6，前6项和S_6=3(a_1+a_6)=6a_3=36，故该命题错误。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=3^n-1，则该数列是等比数列。（）解：由数列通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=2×3^{n-1}，故数列{e_n}是等比数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的公比q等于3。（）解：由等比数列性质f_4=f_2q^2=54，得q=3，故该命题正确。7.若数列{g_n}的前n项和U_n=n^2+n，则该数列的第3项g_3等于9。（）解：由数列通项关系g_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时g_1=U_1=2，当n≥2时g_n=2n，故g_3=2×3=6，故该命题错误。8.在等差数列{h_n}中，若h_1=2，h_4=10，则该数列的公差d等于3。（）解：由等差数列通项公式h_n=h_1+(n-1)d，代入h_4=h_1+3d=10，得3d=8，故d=8/3，故该命题错误。9.已知数列{i_n}的前n项和V_n=2n^2-3n，则该数列的第4项i_4等于12。（）解：由数列通项关系i_n=V_n-V_{n-1}（n≥2），当n=1时i_1=V_1=-1，当n≥2时i_n=4n-7，故i_4=4×4-7=9，故该命题错误。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则该数列的前5项和S_5等于31。（）解：由等比数列性质j_3=j_1q^2=8，得q=2，前5项和S_5=1×(1-2^5)/(1-2)=31，故该命题正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时a_1=S_1=1，当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=6n-5，故a_n=6n-5（n≥2），综合可得a_n=6n-5。2.在等差数列{b_n}中，若a_1=5，a_4=13，求该数列的通项公式及前10项和S_10。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_4=a_1+3d=13，得3d=8，故d=8/3，a_n=5+(n-1)×8/3=8/3n+7/3。前10项和S_10=5(a_1+a_{10})=5×(5+8/3×10+7/3)=210。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=12，c_4=48，求该数列的通项公式及前6项和S_6。解：由等比数列性质c_4=c_2q^2=48，得q=2，c_n=c_1q^{n-1}=6×2^{n-1}。前6项和S_6=6×(1-2^6)/(1-2)=648。4.若数列{d_n}满足d_1=2，d_{n+1}=3d_n-2（n∈N），求该数列的通项公式。解：由递推关系d_{n+1}-1=3(d_n-1)，即数列{d_n-1}是首项为1的等比数列，通项为3^{n-1}，故d_n=3^{n-1}+1。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n+1，求该数列的第3项e_3。解：由数列通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=3，当n≥2时e_n=2n+1，故e_3=2×3+1=7。6.在等差数列{f_n}中，若a_3+a_7=20，求该数列的通项公式。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=20，得a_5=10，a_n=a_5+(n-5)d=10+(n-5)d。7.已知数列{g_n}的前n项和U_n=2^n-1，求该数列的第4项g_4。解：由数列通项关系g_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时g_1=U_1=1，当n≥2时g_n=2^{n-1}，故g_4=2^3=8。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=3，h_3=24，求该数列的前5项和S_5。解：由等比数列性质h_3=h_1q^2=24，得q=2√6，前5项和S_5=3×(1-(2√6)^5)/(1-2√6)=1296。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加10%的产量，若第一年产量为100万吨，求该工厂第5年的产量。解：由等比数列模型a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.1，n=5，得a_5=100×1.1^4≈146.41万吨。2.某城市人口每年增长2%，若当前人口为100万，求5年后该城市的人口数量。解：由等比数列模型P_n=P_1q^{n-1}，代入P_1=100，q=1.02，n=6，得P_6=100×1.02^5≈110.41万。3.某投资账户每年收益率为5%，若初始投资为10万元，求3年后的账户余额。解：由等比数列模型A_n=A_1q^{n-1}，代入A_1=10，q=1.05，n=4，得A_4=10×1.05^3≈15.76万元。4.某产品成本每年下降3%，若当前成本为100元，求2年后的产品成本。解：由等比数列模型C_n=C_1q^{n-1}，代入C_1=100，q=0.97，n=3，得C_3=100×0.97^2≈94.09元。5.某湖泊污染每年减少10%，若当前污染量为100吨，求3年后该湖泊的污染量。解：由等比数列模型P_n=P_1q^{n-1}，代入P_1=100，q=0.9，n=4，得P_4=100×0.9^3≈72.9吨。6.某公司员工工资每年上涨8%，若当前工资为5000元，求4年后的工资水平。解：由等比数列模型W_n=W_1q^{n-1}，代入W_1=5000，q=1.08，n=5，得W_5=5000×1.08^4≈7346.55元。7.某城市道路每年新建5公里，若当前道路总长为100公里，求5年后的道路总长。解：由等差数列模型L_n=L_1+(n-1)d，代入L_1=100，d=5，n=6，得L_6=100+5×5=125公里。8.某学校图书馆藏书每年增加200本，若当前藏书量为2000本，求3年后的藏书量。解：由等差数列模型B_n=B_1+(n-1)d，代入B_1=2000，d=200，n=4，得B_4=2000+200×3=2600本。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.B4.A5.B6.C7.A8.B9.A10.C二、填空题1.32.83.±34.275.126.3n-17.288.1269.410.8三、判断题1.×2.×3.√4.×5.√6.√7.×8.×9.×10.√四、简答题1.a_n=6n-5解：当n=1时a_1=S_1=1，当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=6n-5，故a_n=6n-5。2.a_n=8/3n+7/3，S_10=210解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_4=a_1+3d=13，得3d=8，故d=8/3，a_n=5+(n-1)×8/3=8/3n+7/3。前10项和S_10=5(a_1+a_{10})=5×(5+8/3×10+7/3)=210。3.c_n=6×2^{n-1}，S_6=648解：由等比数列性质c_4=c_2q^2=48，得q=2，c_n=c_1q^{n-1}=6×2^{n-1}。前6项和S_6=6×(1-2^6)/(1-2)=648。4.d_n=3^{n-1}+1解：由递推关系d_{n+1}-1=3(d_n-1)，即数列{d_n-1}是首项为1的等比数列，通项为3^{n-1}，故d_n=3^{n-1}+1。5.e_3=7解：由数列通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=3，当n≥2时e_n=2n+1，故e_3=2×3+1=7。6.a_n=10+(n-5)d解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=20，得a_5=10，a_n=a_5+(n-5)d=10+(n-5)d。7.g_4=8解：由数列通项关系g_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时g_1=U_1=1，当