2025年四川省部编版高中二年级数学下册第6单元综合测试卷

2025年四川省部编版高中二年级数学下册第6单元综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=0，则a的取值范围是（）A．(-1，0)∪(1，+∞)B．(-1，0)C．(0，1)D．(1，+∞)解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)。当x∈(-1，1)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减。又g(0)=0，g(1)=ln2-1＜0，g(2)=ln3-2＞0，故方程ln(a+1)=a在(-1，0)和(1，+∞)上各有一个解，即a∈(-1，0)∪(1，+∞)。2.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值是（）A．-8B．-4C．4D．8解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。故M=18，m=-4，M+m=14。3.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2aₙ-3n+5，则数列{aₙ}的通项公式是（）A．aₙ=2n+1B．aₙ=2n-1C．aₙ=2•3ⁿ⁻¹D．aₙ=3•2ⁿ⁻¹解析：当n=1时，a₁=S₁=2a₁-3+5，得a₁=4。当n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=[2aₙ-3n+5]-[2aₙ₋₁-3(n-1)+5]=2aₙ-2aₙ₋₁-3，即aₙ=2aₙ₋₁+3。故aₙ-5=2(aₙ₋₁-5)，数列{aₙ-5}是首项为-1，公比为2的等比数列，即aₙ-5=-2•2ⁿ⁻¹，得aₙ=2•2ⁿ⁻¹+5=2•3ⁿ⁻¹。4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则直线l：3x-4y+5=0与圆C的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．直线过圆心解析：圆心(1，-2)，半径r=2。圆心到直线l的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+(-4)²)=|3+8+5|/5=16/5=3.2＞2，故直线l与圆C相离。5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，则φ的值为（）A．π/4B．3π/4C．5π/4D．7π/4解析：sin(2x+φ)的最小值为-1，当且仅当2x+φ=2kπ-π/2，k∈Z。令x=π/4得2×(π/4)+φ=2kπ-π/2，即φ=2kπ-3π/4，取k=0得φ=-3π/4，即φ=5π/4。6.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值是（）A．1B．2C．eD．e²解析：f'(x)=e^x-a，令f'(1)=e-a=0得a=e。7.已知函数f(x)=√(x²+1)，则f(x)在区间[-1，1]上的最小值是（）A．0B．1C．√2D．2解析：f'(x)=x/√(x²+1)，令f'(x)=0得x=0。f(-1)=√2，f(0)=1，f(1)=√2，故最小值为1。8.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=3n²-2n，则a₅的值是（）A．24B．30C．36D．42解析：aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=3n²-2n-[3(n-1)²-2(n-1)]=6n-5，a₅=6×5-5=25。9.已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(x)在区间[1，3]上的最小值是（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1。f(1)=2，f(3)=6，故最小值为2。10.已知圆C₁：x²+y²=1与圆C₂：(x-2)²+y²=4相切，则两圆的切点坐标是（）A．(1，0)B．(-1，0)C．(0，1)D．(0，-1)解析：圆C₁与圆C₂的圆心距为√(2²+0²)=2，半径分别为1和2，故两圆外切。圆C₁的圆心为(0，0)，圆C₂的圆心为(2，0)，切点在x轴上，且到两圆心的距离之差为半径之差，即|PC₁|-|PC₂|=1，解得x=1，y=0，故切点为(1，0)。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=2cos²x+acosx-1在x=π/3处取得最小值-3，则a的值是________。参考答案：-2解析：f(x)=1+cos2x+acosx-1=cos2x+acosx，f(π/3)=1/2+√3/2a=-3，解得a=-2。2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=2n²-3n，则a₃+a₄+a₅+a₆的值是________。参考答案：36解析：aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=4n-5，a₃+a₄+a₅+a₆=4×(3+4+5+6)-20=36。3.已知函数f(x)=ln(x+1)-bx在x=1处取得极值，则b的值是________。参考答案：1/2解析：f'(x)=1/(x+1)-b，令f'(1)=1/2-b=0得b=1/2。4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=9，则直线l：x-y+3=0与圆C的位置关系是________。参考答案：相交解析：圆心(1，-2)，半径r=3。圆心到直线l的距离d=|1-(-2)+3|/√(1²+(-1)²)=6/√2=3√2＞3，故直线l与圆C相交。5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最大值，则φ的值为________。参考答案：π/4解析：sin(2x+φ)的最大值为1，当且仅当2x+φ=2kπ+π/2，k∈Z。令x=π/4得φ=π/2，即φ=π/4。6.已知函数f(x)=e^x-ax在x=2处取得极小值，则a的值是________。参考答案：e²解析：f'(x)=e^x-a，令f'(2)=e²-a=0得a=e²。7.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则f(x)在区间[-1，3]上的最大值是________。参考答案：2解析：f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，故最大值为2。8.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=3n²-2n，则a₅的值是________。参考答案：25解析：aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=6n-5，a₅=6×5-5=25。9.已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(x)在区间[0，2]上的最小值是________。参考答案：2解析：f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1。f(0)=3，f(1)=2，f(2)=3，故最小值为2。10.已知圆C₁：x²+y²=4与圆C₂：(x+1)²+y²=1相切，则两圆的切点在y轴上的坐标是________。参考答案：(0，-√3)解析：圆C₁与圆C₂的圆心距为√((-1)²+0²)=1，半径分别为2和1，故两圆内切。圆C₁的圆心为(0，0)，圆C₂的圆心为(-1，0)，切点在y轴上，且到两圆心的距离之差为半径之差，即|PC₁|-|PC₂|=1，解得y=-√3，故切点为(0，-√3)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的最大值是4，则f(x)在该区间上存在极值点。（）参考答案：×解析：f(-1)=-4，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-2，f(3)=2，故最大值为2，不存在极值点。2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=2n²-3n，则数列{aₙ}是等差数列。（）参考答案：√解析：aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=4n-5，aₙ₋₁=4(n-1)-5，aₙ-aₙ₋₁=4，故数列{aₙ}是等差数列。3.已知函数f(x)=ln(x+1)-bx在x=1处取得极值，则b的值一定是1/2。（）参考答案：×解析：f'(x)=1/(x+1)-b，令f'(1)=1/2-b=0得b=1/2，但需验证是否为极值点，f''(x)=-1/(x+1)²＜0，故x=1处为极大值点。4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=9，则直线l：2x+y-1=0与圆C的位置关系是相交。（）参考答案：√解析：圆心(1，-2)，半径r=3。圆心到直线l的距离d=|2×1+(-2)-1|/√(2²+1²)=1＜3，故直线l与圆C相交。5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最大值，则φ的值一定是π/4。（）参考答案：×解析：sin(2x+φ)的最大值为1，当且仅当2x+φ=2kπ+π/2，k∈Z。令x=π/4得φ=2kπ+π/4，取k=0得φ=π/4，但φ=5π/4时也满足条件。6.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，则a的值一定是e。（）参考答案：×解析：f'(x)=e^x-a，令f'(1)=e-a=0得a=e，但需验证是否为极值点，f''(x)=e^x＞0，故x=1处为极小值点。7.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则f(x)在区间[-1，3]上的最小值是-4。（）参考答案：√解析：f(-1)=-4，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-2，f(3)=2，故最小值为-4。8.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=3n²-2n，则a₅的值是25。（）参考答案：√解析：aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=6n-5，a₅=6×5-5=25。9.已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(x)在区间[1，3]上的最小值是2。（）参考答案：√解析：f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1。f(1)=2，f(3)=3，故最小值为2。10.已知圆C₁：x²+y²=1与圆C₂：(x-2)²+y²=4相切，则两圆的切点在x轴上的坐标是(1，0)。（）参考答案：×解析：圆C₁与圆C₂的圆心距为√(2²+0²)=2，半径分别为1和2，故两圆外切。圆C₁的圆心为(0，0)，圆C₂的圆心为(2，0)，切点在x轴上，且到两圆心的距离之差为半径之差，即|PC₁|-|PC₂|=1，解得x=1，y=0，故切点为(1，0)。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)的极值点。参考答案：f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f''(x)=6x-6，f''(0)=-6＜0，f''(2)=6＞0，故x=0处为极大值点，x=2处为极小值点。2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=2n²-3n，求a₅的值。参考答案：aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=4n-5，a₅=4×5-5=15。3.已知函数f(x)=ln(x+1)-bx在x=1处取得极值，求b的值。参考答案：f'(x)=1/(x+1)-b，令f'(1)=1/2-b=0得b=1/2。4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=9，求圆C的圆心和半径。参考答案：圆心(1，-2)，半径r=3。5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最大值，求φ的值。参考答案：sin(2x+φ)的最大值为1，当且仅当2x+φ=2kπ+π/2，k∈Z。令x=π/4得φ=2kπ+π/4。6.已知函数f(x)=e^x-ax在x=2处取得极小值，求a的值。参考答案：f'(x)=e^x-a，令f'(2)=e²-a=0得a=e²。7.已知函数f(x)=x²-2x+3，求f(x)在区间[0，2]上的最小值。参考答案：f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1。f(0)=3，f(1)=2，f(2)=3，故最小值为2。8.已知圆C₁：x²+y²=4与圆C₂：(x+1)²+y²=1相切，求两圆的切点坐标。参考答案：圆C₁与圆C₂的圆心距为√((-1)²+0²)=1，半径分别为2和1，故两圆内切。圆C₁的圆心为(0，0)，圆C₂的圆心为(-1，0)，切点在y轴上，且到两圆心的距离之差为半径之差，即|PC₁|-|PC₂|=1，解得y=-√3，故切点为(0，-√3)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)在区间[-1，3]上的最大值和最小值。参考答案：f(-1)=-4，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-2，f(3)=2，故最大值为2，最小值为-4。2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=3n²-2n，求a₅+a₆+a₇+a₈的值。参考答案：aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=6n-5，a₅+a₆+a₇+a₈=4×(6+7+8+9)-20=136。3.已知函数f(x)=ln(x+1)-bx在x=1处取得极值，求f(2)的值。参考答案：f'(x)=1/(x+1)-b，令f'(1)=1/2-b=0得b=1/2。f(x)=ln(x+1)-x/2，f(2)=ln3-1。4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=9，求圆C上到直线l：2x+y-1=0距离最远的点的坐标。参考答案：圆心(1，-2)，半径r=3。圆心到直线l的距离d=|2×1+(-2)-1|/√(2²+1²)=1＜3，故最远点在直线l的另一侧，方向向量为(2，1)，最远点坐标为(1，-2)+(3×(2，1))=(7，1)。5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最大值，求f(π/2)的值。参考答案：sin(2x+φ)的最大值为1，当且仅当2x+φ=2kπ+π/2，k∈Z。令x=π/4得φ=2kπ+π/4。f(x)=sin(2x+π/4)，f(π/2)=sin(π+π/4)=-√2/2。6.已知函数f(x)=e^x-ax在x=2处取得极小值，求f(0)的值。参考答案：f'(x)=e^x-a，令f'(2)=e²-a=0得a=e²。f(x)=e^x-e²x，f(0)=1。7.已知函数f(x)=x²-2x+3，求f(x)在区间[1，3]上的最大值和最小值。参考答案：f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1。f(1)=2，f(3)=3，故最小值为2，最大值为3。8.已知圆C₁：x²+y²=4与圆C₂：(x+1)²+y²=1相切，求两圆的切点到x轴的距离。参考答案：圆C₁与圆C₂的圆心距为√((-1)²+0²)=1，半径分别为2和1，故两圆内切。圆C₁的圆心为(0，0)，圆C₂的圆心为(-1，0)，切点在y轴上，且到两圆心的距离之差为半径之差，即|PC₁|-|PC₂|=1，解得y=-√3，故切点到x轴的距离为|y|=√3。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.C4.C5.C6.C7.B8.B9.B10.A解析：2.f(a)=0即ln(a+1)=a，g(x)=ln(x+1)-x在(-1，+∞)上单调递减，且g(0)=0，g(1)=ln2-1＜0，g(2)=ln3-2＞0，故a∈(-1，0)∪(1，+∞)。3.f'(x)=3x²-6x，f(-1)=-4，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-2，f(3)=2，故M=18，m=-4，M+m=14。4.Sₙ=2aₙ-3n+5，Sₙ₋₁=2aₙ₋₁-3(n-1)+5，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2aₙ-2aₙ₋₁-3+3，即aₙ=2aₙ₋₁+3。a₁=S₁=2a₁-3+5，得a₁=4。aₙ-5=2(aₙ₋₁-5)，数列{aₙ-5}是首项为-1，公比为2的等比数列，即aₙ-5=-2•2ⁿ⁻¹，得aₙ=2•3ⁿ⁻¹。5.圆心(1，-2)，半径r=2。圆心到直线l的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+(-4)²)=16/5=3.2＞2，故相离。6.sin(2x+φ)的最大值为1，当且仅当2x+φ=2kπ+π/2，k∈Z。令x=π/4得φ=2kπ+π/4，取k=0得φ=π/4。7.f'(x)=e^x-a，令f'(2)=e²-a=0得a=e²。8.f'(x)=3x²-6x，f'(1)=0，f''(1)=-3＜0，故x=1处为极大值点，最小值在端点取得，f(-1)=-4，f(1)=0，f(3)=2，故最小值为-4。9.aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=6n-5，a₅=6×5-5=25。10.f'(x)=2x-2，f'(1)=0，f''(1)=2＞0，故x=1处为极小值点，最小值为f(1)=2。11.圆C₁与圆C₂的圆心距为√((-1)²+0²)=1，半径分别为1和2，故两圆外切。圆C₁的圆心为(0，0)，圆C₂的圆心为(-1，0)，切点在x轴上，且到两圆心的距离之差为半径之差，即|PC₁|-|PC₂|=1，解得x=1，y=0，故切点为(1，0)。二、填空题1.-22.363.1/24.相交5.π/46.e²7.28.259.210.(0，-√3)解析：2.f(π/3)=1/2+√3/2a=-3，解得a=-2。3.aₙ=4n-5，a₃+a₄+a₅+a₆=4×(3+4+5+6)-20=36。4.f'(1)=1/2-b=0，得b=1/2。5.圆心(1，-2)，半径r=3。圆心到直线l的距离d=|1-(-2)+3|/√(1²+(-1)²)=6/√2=3√2＞3，故相交。6.sin(2x+φ)的最大值为1，当且仅当2x+φ=2kπ+π/2，k∈Z。令x=π/4得φ=2kπ+π/4，取k=0得φ=π/4。7.f'(x)=e^x-a，令f'(2)=e²-a=0得a=e²。8.f'(x)=2x-2，f'(1)=0，f''(1)=2＞0，故x=1处为极小值点，最小值为f(1)=2。9.aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=6n-5，a₅=6×5-5=25。10.f'(x)=2x-2，f'(1)=0，f''(1)=2＞0，故x=1处为极小值点，最小值为f(1)=2。11.圆C₁与圆C₂的圆心距为√((-1)²+0²)=1，半径分别为1和2，故两圆内切。圆C₁的圆心为(0，0)，圆C₂的圆心为(-1，0)，切点在y轴上，且到两圆心的距离之差为半径之差，即|PC₁|-|PC₂|=1，解得y=-√3，故切点为(0，-√3)。三、判断题1.×2.√3.×4.√5.×6.×7.√8.√9.√10.×解析：2.f(-1)=-4，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-2，f(3)=2，故最大值为2，最小值为-4，不存在极值点。3.aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=4n-5，aₙ₋₁=4(n-1)-5，aₙ-aₙ₋₁=4，故数列{aₙ}是等差数列。4.f'(x)=1/(x+1)-b，令f'(1)=1/2-b=0得b=1/2，但需验证是否为极值点，f''(x)=-1/(x+1)²＜0，故x=1处为极大值点。5.圆心(1，-2)，半径r=3。圆心到直线l的距离d=|2×1+(-2)-1|/√(2²+1²)=1＜3，故相交。6.sin(2x+φ)的最大值为1，当且仅当2x+φ=2kπ+π/2，k∈Z。令x=π/4得φ=2kπ+π/4，取k=0得φ=π/4，但φ=5π/4时也满足条件。7.f'(x)=e^x-a，令f'(1)=e-a=0得a=e，但需验证是否为极值点，f''(x)=e^x＞0，故x=1处为极小值点。8.f(-1)=-4，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-2，f(3)=2，故最小值为-4。9.aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=6n-5，a₅=6×5-5=25。10.f'(x)=2x-2，f'(1)=0，f''(1)=2＞0，故x=1处为极小值点，最小值为f(1)=2。11.圆C₁与圆C₂的圆心距为√((-1)²+0²)=1，半径分别为1和2，故两圆内切。圆C₁的圆心为(0，0)，圆C₂的圆心为(-1，0)，切点在y轴上，且到两圆心的距离之差为半径之差，即|PC₁|-|PC₂|=1，解得y=-√3，故切点为(0，-√3)。四、简答题1.f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f''(x)=6x-6，f''(0)=-6＜0，f''(2)=6＞0，故x=0处为极大值点，x=2处为极小值点。2.aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=4n-5，a₅=4×5-5=15。3.