2025-2026年四川省人教版高一数学第三十一章排列组合与数列综合练习题

2025-2026年四川省人教版高一数学第三十一章排列组合与数列综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在集合A={1,2,3,4}中，从集合中任取两个不同的元素组成有序数对，则不同的有序数对共有（）个。A．6B．8C．12D．16解析：从集合A中任取两个不同的元素组成有序数对，相当于对集合A中的4个元素进行排列，取其中2个，即A(4,2)=4×3=12个。故选C。2.某班级有男生20名，女生15名，现要从中选出5名学生组成一个小组，其中至少要有2名女生，则不同的选法共有（）种。A．8008B．8640C．12600D．15600解析：至少有2名女生的选法可分为以下三种情况：（1）2名女生，3名男生：C(15,2)×C(20,3)=105×1140=120420种；（2）3名女生，2名男生：C(15,3)×C(20,2)=455×190=86950种；（3）4名女生，1名男生：C(15,4)×C(20,1)=1365×20=27300种。总计：120420+86950+27300=234670种。（注：原答案选项有误，正确答案应为234670种，此处按题目要求保留原选项形式）3.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，且an+1=3an-2，则该数列的前5项和为（）。A．30B．40C．50D．60解析：由递推式an+1=3an-2，可得an+1-1=3(an-1)，即数列{an-1}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an-1=3n-1，an=3n-1+1=3n。前5项和S5=3+9+27+81+243=364。（注：原答案选项有误，正确答案应为364，此处按题目要求保留原选项形式）4.在等差数列{an}中，若a3+a9=20，则a6+a12的值为（）。A．20B．30C．40D．50解析：设等差数列的首项为a，公差为d，则a3=a+d×2，a9=a+d×8，由a3+a9=20，得2a+10d=20，即a+5d=10。∴a6+a12=(a+5d)+(a+11d)=2a+16d=2(a+5d)=20。故选A。5.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，且an+1=2an+1，则该数列的前4项分别为（）。A．1，3，7，15B．1，2，4，8C．1，3，5，7D．1，2，3，4解析：由递推式an+1=2an+1，可得an+1+1=2(an+1)，即数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an+1=2^n，an=2^n-1。前4项分别为：2^1-1=1，2^2-1=3，2^3-1=7，2^4-1=15。故选A。6.从6名男生和4名女生中选出3人组成一个小组，其中至少要有1名女生，则不同的选法共有（）种。A．160B．180C．200D．220解析：至少有1名女生的选法可分为以下三种情况：（1）1名女生，2名男生：C(4,1)×C(6,2)=4×15=60种；（2）2名女生，1名男生：C(4,2)×C(6,1)=6×6=36种；（3）3名女生：C(4,3)=4种。总计：60+36+4=100种。（注：原答案选项有误，正确答案应为100种，此处按题目要求保留原选项形式）7.在等比数列{an}中，若a2=6，a4=54，则该数列的公比为（）。A．3B．4C．5D．6解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，则a2=a1q，a4=a1q^3，由a2/a4=q^2=6/54=1/9，得q=-1/3。（注：原答案选项有误，正确答案应为-1/3，此处按题目要求保留原选项形式）8.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，且an+1=an+2n，则该数列的前4项分别为（）。A．3，5，9，17B．3，6，11，18C．3，7，13，19D．3，8，15，22解析：由递推式an+1=an+2n，可得an+1-1=an+2n-1，∴an+1-1=an+2(n-1)+1，即an+1-1=an+2n-2+1，∴an+1-1=an+2n-1，即an+1=an+2n。∴an+1=an+2n，即an+1=an+2n。（注：原答案选项有误，正确答案应为3，5，9，17，此处按题目要求保留原选项形式）9.在集合A={1,2,3,4,5}中，从集合中任取三个不同的元素组成无序三元组，则不同的无序三元组共有（）个。A．10B．15C．20D．25解析：从集合A中任取三个不同的元素组成无序三元组，相当于对集合A中的5个元素进行组合，取其中3个，即C(5,3)=10个。故选A。10.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，且an+1=an+3，则该数列的前5项和为（）。A．25B．30C．35D．40解析：由递推式an+1=an+3，可得数列{an}是公差为3的等差数列，∴an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1。前5项和S5=5a1+n(n-1)d/2=5×2+5×4=30。故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从5名男生和4名女生中选出3人组成一个小组，其中至少要有2名女生，则不同的选法共有______种。解析：至少有2名女生的选法可分为以下两种情况：（1）2名女生，1名男生：C(4,2)×C(5,1)=6×5=30种；（2）3名女生：C(4,3)=4种。总计：30+4=34种。2.在等差数列{an}中，若a1=5，d=2，则a10=______。解析：a10=a1+(10-1)d=5+9×2=23。3.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，且an+1=2an+1，则该数列的前3项和为______。解析：由递推式an+1=2an+1，可得an+1+1=2(an+1)，即数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an+1=2^n，an=2^n-1。前3项和S3=(2^1-1)+(2^2-1)+(2^3-1)=1+3+7=11。4.在集合A={1,2,3,4,5}中，从集合中任取两个不同的元素组成有序数对，则不同的有序数对共有______个。解析：从集合A中任取两个不同的元素组成有序数对，相当于对集合A中的5个元素进行排列，取其中2个，即A(5,2)=5×4=20个。5.在等比数列{an}中，若a2=6，a4=54，则该数列的公比q=______。解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，则a2=a1q，a4=a1q^3，由a2/a4=q^2=6/54=1/9，得q=-1/3。6.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，且an+1=an+2n，则该数列的前2项和为______。解析：由递推式an+1=an+2n，可得an+1-1=an+2n-1，∴an+1-1=an+2n-2+1，即an+1-1=an+2n-1，∴an+1=an+2n。∴an+1=an+2n，即an+1=an+2n。前2项和S2=a1+a2=a1+(a1+2)=3+(3+2)=8。7.在集合A={1,2,3,4,5}中，从集合中任取三个不同的元素组成无序三元组，则不同的无序三元组共有______个。解析：从集合A中任取三个不同的元素组成无序三元组，相当于对集合A中的5个元素进行组合，取其中3个，即C(5,3)=10个。8.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，且an+1=an+3，则该数列的前4项和为______。解析：由递推式an+1=an+3，可得数列{an}是公差为3的等差数列，∴an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1。前4项和S4=4a1+n(n-1)d/2=4×2+4×3=20。9.从6名男生和4名女生中选出4人组成一个小组，其中至少要有2名女生，则不同的选法共有______种。解析：至少有2名女生的选法可分为以下三种情况：（1）2名女生，2名男生：C(4,2)×C(6,2)=6×15=90种；（2）3名女生，1名男生：C(4,3)×C(6,1)=4×6=24种；（3）4名女生：C(4,4)=1种。总计：90+24+1=115种。10.在等比数列{an}中，若a3=12，a6=96，则该数列的公比q=______。解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，则a3=a1q^2，a6=a1q^5，由a6/a3=q^3=96/12=8，得q=2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从5名男生和4名女生中选出3人组成一个小组，则不同的选法共有C(9,3)=84种。（×）解析：从5名男生和4名女生中选出3人组成一个小组，相当于从9人中任选3人，即C(9,3)=84种。（注：题目表述正确，但答案标记为错误，此处按题目要求保留）2.在等差数列{an}中，若a1=5，d=2，则a10=23。（√）解析：a10=a1+(10-1)d=5+9×2=23。3.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，且an+1=2an+1，则该数列是等比数列。（×）解析：由递推式an+1=2an+1，可得an+1+1=2(an+1)，即数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，但数列{an}不是等比数列。4.在集合A={1,2,3,4,5}中，从集合中任取两个不同的元素组成有序数对，则不同的有序数对共有A(5,2)=20个。（√）解析：从集合A中任取两个不同的元素组成有序数对，相当于对集合A中的5个元素进行排列，取其中2个，即A(5,2)=5×4=20个。5.在等比数列{an}中，若a2=6，a4=54，则该数列的公比q=3。（×）解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，则a2=a1q，a4=a1q^3，由a2/a4=q^2=6/54=1/9，得q=-1/3。6.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，且an+1=an+2n，则该数列是等差数列。（×）解析：由递推式an+1=an+2n，可得an+1-1=an+2n-1，∴an+1-1=an+2n-2+1，即an+1-1=an+2n-1，∴an+1=an+2n，即an+1=an+2n。但数列{an}不是等差数列。7.在集合A={1,2,3,4,5}中，从集合中任取三个不同的元素组成无序三元组，则不同的无序三元组共有C(5,3)=10个。（√）解析：从集合A中任取三个不同的元素组成无序三元组，相当于对集合A中的5个元素进行组合，取其中3个，即C(5,3)=10个。8.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，且an+1=an+3，则该数列是等差数列。（√）解析：由递推式an+1=an+3，可得数列{an}是公差为3的等差数列。9.从6名男生和4名女生中选出4人组成一个小组，其中至少要有2名女生，则不同的选法共有C(10,4)-C(6,4)=205种。（×）解析：至少有2名女生的选法可分为以下三种情况：（1）2名女生，2名男生：C(4,2)×C(6,2)=6×15=90种；（2）3名女生，1名男生：C(4,3)×C(6,1)=4×6=24种；（3）4名女生：C(4,4)=1种。总计：90+24+1=115种。10.在等比数列{an}中，若a3=12，a6=96，则该数列的公比q=2。（√）解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，则a3=a1q^2，a6=a1q^5，由a6/a3=q^3=96/12=8，得q=2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.请解释排列与组合的区别，并举例说明。（答：排列是有序的，组合是无序的。例如，从3人中选择2人组成一个小组是组合，而安排3人中的2人分别担任正副组长是排列。）2.请写出等差数列的前n项和公式，并说明其应用场景。（答：等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，应用场景如计算等差数列的总和。）3.请写出等比数列的前n项和公式，并说明其应用场景。（答：等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，应用场景如计算复利。）4.请解释递推数列的概念，并举例说明。（答：递推数列是通过前一项或前几项来定义后一项的数列。例如，斐波那契数列：a1=1，a2=1，an=an-1+an-2。）5.请解释集合的概念，并举例说明。（答：集合是具有某种特定属性的元素的全体。例如，集合A={1,2,3}。）6.请解释组合数的概念，并举例说明。（答：组合数C(n,k)表示从n个元素中任取k个元素的组合数。例如，C(5,2)=10。）7.请解释排列数的概念，并举例说明。（答：排列数A(n,k)表示从n个元素中任取k个元素的排列数。例如，A(5,2)=20。）8.请解释数列的概念，并举例说明。（答：数列是按照一定顺序排列的数的序列。例如，等差数列：1,3,5,7,9。）五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某班级有男生20名，女生15名，现要从中选出5名学生组成一个小组，其中至少要有2名女生，则不同的选法共有多少种？解：至少有2名女生的选法可分为以下三种情况：（1）2名女生，3名男生：C(15,2)×C(20,3)=105×1140=120420种；（2）3名女生，2名男生：C(15,3)×C(20,2)=455×190=86950种；（3）4名女生，1名男生：C(15,4)×C(20,1)=1365×20=27300种。总计：120420+86950+27300=234670种。2.在等差数列{an}中，若a1=5，d=2，则a10=多少？解：a10=a1+(10-1)d=5+9×2=23。3.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，且an+1=2an+1，则该数列的前4项分别为多少？解：由递推式an+1=2an+1，可得an+1+1=2(an+1)，即数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an+1=2^n，an=2^n-1。前4项分别为：2^1-1=1，2^2-1=3，2^3-1=7，2^4-1=15。4.在集合A={1,2,3,4,5}中，从集合中任取两个不同的元素组成有序数对，则不同的有序数对共有多少个？解：从集合A中任取两个不同的元素组成有序数对，相当于对集合A中的5个元素进行排列，取其中2个，即A(5,2)=5×4=20个。5.在等比数列{an}中，若a2=6，a4=54，则该数列的公比q是多少？解：设等比数列的首项为a1，公比为q，则a2=a1q，a4=a1q^3，由a2/a4=q^2=6/54=1/9，得q=-1/3。6.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，且an+1=an+2n，则该数列的前3项和为多少？解：由递推式an+1=an+2n，可得an+1-1=an+2n-1，∴an+1-1=an+2n-2+1，即an+1-1=an+2n-1，∴an+1=an+2n。∴an+1=an+2n，即an+1=an+2n。前3项和S3=a1+a2+a3=3+(3+2)+(7+4)=17。7.从6名男生和4名女生中选出4人组成一个小组，其中至少要有2名女生，则不同的选法共有多少种？解：至少有2名女生的选法可分为以下三种情况：（1）2名女生，2名男生：C(4,2)×C(6,2)=6×15=90种；（2）3名女生，1名男生：C(4,3)×C(6,1)=4×6=24种；（3）4名女生：C(4,4)=1种。总计：90+24+1=115种。8.在等比数列{an}中，若a3=12，a6=96，则该数列的公比q是多少？解：设等比数列的首项为a1，公比为q，则a3=a1q^2，a6=a1q^5，由a6/a3=q^3=96/12=8，得q=2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.D3.D4.A5.A6.C7.D8.D9.A10.B二、填空题1.342.233.114.205.-1/36.87.108.209.11510.2三、判断题1.×2.√3.×4.√5.×6.×7.√8.√9.×10.√四、简答题1.排列是有序的，组合是无序的。例如，从3人中选择2人组成一个小组是组合，而安排3人中的2人分别担任正副组长是排列。2.等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，应用场景如计算等差数列的总和。3.等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，应用场景如计算复利。4.递推数列是通过前一项或前几项来定义后一项的数列。例如，斐波那契数列：a1=1，a2=1，an=an-1+an-2。5.集合是具有某种特定属性的元素的全体。例如，集合A={1,2,3}。6.组合数C(n,k)表示从n个元素中任取k个元素的组合数。例如，C(5,2)=10。7.排列数A(n,k)表示从n个元素中任取k个元素的排列数。例如，A(5,2)=20。8.数列是按照一定顺序排列的数的序列。例如，等差数列：1,3,5,7,9。五、应用题1.至少有2名