2026年广东省北师大版高中二年级数学下册第6单元综合测试卷

2026年广东省北师大版高中二年级数学下册第6单元综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高中二年级数学下册第6单元中，函数f(x)=ln(x^2+1)在区间(-1,1)上的单调性为（）A.单调递增且无极值点B.单调递减且无极值点C.先单调递减后单调递增，存在极小值点D.先单调递增后单调递减，存在极大值点解析：f(x)=ln(x^2+1)的导数为f'(x)=2x/(x^2+1)，在区间(-1,1)上，x>0时f'(x)>0，x<0时f'(x)<0，故函数在(-1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，且在x=0处取得极小值点，因此正确答案为C。2.根据北师大版高中二年级数学下册第6单元内容，若函数g(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=-1处取得极大值，在x=2处取得极小值，则b的取值范围是（）A.b>3B.b<3C.b>6D.b<6解析：g'(x)=3ax^2+2bx+c，由极值条件得g'(-1)=0且g'(2)=0，即3a-2b+c=0且12a+4b+c=0，解得b=3a，又因极大值与极小值异号，故3a^2-2ac-d与8a^2+4ac-d异号，代入b=3a得9a^2-6ac-d与8a^2+4ac-d异号，解得b>3，因此正确答案为A。3.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，曲线y=xe^(-x)与直线y=kx相切，则k的值为（）A.1/eB.2/eC.3/eD.4/e解析：设切点为(x0,y0)，则y0=x0e^(-x0)，且y'|x=x0=k，即x0e^(-x0)=kx0，解得x0=1，k=1/e，因此正确答案为A。4.在北师大版高中二年级数学下册第6单元的定积分计算中，∫[0,π/2]sin^3xcosxdx的值为（）A.1/4B.1/3C.1/2D.1解析：令u=sin^3x，则du=3sin^2xcosxdx，积分变为∫[0,1]u1/3du=1/9u^2|0=1/9，因此正确答案为B。5.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，若函数h(x)=xlnx-x+1在区间(0,1)上恒成立，则实数a的取值范围是（）A.a>1B.a<1C.a>2D.a<2解析：h'(x)=lnx，在(0,1)上lnx<0，故h(x)单调递减，h(1)=0，因此a>1，因此正确答案为A。6.根据北师大版高中二年级数学下册第6单元内容，若函数φ(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值之差为（）A.5B.6C.7D.8解析：φ'(x)=3x^2-6x+2，令3x^2-6x+2=0得x=1±√(1/3)，比较φ(-1)=5，φ(1-√(1/3))=4-2√(1/3)，φ(1+√(1/3))=4+2√(1/3)，φ(3)=3，最大值为5，最小值为4-2√(1/3)，差为1+2√(1/3)，因此正确答案为B。7.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，若函数ψ(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：ψ'(x)=e^x-a，由极值条件得ψ'(0)=1-a=0，解得a=1，因此正确答案为A。8.在北师大版高中二年级数学下册第6单元的级数求和中，∑[n=1,∞](n+1)/2^n的值为（）A.2B.3C.4D.5解析：令S=∑[n=1,∞](n+1)/2^n，则1/2S=∑[n=1,∞]n/2^n，两式相减得1/2S=1/2+∑[n=2,∞]1/2^n=1/2+1/4+1/8+...=1，故S=2，因此正确答案为A。9.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，若函数τ(x)=x^2-2ax+a^2+1在x=1处取得最小值，则a的取值范围是（）A.a>1B.a<1C.a>2D.a<2解析：τ'(x)=2x-2a，由极值条件得τ'(1)=2-2a=0，解得a=1，又因二次函数开口向上，故a=1时取得最小值，因此正确答案为A。10.根据北师大版高中二年级数学下册第6单元内容，若函数μ(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的曲率为（）A.0B.1C.2D.3解析：μ''(x)=6x-6，μ''(1)=0，曲率K=|μ''(x)|/[(1+(μ'(x))^2)^(3/2)]，代入x=1得K=0，因此正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的二阶导数为_________。参考答案：0解析：f''(x)=6x-6，f''(1)=0。2.若函数g(x)=ln(x^2+1)在x=1处的切线方程为y=2x+b，则b的值为_________。参考答案：-1解析：g'(x)=2x/(x^2+1)，g'(1)=2/2=1，g(1)=ln2，切线方程为y-g(1)=g'(1)(x-1)，即y=2x-1+ln2，解得b=-1。3.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，曲线y=x^3与y=3x^2-2x在x=1处的法线夹角为_________弧度。参考答案：π/2解析：y'=3x^2，y'|x=1=3，法线斜率为-1/3；y'=6x-2，y'|x=1=4，法线斜率为-1/4，两法线夹角tanθ=|(-1/3)-(-1/4)|/(1+(-1/3)(-1/4))=7/12，θ=π/2。4.若函数h(x)=x^3-px+1在x=1处取得极值，则p的值为_________。参考答案：3解析：h'(x)=3x^2-p，由极值条件得h'(1)=3-p=0，解得p=3。5.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，∫[0,1]x^2e^xdx的值为_________。参考答案：e-3解析：令u=x^2，dv=e^xdx，则du=2xdx，v=e^x，积分分部得∫x^2e^xdx=x^2e^x-∫2xe^xdx=x^2e^x-2(xe^x-∫e^xdx)=x^2e^x-2xe^x+2e^x，计算定积分得e-3。6.若函数φ(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值之差为_________。参考答案：6解析：φ'(x)=3x^2-6x+2，令3x^2-6x+2=0得x=1±√(1/3)，比较φ(-1)=5，φ(1-√(1/3))=4-2√(1/3)，φ(1+√(1/3))=4+2√(1/3)，φ(3)=3，最大值为5，最小值为4-2√(1/3)，差为6。7.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，级数∑[n=1,∞](-1)^(n+1)/n!的值为_________。参考答案：e解析：级数是e^x在x=-1处的泰勒展开，故∑[n=0,∞](-1)^n/n!=1/0!-1/1!+1/2!-...=e^-1=e。8.若函数ψ(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a的值为_________。参考答案：1解析：ψ'(x)=e^x-a，由极值条件得ψ'(0)=1-a=0，解得a=1。9.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，函数τ(x)=x^2-2ax+a^2+1在x=1处取得最小值，则a的取值范围是_________。参考答案：a>1解析：τ'(x)=2x-2a，由极值条件得τ'(1)=2-2a=0，解得a=1，又因二次函数开口向上，故a=1时取得最小值，因此a>1。10.若函数μ(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的曲率为_________。参考答案：0解析：μ''(x)=6x-6，μ''(1)=0，曲率K=|μ''(x)|/[(1+(μ'(x))^2)^(3/2)]，代入x=1得K=0。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，若函数f(x)在x=c处取得极大值，则f'(c)=0且f''(c)<0。参考答案：正确解析：极大值点处导数为0且二阶导数小于0。2.若函数g(x)=ln(x^2+1)在x=1处的切线方程为y=2x+b，则b的值为-1。参考答案：正确解析：g'(1)=2/2=1，g(1)=ln2，切线方程为y=2x-1+ln2，解得b=-1。3.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，函数h(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处取得极值。参考答案：正确解析：h'(x)=3x^2-6x+2，h'(1)=0，h''(1)=0，但三阶导数不为0，故为拐点，非极值点。4.若函数φ(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值之差为6，则φ(x)在x=1处取得极值。参考答案：错误解析：φ'(1)=0，但φ''(1)=0，非极值点。5.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，级数∑[n=1,∞](n+1)/2^n的值为2。参考答案：正确解析：令S=∑[n=1,∞](n+1)/2^n，则1/2S=∑[n=1,∞]n/2^n，两式相减得S=2。6.若函数ψ(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a的值为1。参考答案：正确解析：ψ'(x)=e^x-a，由极值条件得ψ'(0)=1-a=0，解得a=1。7.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，函数τ(x)=x^2-2ax+a^2+1在x=1处取得最小值。参考答案：错误解析：τ'(x)=2x-2a，τ'(1)=2-2a=0，但τ''(1)=2>0，故为极小值点。8.若函数μ(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的曲率为0，则μ''(1)=0。参考答案：正确解析：曲率K=|μ''(x)|/[(1+(μ'(x))^2)^(3/2)]，K=0当且仅当μ''(1)=0。9.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的二阶导数为0。参考答案：正确解析：f''(x)=6x-6，f''(1)=0。10.若函数g(x)=ln(x^2+1)在x=1处的切线方程为y=2x+b，则b=-1。参考答案：正确解析：g'(1)=2/2=1，g(1)=ln2，切线方程为y=2x-1+ln2，解得b=-1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，如何判断函数在某点处取得极值？参考答案：首先求导数，令导数为0求出驻点；然后求二阶导数，若二阶导数大于0则取得极小值，若小于0则取得极大值；若二阶导数为0，则需进一步判断高阶导数或利用导数符号变化法。2.若函数f(x)=x^3-px+q在x=1处取得极大值，在x=2处取得极小值，求p、q的取值范围。参考答案：f'(x)=3x^2-p，由极值条件得f'(1)=3-p=0且f'(2)=12-p=0，解得p=3；又因极大值与极小值异号，故f(1)-q>0且f(2)-q<0，即1-3+q>0且8-3q+q<0，解得q>2。3.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，如何求函数的渐近线？参考答案：水平渐近线：求lim(x→∞)f(x)或lim(x→-∞)f(x)；垂直渐近线：求使分母为0且分子不为0的x值；斜渐近线：若lim(x→∞)(f(x)/x)=k且lim(x→∞)(f(x)-kx)=b，则y=kx+b为斜渐近线。4.若函数g(x)=ln(x^2+1)在x=1处的切线方程为y=2x+b，求b的值。参考答案：g'(x)=2x/(x^2+1)，g'(1)=2/2=1，g(1)=ln2，切线方程为y=2x-1+ln2，解得b=-1。5.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，如何判断级数的收敛性？参考答案：正项级数可用比较判别法、比值判别法、根值判别法；交错级数可用莱布尼茨判别法；一般级数可用绝对收敛判别法。6.若函数h(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值之差为6，求h(x)在x=1处是否取得极值。参考答案：h'(x)=3x^2-6x+2，令3x^2-6x+2=0得x=1±√(1/3)，比较h(-1)=5，h(1-√(1/3))=4-2√(1/3)，h(1+√(1/3))=4+2√(1/3)，h(3)=3，最大值为5，最小值为4-2√(1/3)，差为6；但h'(1)=0，h''(1)=0，非极值点。7.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，如何求函数的曲率？参考答案：曲率K=|f''(x)|/[(1+(f'(x))^2)^(3/2)]，先求一阶导数和二阶导数，代入公式计算。8.若函数μ(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的曲率为0，求μ''(1)的值。参考答案：μ''(x)=6x-6，μ''(1)=6-6=0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，求函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值。参考答案：f'(x)=3x^2-6x+2，令3x^2-6x+2=0得x=1±√(1/3)，比较f(-1)=5，f(1-√(1/3))=4-2√(1/3)，f(1+√(1/3))=4+2√(1/3)，f(3)=3，最大值为5，最小值为4-2√(1/3)。2.若函数g(x)=ln(x^2+1)在x=1处的切线方程为y=2x+b，求b的值。参考答案：g'(x)=2x/(x^2+1)，g'(1)=2/2=1，g(1)=ln2，切线方程为y=2x-1+ln2，解得b=-1。3.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，求函数h(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的曲率。参考答案：h''(x)=6x-6，h''(1)=0，曲率K=|h''(x)|/[(1+(h'(x))^2)^(3/2)]，代入x=1得K=0。4.若函数ψ(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，求a的值。参考答案：ψ'(x)=e^x-a，由极值条件得ψ'(0)=1-a=0，解得a=1。5.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，求级数∑[n=1,∞](n+1)/2^n的值。参考答案：令S=∑[n=1,∞](n+1)/2^n，则1/2S=∑[n=1,∞]n/2^n，两式相减得S=2。6.若函数τ(x)=x^2-2ax+a^2+1在x=1处取得最小值，求a的取值范围。参考答案：τ'(x)=2x-2a，τ'(1)=2-2a=0，解得a=1，又因二次函数开口向上，故a=1时取得最小值，因此a>1。7.北师大版高中二年级数学下册第6单元中，求函数μ(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的曲率。参考答案：μ''(x)=6x-6，μ''(1)=0，曲率K=|μ''(x)|/[(1+(μ'(x))^2)^(3/2)]，代入x=1得K=0。8.若函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的二阶导数为0，求f''(1)的值。参考答案：f''(x)=6x-6，f''(1)=6-6=0。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.A4.B5.A6.B7.A8.A9.A10.A解析：2.f'(x)=2x/(x^2+1)，x>0时f'(x)>0，x<0时f'(x)<0，故函数在(-1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，且在x=0处取得极小值点。3.g'(x)=3ax^2+2bx+c，由极值条件得g'(-1)=0且g'(2)=0，即3a-2b+c=0且12a+4b+c=0，解得b=3a，又因极大值与极小值异号，故3a^2-2ac-d与8a^2+4ac-d异号，代入b=3a得9a^2-6ac-d与8a^2+4ac-d异号，解得b>3。4.令u=sin^3x，则du=3sin^2xcosxdx，积分变为∫[0,1]u1/3du=1/9u^2|0=1/9。5.f'(x)=lnx，在(0,1)上lnx<0，故f(x)单调递减，f(1)=0，因此a>1。6.h'(x)=2x-2a，由极值条件得h'(1)=2-2a=0，解得a=1，又因二次函数开口向上，故a=1时取得最小值，因此a>1。7.φ'(x)=3x^2-6x+2，令3x^2-6x+2=0得x=1±√(1/3)，比较φ(-1)=5，φ(1-√(1/3))=4-2√(1/3)，φ(1+√(1/3))=4+2√(1/3)，φ(3)=3，最大值为5，最小值为4-2√(1/3)，差为6。8.ψ'(x)=e^x-a，由极值条件得ψ'(0)=1-a=0，解得a=1。9.令u=x^2，dv=e^xdx，则du=2xdx，v=e^x，积分分部得∫x^2e^xdx=x^2e^x-∫2xe^xdx=x^2e^x-2xe^x+2e^x，计算定积分得e-3。10.τ'(x)=2x-2a，由极值条件得τ'(1)=2-2a=0，解得a=1，又因二次函数开口向上，故a=1时取得最小值，因此a>1。11.μ''(x)=6x-6，μ''(1)=0，曲率K=|μ''(x)|/[(1+(μ'(x))^2)^(3/2)]，代入x=1得K=0。二、填空题1.02.-13.π/24.35.e-36.67.e8.19.a>110.0三、判断题1.正确2.正确3.错误4.错误5.正确6.正确7.错误8.正确9.正确10.正确四、简答题1.首先求导数，令导数为0求出驻点；然后求二阶导数，若二阶导数大于0则取得极小值，若小于0则取得极大值；若二阶导数为0，则需进一步判断高阶导数或利用导数符号变化法。2.f'(x)=3x^2-p，由极值条件得f'(1)=3-p=0且f'(2)=12-p=0，解得p=3；又因极大值与极小值异号，故f(1)-q>0且f(2)-q<0，即1-3+q>0且8-3q+q<0，解得q>2。3.水平渐近线：求lim(x→∞)f(x)或lim(x→-∞)f(x)；垂直渐近线：求使分母为0且分子不为0的x值；斜渐近线：若lim(x→∞)(f(x)/x)=k且lim(x→∞)(f(x)-kx)=b，则y=kx+b为斜渐