2025-2026年云南省苏教版高二数学第二十章函数图像与性质习题集

2025-2026年云南省苏教版高二数学第二十章函数图像与性质习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为（）A.1B.3C.2D.0解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，当x在-2和1之间时，距离之和最小，即f(x)的最小值为1-(-2)=3，故选B。2.函数g(x)=√(x^2-4x+3)的定义域为（）A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.[1,3]C.(-∞,1]∪[3,+∞)D.(-1,3)解析：由x^2-4x+3≥0，得(x-1)(x-3)≥0，解得x≤1或x≥3，故定义域为(-∞,1]∪[3,+∞)，选C。3.函数h(x)=2cos(2x+π/3)的图像关于y轴对称，则x的取值集合为（）A.{kπ}B.{kπ+π/6}C.{kπ-π/6}D.{kπ/2}解析：由2x+π/3=kπ+π/2，得x=kπ/2-π/12，故选D。4.函数m(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)的最小正周期为（）A.2πB.πC.4πD.π/2解析：m(x)=√2sin(x+π/4-π/4)=√2sinx，周期为2π，故选A。5.函数n(x)=log_a(x^2-2x+1)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.(1,2)解析：x^2-2x+1=(x-1)^2，在(1,+∞)上恒为正，若log_a(x^2-2x+1)单调递增，则a>1，故选B。6.函数p(x)=tan(2x-π/4)的图像的一个对称中心是（）A.(π/8,0)B.(π/4,0)C.(3π/8,0)D.(π/2,0)解析：由2x-π/4=kπ+π/2，得x=kπ+3π/8，取k=0，得(3π/8,0)，故选C。7.函数q(x)=3^x+1在区间[-1,1]上的值域为（）A.[2,4]B.[1,4]C.[2,10]D.[1,10]解析：3^x在[-1,1]上取值范围为[1/3,3]，故3^x+1取值范围为[4/3,4]，即[2,4]，故选A。8.函数r(x)=sin^2x+cos^2(π/3-x)的最小值为（）A.1/2B.3/2C.1D.0解析：r(x)=sin^2x+1/4-cos^2x+√3/2sinx=1/4+√3/2sinx-sin^2x=1/4-(sinx-√3/4)^2，当sinx=√3/4时取最小值1/4，故选A。9.函数s(x)=√(x-1)/(x^2-1)的定义域为（）A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)C.(-1,1)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)解析：需满足x-1≥0且x^2-1≠0，即x≥1且x≠±1，故定义域为(1,+∞)，故选C。10.函数t(x)=2^x-1/x在x∈(0,1)上的图像大致为（）A.递增且无界B.递减且无界C.递增且有界D.递减且有界解析：t'(x)=2^xln2+1/x^2>0，故在(0,1)上递增，且当x→0+时，2^x→1，-1/x→-∞，故无界，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=|x-2|+|x+1|的图像与x轴所围成的图形的面积为______。参考答案：5解析：图像由两条射线和一条线段组成，交点为(-1,0)、(2,0)，面积=1/2×3×3=4.5，但需加上两段直角三角形的面积，即1/2×1×1+1/2×1×1=1，故总面积为5。2.函数g(x)=sin(π/3-x)cos(π/3+x)+cos(π/3-x)sin(π/3+x)的值为______。参考答案：1/2解析：g(x)=sin(π/3-x+π/3+x)=sin(2π/3)=√3/2，但原式实际为sin(π/3-x)+cos(π/3-x)=sinπ/3cosx-cosπ/3sinx+cosπ/3cosx+sinπ/3sinx=√3/2cosx+1/2sinx，故值为1/2。3.函数h(x)=log_1/2(x^2-3x+2)在区间(2,+∞)上的单调性为______。参考答案：递减解析：x^2-3x+2=(x-1)(x-2)，在(2,+∞)上恒为正，log_1/2(x^2-3x+2)为递减函数，故递减。4.函数m(x)=tan(π/4-x)的图像向右平移π/2个单位后得到函数______的图像。参考答案：tan(x-3π/4)解析：平移后得tan(π/4-(x+π/2))=tan(-x-π/4)=tan(x+3π/4)，即tan(x-3π/4)。5.函数n(x)=3^x+1在区间[-1,1]上的最大值为______。参考答案：10解析：3^x在[-1,1]上取值范围为[1/3,3]，故3^x+1取值范围为[4/3,10]，即最大值为10。6.函数p(x)=sin^2x-cos^2x的周期为______。参考答案：π解析：p(x)=-cos2x，周期为π。7.函数q(x)=√(4-x^2)在[-2,2]上的最大值为______。参考答案：2解析：函数表示以原点为圆心，半径为2的半圆，最大值为2。8.函数r(x)=log_2(x+1)-log_2(x-1)的定义域为______。参考答案：(1,+∞)解析：需满足x+1>0且x-1>0，即x>1，故定义域为(1,+∞)。9.函数s(x)=2cos^2x-3sinx+1的取值范围为______。参考答案：[-1,3]解析：令t=sinx，则y=2(1-t^2)-3t+1=-2t^2-3t+3=-2(t+3/4)^2+15/8，当t=-3/4时取最大值3，当t=1时取最小值-1，故取值范围为[-1,3]。10.函数t(x)=2^x-1/x在x∈(0,1)上的极限值为______。参考答案：+∞解析：当x→0+时，2^x→1，-1/x→-∞，故极限为+∞。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=sin(x+π/2)的图像与函数g(x)=cosx的图像完全重合。参考答案：错误解析：f(x)=cosx，但相位不同，g(x)=cosx，故不完全重合。2.函数h(x)=|x|在R上单调递增。参考答案：错误解析：在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，故不是R上单调递增。3.函数m(x)=log_a(x^2)在(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(1,+∞)。参考答案：正确解析：log_a(x^2)=2log_a|x|，若单调递增，则a>1。4.函数n(x)=tan(π/3-x)的图像关于原点对称。参考答案：正确解析：tan(π/3-x)=-tan(x-π/3)，故关于原点对称。5.函数p(x)=sin^2x+cos^2x在R上恒为1，故不是函数。参考答案：错误解析：恒为1是函数的性质，不是否定条件。6.函数q(x)=√(x^2-1)在(-∞,-1)上单调递增。参考答案：正确解析：q'(x)=x/√(x^2-1)>0，故单调递增。7.函数r(x)=2cos(2x+π/4)的最小正周期为π。参考答案：正确解析：周期为2π/2=π。8.函数s(x)=log_2(x+1)-log_2(x-1)在(2,3)上单调递增。参考答案：正确解析：s'(x)=1/(x+1)-1/(x-1)>0，故单调递增。9.函数t(x)=3^x+1在R上无最大值。参考答案：正确解析：指数函数无界，故无最大值。10.函数u(x)=sin|x|是偶函数。参考答案：正确解析：sin|x|=sin(-x)，故为偶函数。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。参考答案：最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]。解析：分段函数f(x)={-2x-1,x<-2；3,-2≤x≤1；2x+1,x>1]，当x∈[-2,1]时，f(x)取最小值3。2.求函数g(x)=√(x^2-4x+3)的定义域。参考答案：(-∞,1]∪[3,+∞)。解析：由x^2-4x+3≥0，得(x-1)(x-3)≥0，解得x≤1或x≥3。3.求函数h(x)=2cos(2x+π/3)的图像的对称轴方程。参考答案：x=kπ/2-π/12，k∈Z。解析：由2x+π/3=kπ+π/2，得x=kπ/2-π/12。4.求函数m(x)=sin^2x+cos^2(π/3-x)的取值范围。参考答案：[1/4,3/4]。解析：m(x)=1/4+√3/2sinx-sin^2x=1/4-(sinx-√3/4)^2，当sinx=√3/4时取最大值3/4，当sinx=-1/2时取最小值1/4。5.求函数n(x)=log_2(x^2-2x+1)的单调递增区间。参考答案：[1,+∞)。解析：x^2-2x+1=(x-1)^2，在[1,+∞)上单调递增，且log_2(x^2-2x+1)在(0,+∞)上单调递增，故[1,+∞)。6.求函数p(x)=tan(2x-π/4)的图像的对称中心。参考答案：(π/8+kπ/2,0)，k∈Z。解析：由2x-π/4=kπ+π/2，得x=kπ/2+3π/8，故对称中心为(π/8+kπ/2,0)。7.求函数q(x)=3^x+1在区间[-1,1]上的值域。参考答案：[4/3,10]。解析：3^x在[-1,1]上取值范围为[1/3,3]，故3^x+1取值范围为[4/3,10]。8.判断函数r(x)=sin|x|是否为周期函数，若是，求其最小正周期。参考答案：是，最小正周期为2π。解析：sin|x|是偶函数，且周期为2π。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=|x-a|+|x+a|，若f(x)的最小值为4，求实数a的值。参考答案：a=±2。解析：f(x)的最小值为|2a|，由|2a|=4，得a=±2。2.已知函数g(x)=√(x^2-6x+9)，求函数的值域。参考答案：[0,3]。解析：g(x)=√((x-3)^2)，值域为[0,3]。3.已知函数h(x)=2cos(2x+π/3)，求函数的图像的对称中心。参考答案：(π/12+kπ/2,0)，k∈Z。解析：由2x+π/3=kπ+π/2，得x=kπ/2-π/12，故对称中心为(π/12+kπ/2,0)。4.已知函数m(x)=sin^2x+cos^2(π/3-x)，求函数的取值范围。参考答案：[1/4,3/4]。解析：m(x)=1/4+√3/2sinx-sin^2x=1/4-(sinx-√3/4)^2，当sinx=√3/4时取最大值3/4，当sinx=-1/2时取最小值1/4。5.已知函数n(x)=log_2(x^2-2x+1)，求函数的定义域。参考答案：(-∞,1]∪[3,+∞)。解析：x^2-2x+1=(x-1)^2，需x^2-2x+1>0，解得x≤1或x≥3。6.已知函数p(x)=tan(2x-π/4)，求函数的图像的对称中心。参考答案：(π/8+kπ/2,0)，k∈Z。解析：由2x-π/4=kπ+π/2，得x=kπ/2+3π/8，故对称中心为(π/8+kπ/2,0)。7.已知函数q(x)=3^x+1在区间[-1,1]上，求函数的最大值和最小值。参考答案：最大值为10，最小值为4/3。解析：3^x在[-1,1]上取值范围为[1/3,3]，故3^x+1取值范围为[4/3,10]，即最大值为10，最小值为4/3。8.已知函数r(x)=sin|x|，判断函数是否为周期函数，若是，求其最小正周期。参考答案：是，最小正周期为2π。解析：sin|x|是偶函数，且周期为2π。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.C4.A5.B6.C7.A8.A9.C10.A解析：1.数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为1-(-2)=3；2.由x^2-4x+3≥0，得(x-1)(x-3)≥0，解得x≤1或x≥3；3.由2x+π/3=kπ+π/2，得x=kπ/2-π/12；4.周期为2π；5.若log_a(x^2-2x+1)单调递增，则a>1；6.由2x-π/4=kπ+π/2，得x=kπ+3π/8；7.3^x在[-1,1]上取值范围为[1/3,3]，故3^x+1取值范围为[4/3,10]，即[2,4]；8.y=1/4-(sinx-√3/4)^2，当sinx=√3/4时取最小值1/4；9.需满足x-1≥0且x^2-1≠0；10.t'(x)=2^xln2+1/x^2>0，故在(0,1)上递增，且无界。二、填空题1.512.1/213.递减14.tan(x-3π/4)15.1016.π17.218.(1,+∞)19.[-1,3]20.+∞解析：11.图像由两条射线和一条线段组成，交点为(-1,0)、(2,0)，面积=1/2×3×3=4.5，但需加上两段直角三角形的面积，即1/2×1×1+1/2×1×1=1，故总面积为5；12.原式=sinπ/3cosx-cosπ/3sinx+cosπ/3cosx+sinπ/3sinx=√3/2cosx+1/2sinx；13.x^2-3x+2=(x-1)(x-2)，在(2,+∞)上恒为正，log_1/2(x^2-3x+2)为递减函数；14.平移后得tan(π/4-(x+π/2))=tan(-x-π/4)=tan(x+3π/4)；15.3^x在[-1,1]上取值范围为[1/3,3]，故3^x+1取值范围为[4/3,10]，即最大值为10；16.p(x)=-cos2x，周期为π；17.函数表示以原点为圆心，半径为2的半圆，最大值为2；18.需满足x+1>0且x-1>0；19.y=-2t^2-3t+3=-2(t+3/4)^2+15/8，当t=-3/4时取最大值3，当t=1时取最小值-1，故取值范围为[-1,3]；20.当x→0+时，2^x→1，-1/x→-∞，故极限为+∞。三、判断题1.错误22.错误23.正确24.正确25.错误26.正确27.正确28.正确29.正确30.正确解析：21.f(x)=cosx，但相位不同，故不完全重合；22.在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，故不是R上单调递增；23.log_a(x^2)=2log_a|x|，若单调递增，则a>1；24.tan(π/3-x)=-tan(x-π/3)，故关于原点对称；25.恒为1是函数的性质，不是否定条件；26.q'(x)=x/√(x^2-1)>0，故单调递增；27.周期为2π/2=π；28.s'(x)=1/(x+1)-1/(x-1)>0，故单调递增；29.指数函数无界，故无最大值；30.sin|x|=sin(-x)，故为偶函数。四、简答题1.最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]。解析：分段函数f(x)={-2x-1,x<-2；3,-2≤x≤1；2x+1,x>1]，当x∈[-2,1]时，f(x)取最小值3。2.(-∞,1]∪[3,+∞)。解析：由x^2-4x+3≥0，得(x-1)(x-3)≥0，解得x≤1或x≥3。3.x=kπ/2-π/12，k∈Z。解析：由2x+π/3=kπ+π/2，得x=kπ/2-π/12。4.[1/4,3/4]。解析：m(x)=1/4+√3/2sinx-sin^2x=1/4-(sinx-√3/4)^2，当sinx=√3/4时取最大值3/4，当sinx=-1/2时取最小值1/4。5.[1,+∞)。解析：x^2-2x+1=(x-1