北师版八上数学1.3矩形的性质与判定（2）【课件】

3.2矩形的性质与判定

第一章特殊平行四边形北师大版九年级数学上册学习&目标1.掌握矩形的判定定理2.经历矩形判定定理的探究过程（重点）3.会用这些矩形的判定方法进行有关的证明和计算（难点）情境&导入有一个角是直角的平行四边形.矩形的定义：平行四边形矩形有一个角是直角性质边角对角线矩形矩形的对边平行且相等.矩形的对角线相等且互相平分.矩形的四个角都是直角.情境&导入思考

工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？这节课我们一起探讨矩形的判定吧.探索&交流我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流.猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.矩形的判定1—探索&交流已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，∴AD∥BC,AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形.ABCD探索&交流矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形.几何语言描述：在四边形ABCD中，∵

∠A=∠B=∠C=90°,∴四边形ABCD是矩形.ABCD探索&交流如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.（1）随着∠α的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？想一想探索&交流（2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.探索&交流已知：如图,在□ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,

AC=DB.求证：□ABCD是矩形.证明：∵AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB,∴∠ABC=∠DCB.

∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴∠ABC=90°,∴□ABCD是矩形（矩形的定义）.ABCD探索&交流ABCDAC=BDABCD是矩形矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.几何语言描述：在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形.ABCD例题&解析

例题欣赏☞例1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD且AB=CD，∠BAC=∠BDC.求证：四边形ABCD是矩形.探索&交流证明：∵AB∥CD且AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠BDC.∴OA＝OC，OB＝OD.∵∠BAC＝∠BDC，∴∠ABD＝∠BAC.∴OA＝OB.∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．探索&交流数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？对角线相等的平行四边形是矩形.议一议例题&解析

例题欣赏☞例2如图在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4.

求□ABCD的面积.例题&解析解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.又∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=4.∴OA=OB=OC=OD=4.∴AC=BD=2OA=2×4=8.∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴BC=∴S□ABCD=AB·BC=4×=.例题&解析

例题欣赏☞例3.如图，在△ABC中,

AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD,EC.（1）求证：△ADC≌△ECD;（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.ADCEB例题&解析证明：（1）∵△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠ACB.又∵四边形ABDE是平行四边形,∴∠B=∠EDC,AB=DE,∴∠ACB=∠EDC,∴△ADC≌△ECD.(2)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵四边形ABDE是平行四边形,∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,∴四边形ADCE是平行四边形.而∠ADC=90°,∴四边形ADCE是矩形.练习&巩固C1.能够判断一个四边形是矩形的条件是()A．对角线相等B．对角线垂直C．对角线互相平分且相等D．对角线垂直且相等练习&巩固2.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是（

）A.梯形B.平行四边形C.矩形D.不能确定DEFMNQPABCC练习&巩固3.如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D.试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论.练习&巩固证明:∵CD∥MN,BC,BD分别为∠MBA,∠ABN的平分线,∴∠ABD＝∠DBN＝∠CDB,∠ABC＝∠CBM＝∠DCB,且∠CBD＝90°,∴OC＝OB＝OD＝OA．∵∠AOD＝∠COB,∴△AOD≌△COB,则∠DAO＝∠OBC,AD∥BC,AD＝BC,∴四边形ACBD为平