参数变化时四则运算极限的一致收敛性

参数变化时四则运算极限的一致收敛性在数学分析的领域中，极限理论是构建整个分析学体系的基石，而一致收敛性则是极限理论中一个至关重要的概念。它不仅在函数项级数、含参变量积分等内容中扮演着核心角色，更是连接函数序列的逐点收敛与整体性质（如连续性、可微性、可积性）的关键纽带。当我们将目光聚焦于参数变化时四则运算的极限一致收敛性时，实际上是在探索函数序列在进行加、减、乘、除运算后，其极限行为是否能够保持一致收敛的特性。这一研究不仅有助于深化我们对极限运算与四则运算之间关系的理解，更为解决实际问题中涉及的函数序列分析提供了重要的理论依据。一、一致收敛性的基本概念在深入探讨参数变化时四则运算极限的一致收敛性之前，我们首先需要明确一致收敛性的定义。设函数序列${f_n(x)}$与函数$f(x)$定义在数集$D$上，若对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，对于一切$x\inD$，都有$|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$，则称函数序列${f_n(x)}$在$D$上一致收敛于$f(x)$，记作$f_n(x)\rightrightarrowsf(x)\(n\to\infty),x\inD$。与逐点收敛不同，一致收敛性强调的是“一致性”，即对于所有的$x\inD$，函数序列${f_n(x)}$收敛到$f(x)$的速度是相同的，或者说存在一个共同的$N$，使得当$n>N$时，所有的$f_n(x)$都能同时落在$f(x)$的$\varepsilon$邻域内。这种一致性使得一致收敛的函数序列具有许多良好的性质，例如，若函数序列${f_n(x)}$在$D$上一致收敛于$f(x)$，且每个$f_n(x)$都在$D$上连续，则$f(x)$也在$D$上连续；若函数序列${f_n(x)}$在$[a,b]$上一致收敛于$f(x)$，且每个$f_n(x)$都在$[a,b]$上可积，则$f(x)$也在$[a,b]$上可积，并且$\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n(x)dx=\int_a^b\lim_{n\to\infty}f_n(x)dx$。二、参数变化时加法运算极限的一致收敛性（一）两个一致收敛函数序列之和的一致收敛性设函数序列${f_n(x)}$在数集$D$上一致收敛于$f(x)$，函数序列${g_n(x)}$在数集$D$上一致收敛于$g(x)$，我们来考虑它们的和序列${f_n(x)+g_n(x)}$的一致收敛性。根据一致收敛的定义，对于任意给定的正数$\varepsilon$，由于${f_n(x)}$在$D$上一致收敛于$f(x)$，存在正整数$N_1$，使得当$n>N_1$时，对于一切$x\inD$，都有$|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$；同理，由于${g_n(x)}$在$D$上一致收敛于$g(x)$，存在正整数$N_2$，使得当$n>N_2$时，对于一切$x\inD$，都有$|g_n(x)-g(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$。取$N=\max{N_1,N_2}$，则当$n>N$时，对于一切$x\inD$，有：[\begin{align*}|(f_n(x)+g_n(x))-(f(x)+g(x))|&=|(f_n(x)-f(x))+(g_n(x)-g(x))|\&\leq|f_n(x)-f(x)|+|g_n(x)-g(x)|\&<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\&=\varepsilon\end{align*}]因此，函数序列${f_n(x)+g_n(x)}$在$D$上一致收敛于$f(x)+g(x)$。这表明，两个一致收敛的函数序列之和仍然是一致收敛的，其极限为两个极限函数之和。（二）参数变化对加法运算一致收敛性的影响在实际问题中，我们常常会遇到含有参数的函数序列，例如$f_n(x,t)$，其中$t$是参数，定义在参数集$T$上。此时，我们需要考虑当参数$t$变化时，函数序列${f_n(x,t)}$关于$x$在数集$D$上的一致收敛性是否会受到影响。假设对于每个固定的$t\inT$，函数序列${f_n(x,t)}$在$D$上一致收敛于$f(x,t)$，即对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正整数$N(t)$，使得当$n>N(t)$时，对于一切$x\inD$，都有$|f_n(x,t)-f(x,t)|<\varepsilon$。这里的$N(t)$可能会随着参数$t$的变化而变化。如果存在一个与$t$无关的正整数$N$，使得当$n>N$时，对于一切$t\inT$和$x\inD$，都有$|f_n(x,t)-f(x,t)|<\varepsilon$，则称函数序列${f_n(x,t)}$在$D\timesT$上一致收敛于$f(x,t)$。现在考虑两个含有参数的函数序列${f_n(x,t)}$和${g_n(x,t)}$，假设对于每个固定的$t\inT$，${f_n(x,t)}$在$D$上一致收敛于$f(x,t)$，${g_n(x,t)}$在$D$上一致收敛于$g(x,t)$。那么它们的和序列${f_n(x,t)+g_n(x,t)}$在$D$上关于$x$的一致收敛性是否会受到参数$t$的影响呢？根据前面的结论，对于每个固定的$t\inT$，${f_n(x,t)+g_n(x,t)}$在$D$上一致收敛于$f(x,t)+g(x,t)$。但是，当参数$t$变化时，$N(t)$可能会发生变化。如果$N(t)$在$T$上是有界的，即存在一个正整数$N$，使得对于一切$t\inT$，都有$N(t)\leqN$，那么对于任意给定的正数$\varepsilon$，当$n>N$时，对于一切$t\inT$和$x\inD$，都有：[\begin{align*}|(f_n(x,t)+g_n(x,t))-(f(x,t)+g(x,t))|&\leq|f_n(x,t)-f(x,t)|+|g_n(x,t)-g(x,t)|\&<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\&=\varepsilon\end{align*}]这表明和序列${f_n(x,t)+g_n(x,t)}$在$D\timesT$上一致收敛于$f(x,t)+g(x,t)$。反之，如果$N(t)$在$T$上无界，那么可能不存在这样的与$t$无关的$N$，此时和序列的一致收敛性可能会随着参数$t$的变化而变化。例如，考虑函数序列$f_n(x,t)=\frac{tx}{1+n^2x^2}$和$g_n(x,t)=\frac{tx}{1+n^2x^2}$，其中$x\in(-\infty,+\infty)$，$t\in[0,1]$。对于每个固定的$t\in[0,1]$，当$t=0$时，$f_n(x,0)=0$，显然一致收敛于$0$；当$t\neq0$时，$|f_n(x,t)|=\frac{|t||x|}{1+n^2x^2}\leq\frac{|t|}{2n}$（利用均值不等式$1+n^2x^2\geq2n|x|$），因此对于任意给定的正数$\varepsilon$，取$N(t)=\left\lfloor\frac{|t|}{2\varepsilon}\right\rfloor+1$，当$n>N(t)$时，$|f_n(x,t)-0|<\varepsilon$，即${f_n(x,t)}$在$(-\infty,+\infty)$上一致收敛于$0$。现在考虑和序列${f_n(x,t)+g_n(x,t)}=\left{\frac{2tx}{1+n^2x^2}\right}$。对于每个固定的$t\in[0,1]$，当$t=0$时，和序列一致收敛于$0$；当$t\neq0$时，同样有$|f_n(x,t)+g_n(x,t)|=\frac{2|t||x|}{1+n^2x^2}\leq\frac{|t|}{n}$，取$N(t)=\left\lfloor\frac{|t|}{\varepsilon}\right\rfloor+1$，当$n>N(t)$时，$|f_n(x,t)+g_n(x,t)-0|<\varepsilon$，即和序列在$(-\infty,+\infty)$上一致收敛于$0$。但是，当我们考虑参数$t$在$[0,1]$上变化时，$N(t)=\left\lfloor\frac{|t|}{\varepsilon}\right\rfloor+1$在$t\to0^+$时会趋向于无穷大，因此不存在一个与$t$无关的$N$，使得当$n>N$时，对于一切$t\in[0,1]$和$x\in(-\infty,+\infty)$，都有$|f_n(x,t)+g_n(x,t)-0|<\varepsilon$。这说明和序列${f_n(x,t)+g_n(x,t)}$在$(-\infty,+\infty)\times[0,1]$上不是一致收敛的，尽管对于每个固定的$t\in[0,1]$，它在$(-\infty,+\infty)$上是一致收敛的。三、参数变化时减法运算极限的一致收敛性（一）两个一致收敛函数序列之差的一致收敛性与加法运算类似，我们可以证明两个一致收敛的函数序列之差仍然是一致收敛的。设函数序列${f_n(x)}$在数集$D$上一致收敛于$f(x)$，函数序列${g_n(x)}$在数集$D$上一致收敛于$g(x)$，则对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正整数$N_1$和$N_2$，使得当$n>N_1$时，对于一切$x\inD$，都有$|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$；当$n>N_2$时，对于一切$x\inD$，都有$|g_n(x)-g(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$。取$N=\max{N_1,N_2}$，则当$n>N$时，对于一切$x\inD$，有：[\begin{align*}|(f_n(x)-g_n(x))-(f(x)-g(x))|&=|(f_n(x)-f(x))-(g_n(x)-g(x))|\&\leq|f_n(x)-f(x)|+|g_n(x)-g(x)|\&<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\&=\varepsilon\end{align*}]因此，函数序列${f_n(x)-g_n(x)}$在$D$上一致收敛于$f(x)-g(x)$。这表明，两个一致收敛的函数序列之差仍然是一致收敛的，其极限为两个极限函数之差。（二）参数变化对减法运算一致收敛性的影响对于含有参数的函数序列${f_n(x,t)}$和${g_n(x,t)}$，假设对于每个固定的$t\inT$，${f_n(x,t)}$在$D$上一致收敛于$f(x,t)$，${g_n(x,t)}$在$D$上一致收敛于$g(x,t)$。那么它们的差序列${f_n(x,t)-g_n(x,t)}$在$D$上关于$x$的一致收敛性同样会受到参数$t$的影响。与加法运算类似，对于每个固定的$t\inT$，差序列${f_n(x,t)-g_n(x,t)}$在$D$上一致收敛于$f(x,t)-g(x,t)$。但是，当参数$t$变化时，如果$N(t)$在$T$上是有界的，那么差序列在$D\timesT$上是一致收敛的；否则，差序列可能在$D\timesT$上不一致收敛。例如，考虑函数序列$f_n(x,t)=\frac{tx}{1+n^2x^2}$和$g_n(x,t)=\frac{tx}{2(1+n^2x^2)}$，其中$x\in(-\infty,+\infty)$，$t\in[0,1]$。对于每个固定的$t\in[0,1]$，${f_n(x,t)}$在$(-\infty,+\infty)$上一致收敛于$0$，${g_n(x,t)}$在$(-\infty,+\infty)$上一致收敛于$0$。它们的差序列为${f_n(x,t)-g_n(x,t)}=\left{\frac{tx}{2(1+n^2x^2)}\right}$，对于每个固定的$t\in[0,1]$，差序列在$(-\infty,+\infty)$上一致收敛于$0$。但是，当参数$t$在$[0,1]$上变化时，$N(t)=\left\lfloor\frac{|t|}{2\varepsilon}\right\rfloor+1$在$t\to0^+$时趋向于无穷大，因此不存在一个与$t$无关的$N$，使得当$n>N$时，对于一切$t\in[0,1]$和$x\in(-\infty,+\infty)$，都有$|f_n(x,t)-g_n(x,t)-0|<\varepsilon$。这说明差序列在$(-\infty,+\infty)\times[0,1]$上不是一致收敛的。四、参数变化时乘法运算极限的一致收敛性（一）两个一致收敛函数序列之积的一致收敛性乘法运算的情况相对加法和减法运算要复杂一些。两个一致收敛的函数序列之积不一定是一致收敛的，需要满足一定的条件。首先考虑一种简单的情况：如果函数序列${f_n(x)}$在数集$D$上一致收敛于$f(x)$，且函数序列${g_n(x)}$在数集$D$上一致收敛于$g(x)$，同时${g_n(x)}$在$D$上一致有界，即存在正数$M$，使得对于一切$n\in\mathbb{N}^+$和$x\inD$，都有$|g_n(x)|\leqM$，那么函数序列${f_n(x)g_n(x)}$在$D$上一致收敛于$f(x)g(x)$。证明如下：由于${f_n(x)}$在$D$上一致收敛于$f(x)$，所以对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正整数$N_1$，使得当$n>N_1$时，对于一切$x\inD$，都有$|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2M}$。又因为${f_n(x)}$一致收敛于$f(x)$，所以${f_n(x)}$在$D$上也是一致有界的（一致收敛的函数序列在有界集上一致有界），即存在正数$M'$，使得对于一切$n\in\mathbb{N}^+$和$x\inD$，都有$|f_n(x)|\leqM'$，从而$|f(x)|\leqM'$（因为$|f(x)|=|f(x)-f_n(x)+f_n(x)|\leq|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)|<\frac{\varepsilon}{2M}+M'$，当$\varepsilon$足够小时，$|f(x)|\leqM'+1$，不妨设$|f(x)|\leqM''$，其中$M''$是一个正数）。同时，由于${g_n(x)}$在$D$上一致收敛于$g(x)$，所以存在正整数$N_2$，使得当$n>N_2$时，对于一切$x\inD$，都有$|g_n(x)-g(x)|<\frac{\varepsilon}{2M''}$。取$N=\max{N_1,N_2}$，则当$n>N$时，对于一切$x\inD$，有：[\begin{align*}|f_n(x)g_n(x)-f(x)g(x)|&=|f_n(x)g_n(x)-f_n(x)g(x)+f_n(x)g(x)-f(x)g(x)|\&\leq|f_n(x)||g_n(x)-g(x)|+|g(x)||f_n(x)-f(x)|\&\leqM'\cdot\frac{\varepsilon}{2M''}+M\cdot\frac{\varepsilon}{2M}\&=\frac{M'\varepsilon}{2M''}+\frac{\varepsilon}{2}\end{align*}]由于$M'$和$M''$都是正数，我们可以调整$\varepsilon$的大小，使得$\frac{M'\varepsilon}{2M''}<\frac{\varepsilon}{2}$（例如，当$M'\leqM''$时，显然成立；当$M'>M''$时，取$\varepsilon$足够小，使得$\frac{M'}{2M''}<1$），从而$|f_n(x)g_n(x)-f(x)g(x)|<\varepsilon$。因此，函数序列${f_n(x)g_n(x)}$在$D$上一致收敛于$f(x)g(x)$。如果${g_n(x)}$不是一致有界的，那么两个一致收敛的函数序列之积可能不一致收敛。例如，考虑函数序列$f_n(x)=\frac{1}{n}$，$g_n(x)=nx$，其中$x\in[0,1]$。显然，${f_n(x)}$在$[0,1]$上一致收敛于$0$，${g_n(x)}$在$[0,1]$上逐点收敛于$0$，但不一致收敛（因为当$x=1$时，$g_n(1)=n$，不收敛于$0$）。它们的积序列为${f_n(x)g_n(x)}={x}$，显然在$[0,1]$上一致收敛于$x$。再考虑另一个例子，$f_n(x)=x+\frac{1}{n}$，$g_n(x)=x-\frac{1}{n}$，其中$x\in(-\infty,+\infty)$。${f_n(x)}$在$(-\infty,+\infty)$上一致收敛于$x$，${g_n(x)}$在$(-\infty,+\infty)$上一致收敛于$x$。它们的积序列为${f_n(x)g_n(x)}=\left{x^2-\frac{1}{n^2}\right}$，显然在$(-\infty,+\infty)$上一致收敛于$x^2$。但是，如果我们取$f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{n}$，$g_n(x)=n$，其中$x\in(-\infty,+\infty)$。${f_n(x)}$在$(-\infty,+\infty)$上一致收敛于$0$（因为$|f_n(x)|=\frac{|\sin(nx)|}{n}\leq\frac{1}{n}$），${g_n(x)}$在$(-\infty,+\infty)$上逐点收敛于无穷大，不一致收敛。它们的积序列为${f_n(x)g_n(x)}={\sin(nx)}$，这个序列在$(-\infty,+\infty)$上不一致收敛，因为当$x=\frac{\pi}{2n}$时，$\sin(nx)=1$，当$x=\frac{\pi}{n}$时，$\sin(nx)=0$，不存在一个共同的$N$，使得当$n>N$时，所有的$\sin(nx)$都能同时落在某个函数的$\varepsilon$邻域内。（二）参数变化对乘法运算一致收敛性的影响对于含有参数的函数序列${f_n(x,t)}$和${g_n(x,t)}$，假设对于每个固定的$t\inT$，${f_n(x,t)}$在$D$上一致收敛于$f(x,t)$，${g_n(x,t)}$在$D$上一致收敛于$g(x,t)$，且${g_n(x,t)}$在$D\timesT$上一致有界，即存在正数$M$，使得对于一切$n\in\mathbb{N}^+$，$t\inT$和$x\inD$，都有$|g_n(x,t)|\leqM$。那么，它们的积序列${f_n(x,t)g_n(x,t)}$在$D\timesT$上是否一致收敛于$f(x,t)g(x,t)$呢？根据前面的结论，对于每个固定的$t\inT$，${f_n(x,t)g_n(x,t)}$在$D$上一致收敛于$f(x,t)g(x,t)$。现在需要考虑的是，当参数$t$变化时，是否存在一个与$t$无关的$N$，使得当$n>N$时，对于一切$t\inT$和$x\inD$，都有$|f_n(x,t)g_n(x,t)-f(x,t)g(x,t)|<\varepsilon$。由于${f_n(x,t)}$在$D\timesT$上一致收敛于$f(x,t)$，即对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正整数$N_1$，使得当$n>N_1$时，对于一切$t\inT$和$x\inD$，都有$|f_n(x,t)-f(x,t)|<\frac{\varepsilon}{2M}$。同时，${f_n(x,t)}$在$D\timesT$上一致有界，即存在正数$M'$，使得对于一切$n\in\mathbb{N}^+$，$t\inT$和$x\inD$，都有$|f_n(x,t)|\leqM'$，从而$|f(x,t)|\leqM'$（因为$|f(x,t)|=|f(x,t)-f_n(x,t)+f_n(x,t)|\leq|f(x,t)-f_n(x,t)|+|f_n(x,t)|<\frac{\varepsilon}{2M}+M'$，当$\varepsilon$足够小时，$|f(x,t)|\leqM'+1$，不妨设$|f(x,t)|\leqM''$）。又因为${g_n(x,t)}$在$D\timesT$上一致收敛于$g(x,t)$，所以存在正整数$N_2$，使得当$n>N_2$时，对于一切$t\inT$和$x\inD$，都有$|g_n(x,t)-g(x,t)|<\frac{\varepsilon}{2M''}$。取$N=\max{N_1,N_2}$，则当$n>N$时，对于一切$t\inT$和$x\inD$，有：[\begin{align*}|f_n(x,t)g_n(x,t)-f(x,t)g(x,t)|&\leq|f_n(x,t)||g_n(x,t)-g(x,t)|+|g(x,t)||f_n(x,t)-f(x,t)|\&\leqM'\cdot\frac{\varepsilon}{2M''}+M\cdot\frac{\varepsilon}{2M}\&=\frac{M'\varepsilon}{2M''}+\frac{\varepsilon}{2}\end{align*}]同样，调整$\varepsilon$的大小，使得$\frac{M'\varepsilon}{2M''}<\frac{\varepsilon}{2}$，从而$|f_n(x,t)g_n(x,t)-f(x,t)g(x,t)|<\varepsilon$。因此，积序列${f_n(x,t)g_n(x,t)}$在$D\timesT$上一致收敛于$f(x,t)g(x,t)$。如果${g_n(x,t)}$在$D\timesT$上不是一致有界的，那么积序列可能在$D\timesT$上不一致收敛。例如，考虑函数序列$f_n(x,t)=\frac{1}{n}$，$g_n(x,t)=ntx$，其中$x\in[0,1]$，$t\in[1,+\infty)$。对于每个固定的$t\in[1,+\infty)$，${f_n(x,t)}$在$[0,1]$上一致收敛于$0$，${g_n(x,t)}$在$[0,1]$上一致收敛于$0$（因为$|g_n(x,t)|=ntx\leqnt$，当$n\to\infty$时，$nt\to\infty$，这显然不对，实际上${g_n(x,t)}$在$[0,1]$上逐点收敛于$0$，但不一致收敛，因为当$x=1$时，$g_n(1,t)=nt$，不收敛于$0$）。它们的积序列为${f_n(x,t)g_n(x,t)}={tx}$，显然在$[0,1]\times[1,+\infty)$上不一致收敛于$0$，因为当$t$趋向于无穷大时，$tx$也趋向于无穷大。五、参数变化时除法运算极限的一致收敛性（一）两个一致收敛函数序列之商的一致收敛性除法运算的情况更为复杂，需要满足更多的条件。设函数序列${f_n(x)}$在数集$D$上一致收敛于$f(x)$，函数序列${g_n(x)}$在数集$D$上一致收敛于$g(x)$，且对于一切$x\inD$，$g(x)\neq0$，同时存在正数$\delta$，使得对于一切$n\in\mathbb{N}^+$和$x\inD$，都有$|g_n(x)|\geq\delta$（即${g_n(x)}$在$D$上一致远离零）。那么，函数序列$\left{\frac{f_n(x)}{g_n(x)}\right}$在$D$上一致收敛于$\frac{f(x)}{g(x)}$。证明如下：由于${g_n(x)}$在$D$上一致收敛于$g(x)$，且$g(x)\neq0$，${g_n(x)}$一致远离零，所以$\frac{1}{g_n(x)}$在$D$上是一致有界的，即存在正数$M$，使得对于一切$n\in\mathbb{N}^+$和$x\inD$，都有$\left|\frac{1}{g_n(x)}\right|\leq\frac{1}{\delta}=M$。又因为${g_n(x)}$在$D$上一致收敛于$g(x)$，所以对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正整数$N_1$，使得当$n>N_1$时，对于一切$x\inD$，都有$|g_n(x)-g(x)|<\frac{\delta^2|g(x)|\varepsilon}{2(|f(x)|+1)}$（这里的$\varepsilon$是经过调整的，目的是为了后续的推导方便）。同时，${f_n(x)}$在$D$上一致收敛于$f(x)$，所以存在正整数$N_2$，使得当$n>N_2$时，对于一切$x\inD$，都有$|f_n(x)-f(x)|<\frac{\delta\varepsilon}{2M}$。取$N=\max{N_1,N_2}$，则当$n>N$时，对于一切$x\inD$，有：[\begin{align*}\left|\frac{f_n(x)}{g_n(x)}-\frac{f(x)}{g(x)}\right|&=\left|\frac{f_n(x)g(x)-f(x)g_n(x)}{g_n(x)g(x)}\right|\&=\left|\frac{f_n(x)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g_n(x)}{g_n(x)g(x)}\right|\&\leq\frac{|f_n(x)-f(x)||g(x)|+|f(x)||g(x)-g_n(x)|}{|g_n(x)||g(x)|}\&\leq\frac{\frac{\delta\varepsilon}{2M}\cdot|g(x)|+|f(x)|\cdot\frac{\delta^2|g(x)|\varepsilon}{2(|f(x)|+1)}}{\delta|g(x)|}\&=\frac{\varepsilon}{2M}+\frac{|f(x)|\delta\varepsilon}{2(|f(x)|+1)}\end{align*}]由于$M=\frac{1}{\delta}$，所以$\frac{\varepsilon}{2M}=\frac{\delta\varepsilon}{2}$。又因为$\frac{|f(x)|}{|f(x)|+1}<1$，所以$\frac{|f(x)|\delta\varepsilon}{2(|f(x)|+1)}<\frac{\delta\varepsilon}{2}$，从而$\left|\frac{f_n(x)}{g_n(x)}-\frac{f(x)}{g(x)}\right|<\frac{\delta\varepsilon}{2}+\frac{\delta\varepsilon}{2}=\delta\varepsilon$。调整$\varepsilon$的大小，使得$\delta\varepsilon<\varepsilon'$（其中$\varepsilon'$是任意给定的正数），即$\varepsilon<\frac{\varepsilon'}{\delta}$，则$\left|\frac{f_n(x)}{g_n(x)}-\frac{f(x)}{g(x)}\right|<\varepsilon'$。因此，函数序列$\left{\frac{f_n(x)}{g_n(x)}\right}$在$D$上一致收敛于$\frac{f(x)}{g(x)}$。如果${g_n(x)}$不是一致远离零的，那么两个一致收敛的函数序列之商可能不一致收敛。例如，考虑函数序列$f_n(x)=1$，$g_n(x)=\frac{1}{n}+x$，其中$x\in(0,1]$。显然，${f_n(x)}$在$(0,1]$上一致收敛于$1$，${g_n(x)}$在$(0,1]$上一致收敛于$x$。它们的商序列为$\left{\frac{f_n(x)}{g_n(x)}\right}=\left{\frac{1}{\frac{1}{n}+x}\right}$，这个序列在$(0,1]$上不一致收敛于$\frac{1}{x}$。因为对于任意给定的正数$\varepsilon$，取$x=\frac{1}{n}$，则$\left|\frac{1}{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}}-\frac{1}{\frac{1}{n}}\right|=\left|\frac{n}{2}-n\right|=\frac{n}{2}$，当$n>\frac{2}{\varepsilon}$时，$\frac{n}{2}>\varepsilon$，不满足一致收敛的定义。（二）参数变化对除法运算一致收敛性的影响对于含有参数的函数序列${f_n(x,t)}$和${g_n(x,t)}$，假设对于每个固定的$t\inT$，${f_n(x,t)}$在$D$上一致收敛于$f(x,t)$，${g_n(x,t)}$在$D$上一致收敛于$g(x,t)$，且对于一切$x\inD$和$t\inT$，$g(x,t)\neq0$，同时存在正数$\delta$，使得对于一切$n\in\mathbb{N}^+$，$t\inT$和$x\inD$，都有$|g_n(x,t)|\geq\delta$（即${g_n(x,t)}$在$D\timesT$上一致远离零）。那么，它们的商序列$\left{\frac{f_n(x,t)}{g_n(x,t)}\right}$在$D\timesT$上是否一致收敛于$\frac{f(x,t)}{g(x,t)}$呢？根据前面的结论，对于每个固定的$t\inT$，$\left{\frac{f_n(x,t)}{g_n(x,t)}\right}$在$D$上一致收敛于$\frac{f(x,t)}{g(x,t)}$。现在需要考虑的是，当参数$t$变化时，是否存在一个与$t$无关的$N$，使得当$n>N$时，对于一切$t\inT$和$x\inD$，都有$\left|\frac{f_n(x,t)}{g_n(x,t)}-\frac{f(x,t)}{g(x,t)}\right|<\varepsilon$。由于${g_n(x,t)}$在$D\timesT$上一致远离零，所以$\frac{1}{g_n(x,t)}$在$D\timesT$上一致有界，即存在正数$M$，使得对于一切$n\in\mathbb{N}^+$，$t\inT$和$x\inD$，都有$\left|\frac{1}{g_n(x,t)}\right|\leq\frac{1}{\delta}=M$。又因为${g_n(x,t)}$在$D\timesT$上一致收敛于$g(x,t)$，所以对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正整数$N_1$，使得当$n>N_1$时，对于一切$t\inT$和$x\inD$，都有$|g_n(x,t)-g(x,t)|<\frac{\delta^2\min_{t\inT,x\inD}|g(x,t)|\varepsilon}{2(\max_{t\inT,x\inD}|f(x,t)|+1)}$（这里假设$\min_{t\inT,x\inD}|g(x,t)|>0$，$\max_{t\inT,x\inD}|f(x,t)|<+\infty$）。同时，${f_n(x,t)}$在$D\timesT$上一致收敛于$f(x,t)$，所以存在正整数$N_2$，使得当$n>N_2$时，对于一切$t\inT$和$x\inD$，都有$|f_n(x,t)-f(x,t)|<\frac{\delta\varepsilon}{2M}$。取$N=\max{N_1,N_2}$，则当$n>N$时，对于一切$t\inT$和$x\inD$，有：[\begin{align*}\left|\frac{f_n(x,t)}{g_n(x,t)}-\frac{f(x,t)}{g(x,t)}\right|&\leq\frac{|f_n(x,t)-f(x,t)||g(x,t)|+|f(x,t)||g(x,t)-g_n(x,t)|}{|g_n(x,t)||g(x,t)|}\&\leq\frac{\frac{\delta\varepsilon}{2M}\cdot|g(x,t)|+|f(x,t)|\cdot\frac{\delta^2\min_{t\inT,x\inD}|g(x,t)|\varepsilon}{2(\max_{t\inT,x\inD}|f(x,t)|+1)}}{\delta|g(x,t)|}\&=\frac{\varepsilon}{2M}+\frac{|f(x,t)|\delta\min_{t\inT,x\inD}|g(x,t)|\varepsilon}{2(\max_{t\inT,x\inD}|f(x,t)|+1)|g(x,t)|}\end{align*}]由于$M=\frac{1}{\delta}$，所以$\frac{\varepsilon}{2M}=\frac{\delta\varepsilon}{2}$。又因为$\frac{|f(x,t)|\min_{t\inT,x\inD}|g(x,t)|}{(\max_{t\inT,x\inD}|f(x,t)|+1)|g(x,t)|}\leq\frac{\max_{t\inT,x\inD}|f(x,t)|\min_{t\inT,x\inD}|g(x,t)|}{(\max_{t\inT,x\inD}|f(x,t)|+1)\min_{t\inT,x\inD}|g(x,t)|}=\frac{\max_{t\inT,x\inD}|f(x,t)|}{\max_{t\inT,x\inD}|f(x,t)|+1}<1$，所以$\frac{|f(x,t)|\delta\min_{t\inT,x\inD}|g(x,t)|\varepsilon}{2(\max_{t\inT,x\inD}|f(x,t)|+1)|g(x,t)|}<\frac{\delta\varepsilon}{2}$，从而$\left|\frac{f_n(x,t)}{g_n(x,t)}-\frac{f(x,t)}{g(x,t)}\right|<\frac{\delta\varepsilon}{2}+\frac{\delta\varepsilon}{2}=\delta\varepsilon$。调整$\varepsilon$的大小，使得$\delta\varepsilon<\varepsilon'$，则$\left|\frac{f_n(x,t)}{g_n(x,t)}-\frac{f(x,t)}{g(x,t)}\right|<\varepsilon'$。因此，商序列$\left{\frac{f_n(x,t