2027年高考数学一轮复习(创新设计)第3节　导数与函数的单调性(二)

第3节导数与函数的单调性(二)课标要求1.会根据函数的单调性求参数的范围.2.会利用函数的单调性解不等式、比较函数值的大小.考点一利用单调性求参数范围例1(1)已知函数f(x)=x2+ax,若函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,则实数aA.(-∞,8) B.(-∞,16]C.(-∞,-8] D.(-∞,-16)(2)若函数f(x)=x+alnx在(1,2)上存在单调递减区间,则实数a的取值范围是.

答案(1)B(2)(-∞,-1)解析(1)根据题意,函数f(x)=x2+ax,其导数f'(x)=2x-a若函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,则f'(x)=2x-ax2≥0在[2,+∞)即a≤2x3在[2,+∞)上恒成立,所以只需a≤(2x3)min,又(2x3)min=16,故a≤16.(2)因为f(x)在(1,2)上存在单调递减区间,则f'(x)=1+ax<0在(1,2)上有解当x∈(1,2)时,a<-x有解,又当x∈(1,2)时,(-x)max=-1(此时x=1),所以实数a的取值范围是(-∞,-1).感悟提升根据函数单调性求参数的方法(1)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且在(a,b)内的任一非空子区间上,f'(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解.(2)函数在区间(a,b)上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集.(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f'(x)=0在(a,b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).训练1(1)(2026·湘潭质检)若函数f(x)=ex-a+1-x在区间(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-1] B.(-∞,1)C.[0,+∞) D.(-∞,1](2)已知函数f(x)=(1-x)lnx+ax在(1,+∞)上不单调,则a的取值范围是()A.(0,+∞) B.(1,+∞)C.[0,+∞) D.[1,+∞)答案(1)D(2)A解析(1)由f(x)=ex-a+1-x,得f'(x)=ex-a+1-1.因为函数f(x)=ex-a+1-x在区间(0,+∞)上单调递增,所以f'(x)=ex-a+1-1≥0在区间(0,+∞)上恒成立,且f'(x)不恒为0,所以x-a+1≥0在区间(0,+∞)上恒成立,即a≤x+1在区间(0,+∞)上恒成立,所以a≤1.(2)依题意f'(x)=-lnx+1x+a-1故f'(x)在(1,+∞)上有零点,令g(x)=-lnx+1x+a-1令g(x)=0,得a=lnx-1x+1令z(x)=lnx-1x+1,则z'(x)=1x+由x>1,得z'(x)>0,z(x)在(1,+∞)上单调递增,又由z(1)=0,得z(x)>0,故a=z(x)>0,所以a的取值范围是(0,+∞).考点二利用单调性比较大小例2(1)已知函数f(x)=xsinx,x∈R,则fπ5,f(1),f−π3的大小关系为(2)(2026·合肥调研)已知函数f(x)=cosx+ex,且a=f(2),b=f12,c=f(ln2),则a,b,cA.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.b<c<a答案(1)fπ5<f(1)<f−解析(1)由题意易得f(x)是偶函数,所以f−π3=f又当x∈0,π2时,f'(x)=sinx+xcos所以f(x)在0,π所以fπ5<f(1)<fπ即fπ5<f(1)<f−(2)f'(x)=-sinx+ex,当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为2>ln2>lne=12所以f12<f(ln2)<f(2),即b<c<a.故选感悟提升利用导数比较大小,其关键在于利用题目条件判断已知(或构造后的)函数的单调性,利用其单调性比较大小.训练2已知函数f(x)=lnx-xex,设a=f32,b=f(2),c=fA.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b答案C解析易知f'(x)=e=ex又x∈(0,+∞)时,ex>1,x−122-所以f'(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f73>f(2)>f32,即c>b>考点三利用单调性解不等式例3(2026·金华质检)设函数f(x)=ex-1ex-2x,若f(a-3)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围为答案−解析根据题意,函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex+1ex-易知f'(x)≥0恒成立,则函数f(x)在R上为增函数,又f(-x)=e-x-ex+2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,则原不等式等价于f(a-3)≤-f(2a2),即f(a-3)≤f(-2a2)等价于a-3≤-2a2,解得-32≤a≤感悟提升利用函数的单调性解不等式,其关键是先判断函数的单调性,再利用函数单调性脱去函数外衣,转化为较为简单的不等式解决即可,易错之处为忽视函数的定义域.训练3(2026·西安模拟)已知函数f(x)=12x2-2x+lnx.若f(a+1)≥f(2a-1),则aA.(-∞,-1] B.(-1,2]C.[2,+∞) D.1答案D解析因为f(x)=12x2-2x+lnx,x∈(0,+∞)所以f'(x)=x-2+1x==(x−1)2所以f(x)是增函数,所以若f(a+1)≥f(2a-1),则a+1≥2a-1>0,解得12<a≤2.六大超越函数的图象在导数的应用中常用到以下函数,记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果.典例(1)(2026·福州调研)已知函数f(x)=x-1+1ex,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,则实数k的最大值为(2)若a=lnππ,b=1e,c=ln1515,则a,b,c答案(1)1(2)b>a>c解析(1)依题意得方程x-1+1ex=kx-1即方程1ex=(k-1)x①k=1时,方程化为1ex=0,在R②k≠1时,方程化为1k−1=xex,即y=1k−1与y=x结合y=xex的图象,得1k−1<-1e,解得1-综上,k的最大值为1.(2)设f(x)=lnxx,由图可得f(x)在(e,+∞)则a=lnππ=f(π)b=1e=lnee=fc=ln1515=f(15∵e<π<15,∴f(e)>f(π)>f(15),∴b>a>c.训练若2x=3y=5z,且x,y,z都是正数,则2x,3y,5z从小到大依次为.

答案3y<2x<5z解析设2x=3y=5z=t>1,则x=log2t,y=log3t,z=log5t.则2x=2log2t=2lntln2,3y=3log3t=3lntln3,5z=5log5故比较2x,3y,5z,只需比较2ln2,3ln3,设f(x)=xlnx,由图可得f(x)在(e,+∞)又f(2)=2ln2=4ln4=f∴3ln3<4ln4<∵t>1,∴lnt>0,∴3y<2x<5z.一、单选题1.已知函数f(x)=13ax3+x2+x+4,则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C解析由题意知,f'(x)=ax2+2x+1,若f(x)在R上单调递增,则f'(x)≥0恒成立,则a>0,Δ=4−4a故“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件.2.(2026·南通质检)已知函数f(x)=2x-sinx,则下列结论正确的是()A.f(2.7)<f(π)<f(e)B.f(π)<f(e)<f(2.7)C.f(e)<f(2.7)<f(π)D.f(2.7)<f(e)<f(π)答案D解析f'(x)=2-cosx,因为cosx∈[-1,1],所以f'(x)>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为2.7<e<π,所以f(2.7)<f(e)<f(π),故选D.3.已知函数f(x)=x3+2x-sinx,若f(2a2)+f(a-1)≤0,则实数a的取值范围为()A.−∞,−12∪B.−C.(-∞,-1]∪1D.−1答案D解析函数f(x)=x3+2x-sinx的定义域为R,f(-x)=(-x)3+2(-x)-sin(-x)=-f(x),故函数f(x)是奇函数.又f'(x)=3x2+2-cosx>0恒成立,所以函数f(x)在R上单调递增,不等式f(2a2)+f(a-1)≤0,即f(2a2)≤-f(a-1),从而f(2a2)≤f(-a+1)等价于2a2≤-a+1,解得-1≤a≤12所以实数a的取值范围为−1,4.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为()A.e2 B.eC.e-1 D.e-2答案C解析依题可知,f'(x)=aex-1x≥0在(1,2)上恒成立,显然a>0所以xex≥1a在(1,2)上恒成立设g(x)=xex,x∈(1,2),所以g'(x)=(x+1)ex>0,所以g(x)在(1,2)上单调递增,g(x)>g(1)=e,故e≥1a即a≥1e=e-1,即a的最小值为e-15.若f(x)=-13x3+12x2+2ax在(1,+∞)上存在单调递增区间,则A.(-∞,0] B.(-∞,0)C.[0,+∞) D.(0,+∞)答案D解析f(x)=-13x3+12x2+2ax在(1,+∞)只需f'(x)>0在(1,+∞)上有解即可.由已知得f'(x)=-x2+x+2a,该函数图象开口向下,对称轴为x=12故f'(x)在(1,+∞)上单调递减,所以f'(1)=2a>0,解得a>0.6.(2026·湖北名校联考)函数f(x)=sinπ3x-2ax在R上不单调,则A.−12,C.−π6,答案D解析f'(x)=π3cosπ3x-因为函数f(x)在R上不单调,所以函数f'(x)有零点,所以方程π3cosπ3x-2a所以直线y=2a与函数g(x)=π3cosπ3x的图象有交点(且交点非函数g(x)因为函数g(x)的值域为−π所以a∈−π6,7.(2026·汉中模拟)已知函数f(x)=(ex+e-x)·x2,若满足f(log3m)-e-1e<0,则实数mA.0,13C.(0,3) D.(3,+∞)答案B解析∵f(x)的定义域为R,f(-x)=(e-x+ex)(-x)2=(e-x+ex)x2=f(x),∴f(x)为偶函数.∵f'(x)=(ex-e-x)x2+2x(ex+e-x),∴f'(0)=0,当x>0时,ex>1,0<e-x<1,∴ex-e-x>0,∴f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.∵f(log3m)-e-1e<0即f(log3m)<e+1e=f(1)即f(log3m)<f(1).∵f(x)=(ex+e-x)x2在(0,+∞)上单调递增且为偶函数,∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴|log3m|<1,即-1<log3m<1,解得13<m<3∴实数m的取值范围为13二、多选题8.若函数f(x)=12x2-9lnx在区间[m-1,m+1]上单调,则实数mA.1 B.2C.3 D.4答案BD解析f'(x)=x-9x=x2−9x令f'(x)>0,得x>3,令f'(x)<0,得0<x<3,所以函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞),单调递减区间为(0,3),因为函数f(x)在区间[m-1,m+1]上单调,所以m−1>0,m+1≤3,解得1<m≤2或m≥4.结合选项,可选BD.9.已知函数f(x)=x−1xlnx,且a=f23,b=f45,c=fA.a>b B.b>aC.c>b D.c>a答案ACD解析由f(x)=x−1xln得f'(x)=1+1x2lnx当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,因为c=f1e,0<1e<23<所以f1e>f23>f故c>a>b.结合选项,可选ACD.三、填空题10.已知函数f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上有f'(x)>0,若f(-1)=0,则关于x的不等式xf(x)<0的解集是.

答案(-∞,-1)∪(0,1)解析在(0,+∞)上f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1)=0,且f(x)在(-∞,0)上单调递减,f(x)的示意图如图所示,所以xf(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).11.(2026·鄂州模拟)已知函数f(x)=(x2+1)12-ax在[0,+∞)上单调递减,则a的取值范围为答案[1,+∞)解析对f(x)=(x2+1)12-ax求导得f'(x)=12(x2+1)−12·2x-依题意,得∀x∈[0,+∞),f'(x)≤0恒成立,即a≥xx2而当x≥0时,xx2+1=则a≥1,所以a的取值范围为[1,+∞).12.已知函数f(x)=1ex-ex+2x-13x3,若f(3a2)+f(2a-1)≥0,则实数a的取值范围是答案−1解析由题意得f'(x)=-1ex-ex+2-x2=-ex+1因为ex+1ex≥2ex·1ex=2,当且仅当x=0时等号成立,所以所以f(x)在R上单调递减,又f(x)=-f(-x),所以f(x)为奇函数,所以f(3a2)+f(2a-1)≥0,即f(3a2)≥-f(2a-1)=f(1-2a),即3a2≤1-2a,解得-1≤a≤13四、解答题13.已知函数f(x)=lnx-12ax2-2x(a≠(1)若f(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围;(2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间,求实数a的取值范围.解(1)因为f(x)在[1,4]上单调递减,所以当x∈[1,4]时,f'(x)=1x-ax-2≤0恒成立即a≥1x2-2设G(x)=1x2-2x,x∈[1所以a≥G(x)max,而G(x)=1x−12因为x∈[1,4],所以1x∈1所以G(x)max=-716(此时x=4)所以a≥-