2026-2027学年九年级数学上册第五章二次函数单元测试卷北师大版

2026-2027学年九年级数学上册第五章二次函数单元测试卷北师大版一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知抛物线y＝（3m﹣1）x2的开口向下，则m的取值范围是（）A． B． C． D．2．（3分）若是关于x的二次函数y＝（a+3）x|a|﹣1﹣x+1，则a的值是（）A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣3或33．（3分）二次函数y＝x2+2的顶点是（）A．（0，2） B．（2，0） C．（1，3） D．（﹣1，3）4．（3分）若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y35．（3分）校园科技节的手工展上，小明设计了一款抛物线形的趣味投篮架．已知篮球架的轮廓抛物线表达式为：y＝x2﹣4mx+2m2+3m+2（其中x为水平距离，y为高度，单位：米）．根据比赛规则，投篮架的顶点（即抛物线最高点）必须落在直线y＝x+1上，才能确保投篮轨迹与得分线完美契合．求满足条件的m的值为（）A．1或 B．2或 C．1或 D．2或6．（3分）如图，在同一坐标系中，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝ax+b的图象大致是（）A． B． C． D．7．（3分）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（）A．最小值﹣2 B．最小值2 C．最大值﹣2 D．最大值28．（3分）某文创店销售一种珍珠饰品，每个进价为15元．调查发现，当售价为20元时，平均每天能售出100个；而当售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个珍珠饰品的售价降低x元，则这种珍珠饰品平均每天的销售利润w与x的关系式为（）A．w＝5×（100+5x） B．w＝（5﹣x）（100+5x） C．w＝（5+x）（100+5x） D．w＝（5﹣x）（100﹣5x）9．（3分）标枪是一项技巧与力量相结合的田径运动．在一名运动员投掷标枪后，标枪的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，标枪的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为，则标枪落地点到运动员的距离为（）A．65m B．66m C．67m D．68m10．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2-2ax+a-3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（）A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于-3 D．当x=2时，y＜0二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）抛物线y＝（x﹣4）2﹣3的顶点坐标为．12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ab（选填“＞”或“＜”）．13．（3分）二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为．14．（3分）如图是二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象，使y≥0成立的x的取值范围是．15．（3分）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为．16．（3分）二次函数y＝﹣（x﹣5）2﹣4的最大值是．17．（3分）用一根长为12m的铁丝围成一个长方形，则这个长方形面积的最大值是．18．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c≤0的解集为．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）已知二次函数的图象经过点（3，0），（2，﹣5），并以直线x＝0为对称轴，求该二次函数的表达式．20．（8分）如图，学校打算用长16m的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），设AB＝xm，求围成的生物园的最大面积．21．（8分）已知是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．（1）求k的值，并写出对称轴和顶点坐标；（2）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为．22．（10分）某体育用品店的“某品牌衬衫”每天销售20件，每件衬衫盈利40元．该体育用品店决定降价销售该品牌衬衫，经过市场调查发现：如果衬衫每降价1元，则每天多售出2件，设该品牌衬衫每件降价x元，每天销售y件．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，不要求写出自变量的取值范围；（2）如果该体育用品店销售该品牌衬衫每天盈利1250元，那么衬衫每件降价了多少元？23．（10分）掷实心球是中考体育考试项目之一．图1是一名男生在掷实心球，球的行进路线可近似看作抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为1.8m．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.4m处．（1）求y关于x的函数表达式．（2）若实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10m时，则该男生可得满分，请问此次投掷是否能得满分，说明理由．24．（10分）已知二次函数y＝x2+mx+4﹣m（m为常数）．（1）若该二次函数的图象与y轴交于点（0，﹣1），①求该二次函数的表达式；②求x的取值范围，使得y随x的增大而增大；（2）若对于任意实数x，都有x2+mx+4﹣m≥3x+2，且二次函数y＝x2+mx+4﹣m的图象与直线y＝a交于M，N两点，若，求a的值．25．（12分）某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）]销售单价x（元）7582日销售量y（件）15080日销售利润w（元）52503360（1）根据以上信息，求y关于x的函数关系式．（2）求该商品日销售利润的最大值．（3）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（m＞0），该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求m的值．

参考答案一．选择题1．解：∵抛物线y＝（3m﹣1）x2的开口向下，∴3m﹣1＜0，解得：m＜，故选：A．2．解：根据二次函数定义可得：，由|a|﹣1＝2，得|a|＝3，即a＝3或a＝﹣3，又∵a+3≠0，∴a≠﹣3，∴a＝3．故选：C．3．解：由题意，∵二次函数为y＝x2+2，∴其顶点为（0，2）．故选：A．4．解：由题知，因为二次函数的解析式为y＝，所以抛物线的开口向下且对称轴为直线x＝1，则抛物线上的点，离对称轴越近，其纵坐标越大．因为A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在该抛物线上，则1﹣（﹣2）＝3，1﹣1＝0，3﹣1＝2且0＜2＜3，所以y2＞y3＞y1．故选：A．5．解：对抛物线解析式配方可得：y＝x2﹣4mx+2m2+3m+2＝（x﹣2m）2﹣2m2+3m+2，∴抛物线的顶点坐标为（2m，﹣2m2+3m+2），∵顶点落在直线y＝x+1上，∴将顶点坐标代入直线方程得：﹣2m2+3m+2＝2m+1，整理得2m2﹣m﹣1＝0，因式分解得（m﹣1）（2m+1）＝0，解得m＝1或．故选：C．6．解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项不符合题意；C、由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，且交x轴于同一点，故本选项符合题意；故选：D．7．解：把（1，3）代入y＝x2+mx+n得3＝1+m+n，∴n＝﹣m+2，∴mn+1＝m（﹣m+2）+1＝﹣m2+2m+1＝﹣（m﹣1）2+2；所以mn+1有最大值2，故选：D．8．解：由题意可得，w＝（20﹣15﹣x）（100+5x）＝（5﹣x）（100+5x），故选：B．9．解：标枪落地时y＝0，当时，因式分解得：（x﹣66）（x+1）＝0，∴x﹣66＝0或x+1＝0，解得：x1＝66，x2＝﹣1（舍去负值），故标枪落地点到运动员的距离为66m．故选：B．10．解：由题意可得，

∵方程ax2-2ax+a-3=0的两根异号，

∴解得0＜a＜3，

∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意；

∵y=ax2-2ax+a-3（a≠0）的对称轴为直线∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意；

∵当x=1时，y=-3，

∴最小值为-3，故C不符合题意；

当x=2时，y=4a-4a+a-3=a-3，

∵0＜a＜3，

∴此时y＜0，故D符合题意；

故选：D．二．填空题11．解：抛物线y＝（x﹣4）2﹣3的顶点坐标为（4，﹣3），故答案为：（4，﹣3）．12．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴，即＜0，∵a＞0，∴b＜0，∴a＞b．故答案为：＞．13．解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），∴a﹣b＝m且a+b＝m+2，∴2a＝2m+2．∴a＝m+1＜0．∴m＜﹣1．故答案为：m＜﹣1．14．解：令﹣x2+2x+3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x2＝3，x1＝﹣1，由图象得：使y≥0成立的x的取值范围是﹣1≤x≤3．故答案为：﹣1≤x≤3．15．解：根据题意得：y＝（x﹣2）[50+10（13﹣x）]整理得：y＝﹣10x2+200x﹣360．故答案为：y＝﹣10x2+200x﹣360．16．解：由题意得，二次函数的开口向下，顶点为（5，﹣4），∴函数有最大值﹣4，故答案为：﹣4．17．解：设围成的长方形的长为xm，则宽为（6﹣x）m，围成的长方形的面积是x（6﹣x）＝（﹣x2+6x）（m2）．﹣x2+6x＝﹣（x2﹣6x+9﹣9）＝﹣（x﹣3）2+9．∵﹣（x﹣3）2≤0，∴﹣（x﹣3）2+9≤9，∴﹣x2+6x的最大值是9．答：能围成的长方形的最大面积是9m2．故答案为：9m2．18．解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，即抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称，∴另一个交点的坐标为（3，0），∵不等式ax2+bx+c≤0，即y＝ax2+bx+c≤0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的图象在x轴及下方，∴不等式ax2+bx+c≤0的解集是x≤﹣5或x≥3．故答案为：x≤﹣5或x≥3．三．解答题19．解：∵该二次函数的图象以直线x＝0为对称轴，∴设该二次函数的表达式为y＝ax2+c（a≠0），将（3，0），（2，﹣5）代入y＝ax2+c，得：，解得：，∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣9．20．解：设AB＝xm，∴BC＝16﹣2x．∴0＜x＜8，生物园的面积y＝x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x．又y＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴当x＝4时，y取得最大值，最大值为32．答：当x＝4时，面积最大为32m2．21．解：（1）由条件可知k2+k﹣4＝2，解得k＝2或k＝﹣3，∵当x＜0时，y随x的增大而增大，∴k+2＜0，∴k＜﹣2，∴k＝﹣3，∴y＝﹣x2，∴抛物线的对称轴为直线x＝0，即y轴，顶点坐标为（0，0）；（2）列表如下：x⋯﹣4﹣2﹣10124⋯y＝﹣x2⋯﹣16﹣4﹣10﹣1﹣4﹣16⋯画函数图象如下：由函数图象可得，当﹣2≤x＜4时，y的范围为﹣16＜y≤0，故答案为：﹣16＜y≤0．22．解：（1）根据题意得：y＝20+2x，即y＝2x+20；（2）根据题意得：（40﹣x）（2x+20）＝1250，整理得：x2﹣30x+225＝0，解得：x1＝x2＝15．答：衬衫每件降价了15元．23．解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为（4，3.4），过点（0，1.8），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4，将点（0，1.8）代入得：1.8＝（0﹣4）2a+3.4，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4；（2）此次投掷不能得满分；理由如下：当y＝0时，得：﹣0.1（x﹣4）2+3.4＝0，解得：或（不合题意，舍去），∵，∴此次投掷不能得满分．24．解：（1）①二次函数的图象与y轴交于点（0，﹣1），∴二次函数的图象过点（0，﹣1），∴4﹣m＝﹣1，∴m＝5，∴y＝x2+5x﹣1；②∵二次函数的对称轴为直线，a＝1＞0，∴当时，y随x的增大而增大；（2）∵x2+mx+4﹣m≥3x+2恒成立，即x2+（m﹣3）x+2﹣m≥0恒成立，∴Δ＝（m﹣3）2﹣4（2﹣m）≤0，∴（m﹣1）2≤0，∴m＝1，∴y＝x2+x+3，联立y＝x2+x+3与y＝a，可得x2+x+（3﹣a）＝0，∴，∴，∵，∴，∴1﹣4（3﹣a）＝3，∴若，则．25．解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，把（75，150），（82，80）代入得：，解得：k＝﹣10，b＝900，∴y＝﹣10x+900；（2）由题意得该商