苏科版数学八年级上册 3.3 勾股定理的简单应用 同步分层练习

苏科版数学八年级上册3.3勾股定理的简单应用同步分层练习一、夯实基础1．“今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，AB=5，DC=1，BD=BA，则AC是（）A．8 B．4 C．5 D．32．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（）A．2m B．2.4m C．2.7m D．2.8m4．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了()m路，却踩伤了花草.

A．1 B．5 C．2 D．75．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）．A．30m B．25m C．18m D．17m6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A, B, C, D的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形E的面积是（）A．10 B．12 C．28 D．307．如图，圆柱的主视图与俯视图如图所示，一只蚂蚁从A点沿着圆柱的侧面爬行到B点的最短路线长为cm.8．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm.9．如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点C处用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了米（BD的长）（假设绳子是直的）．二、能力提升10．我国古代有这样一个数学问题，其题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，该圆柱的高AB为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则葛藤的最短长度是()A．20尺 B．22尺 C．25尺 D．30尺11．如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm，则点C到AB的距离为()cm．A．725 B．365 C．144512．如图所示，是一块由花园小道围成的正方形绿地，AC=24米，在离C处7米的绿地旁边B处有健身器材，为提醒居住在A处的居民爱护绿地，不直接穿过绿地从A到B，而是沿小道从A→C→B，请问沿小道从A→C→B与从A沿直线到B相比多走了米.13．如图，在水塔O的东北方向32m处有一座抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一个建筑工地B，在A，B间建一条直水管，则水管的长为.14．如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，AD：BD=1：0.5，云梯底部离地面的距离BC为2m。求云梯的顶端离地面的距离AE(结果精确到0.1m，参考数据：5≈2.24)。15．实验探究：实验情景示意图实验使用装置①一根不可伸缩的绳子绕过一个固定的轮子A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（A、B、C可以视作三个点）②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度．初始状态（图1）AC垂直BC,AC=8dm，且AB+BC=16dm，设AB=xdm．实验条件绳子始终绷紧，轮子、滑块及物体的大小均可忽略．任务：（1）求绳子的总长度；（2）（图2）若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离．三、拓展创新16．【综合与实践】在学习了勾股定理之后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为他们项目式学习活动的主题.小组成员利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告.请你根据活动报告，帮助同学们解决问题.活动项目测量风筝的垂直高度EF.测量工具皮尺等.示意图测量方案假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，先测量放风筝的手到风筝的水平距离BD，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线的长度BF，最后测量牵线放风筝的手到地面的距离AB.测量数据BD=16米，BF=20米，AB=DE=1.7米，∠BDF=90°.问题解决任务一求此时风筝的垂直高度EF；任务二若放风筝的同学站在点A不动，想要把风筝沿DC方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即：CF=18米，点C、点F、点D在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内)，则还需要放出风筝线多少米?17．【问题背景】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）【探索求证】图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”的示意图，Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置，连接CD，其中∠A=∠B=∠DEC=90°，请你利用图②推导勾股定理．（2）【问题解决】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB= AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH =2.4千米，HB=1.8千米，问新路（3）【延伸扩展】如图④，已知AC=4，BC=5，AB=6，CD⊥AB，设AD=x，求x的值．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：结合条件和图中信息可知，BD=AB=5，

∴BC=BD-DC=5-1=4，

在Rt△ACB中，AC=AB2−BC2．【答案】A【解析】【解答】解：92+122=15cm，即铅笔在笔筒里的最长长度为15cm，

当铅笔和侧壁贴着放置，并且和笔筒底面垂直的时候，此时铅笔在笔筒里的长度为12cm，

∴铅笔在笔筒里面部分的最小长度为12cm，最大长度为15cm，

18-12=6cm，18-15=3cm，

∴这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm到6cm之间，

3．【答案】C【解析】【解答】解：在Rt△ABC中

AB=AC2+BC2=2.5

∴A'B=2.5故答案为：C【分析】根据勾股定理，结合边之间的关系即可求出答案.4．【答案】C【解析】【解答】解：∵直角三角形两条直角边长分别为3m，4m，

由勾股定理，得斜边长为32+42=5m，

正常绕行路程：3+4=7m，

5．【答案】D【解析】【解答】解：如图，由勾股定理可得，AC=A由平移的性质可得，地毯的长度至少需要AC+BC=12+5=17m【分析】首先根据勾股定理，计算出筷子在水杯中竖直放置时，留在水杯内部分的最大长度，再结合平移的知识，就能得到露在水杯外面部分的筷子长度的最小值.6．【答案】D【解析】【解答】解：如图，由勾股定理得，正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=3同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积=2∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=30．

故选：D

【分析】根据题意可得，正方形A的面积，正方形B的面积分别为9,16，根据勾股定理，由正方形A, B 的面积可以得到正方形F的面积为25，同理可以的到正方形G的面积为5，再由勾股定理可得正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积，即可求解．7．【答案】5π【解析】【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，

∵BC=4πcm，AC为底面半圆弧长，即AC=12×6π=3π（cm）

∴AB=(3π)故答案为：5π.【分析】把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，根据题意可得出BC=4πcm，AC=12×6π=3π8．【答案】20【解析】【解答】解：如图：

将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A'，

连接A'B，则A'B即为最短距离

A'B=A'D故答案为：20.【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A'B的长度即为所求.9．【答案】9【解析】【解答】在Rt△ABC中：∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米，

∴AB=BC∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，

∴CD=17−1×7=10（米），

∴AD=CD∴BD=AB−AD=15−6=9（米），

答：船向岸边移动了9米．

故答案为：9．【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，解题的思路是分两次利用勾股定理，先求出初始时船到岸边的距离AB，再求出收绳后船到岸边的距离AD，最后通过线段差求出BD。首先在RtΔABC中，已知AC=8m，BC=17m，根据勾股定理AB=BC2−AC2求出AB的长度；再根据收绳速度和时间求出CD的长度为10．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，

∵BC=20尺，AC=5×3=15(尺)，

∴AB=152+202【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化为下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出.11．【答案】A【解析】【解答】解：已知AC=24cm，CB=18cm，AB=30cm，

计算平方，得242=576，182=324，302=900，

∵576+324=900，即AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．

设点C到AB的距离为h，

∵直角三角形面积两种表示方法相等，

∴12×AC×BC=12×AB×h，即24×18=30h，解得h=43230=7212．【答案】6【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB为斜边

∴AB=AC2故答案为：6.【分析】在直角△ABC中，AB为斜边，已知AC，BC，则根据勾股定理可以求斜边AB，根据少走的距离为AC+BC-AB可以求解.13．【答案】40【解析】【解答】解：根据题意可得：OA=32，OB=24，∠AOB=90°，

∴AB=OA故答案为：40.【分析】先结合题意可得OA=32，OB=24，∠AOB=90°，再利用勾股定理求出AB的长即可.14．【答案】解：设AD=xm，且x>0，∵AD:∴BD=0.∵∠ADB=90°，AB长为15m，∴AD∴x2∴解得：x=65∴AD=13.根据题意可知DE=BC=2m，∴AE=AD+DE=13.答：云梯的顶端离地面的距离AE为15.【解析】【分析】设AD=x，即可得到BD=0.15．【答案】（1）解：在图1中，AB+BC=16dm设AB=xdm，则BC=16−x在Rt△ABC中，由勾股定理得AC∴8解得x=10，∴AB=10dm，∴绳子长度=AB+AC=10+8=18dm（2）解：在图2中，若物体C升高7dm，则此时AB=10+7=17dm在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=A∴BE=BD−ED=15−6=9答：滑块B向左滑动的距离为9dm．【解析】【分析】（1）先设AB=xdm，那么可得BC=16−x（2）先根据题意求出运动后AB的长度，再借助勾股定理算出BD的长度，最终就能推导出BE的长度，完成解答.（1）解：在图1中，AB+BC=16dm设AB=xdm，则BC=16−x在Rt△ABC中，由勾股定理得AC∴8解得x=10，∴AB=10dm，∴绳子长度=AB+AC=10+8=18dm（2）解：在图2中，若物体C升高7dm，则此时AB=10+7=17dm在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=A∴BE=BD−ED=15−6=9dm答：滑块B向左滑动的距离为9dm．16．【答案】解：任务一：由题意得，AB=DE=1.7米，在Rt△BDF中，由勾股定理得DF=BF2−BD任务二：由题意得，CD=CF+DF=12+18=30米，在Rt△BCD中，由勾股定理得BC=BD答：还需放出风筝线14米【解析】【分析】本题考查勾股定理的实际应用.

（1）解题关键是将实际问题转化为几何图形，在直角三角形BDF中利用勾股定理求出DF的长度，结合已知条件DE=1.7，求出总高度EF；

（2）由已知CF的长度，结合第（1）问求出的DF长度，得到CD的长度，再次利用勾股定理在Rt△BCD求出斜边BC的长度，最后作差求出还需要放出风筝线的长度.17．【答案】（1）解：如图②所示：

∵∠A=∠B=∠DEC=90°，AE=BC=a,AD=BE=b∴S∵S梯形ABCD=∴1∴2ab+c∴2ab+c∴c（2）解：设AB=AC=x，∵BH=1.∴AH=AB−BH=(x−1.∵∠CHB=90°,CH=2.∴(x−1∴x=2.5，即∴AC−CH=2.∴新路CH比