苏科版数学八年级上册1.3全等三角形的判定同步练习

苏科版数学八年级上册1.3全等三角形的判定同步练习一、选择题1．数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释正确的是()A．图1，弯曲河道改直是利用了垂线段最短B．图2，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”是利用了三角形的稳定性C．图3，体育课测量跳远的成绩是利用了两点之间线段最短D．图4，一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等的判定方法SAS2．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性3．沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若AB=AD,AC=AE，则添加如下的一个条件仍不能证明△ABC≌△ADE的是（）A．∠BAC=∠DAE B．∠BAF=∠DAC C．∠C=∠E D．BC=DE4．在课堂上，陈老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图①)的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A'B'C'，使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC.小赵和小刘同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程分别如图②所示.对这两种画法的描述正确的是（)A．小刘同学作图判定Rt△AB．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段A'C'C．小赵同学作图判定Rt△AD．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段B'C'5．如图，为了测量B点到目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得∠ABC=65°，∠ACB=30°，然后在M处立了标杆，使∠CBM=65°，∠MCB=30°，测得MB的长是15米，BC的长是30米，CM的长是25米，则A，B两点间的距离为（）A．10米 B．25米 C．15米 D．30米6．如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是()A．已知两边及夹角 B．已知两角及夹边C．已知三边 D．已知两边及一边对角7．如图，E、B、F、C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE8．在△ABC中，∠B=∠C=50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（）A． B．C． D．9．如图，AD为∠CAF的角平分线，BD=CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD.其中正确结论的序号有（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④10．如图，在△ABC中，AB=AC，AB>BC，点D在边BC上，CD=2BD，点E，F在线段AD上，∠1=∠2，∠BAD=∠ACF，若△ABC的面积为18，则△ACF与△BDE的面积之和为（）A．6 B．9 C．12 D．16二、填空题11．如图，在3×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1+∠2=．12．添加辅助线有时候可以将复杂的问题变简单，如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE=BA，∠E=∠C，若DE=2，AD=4，BD=5，求△BDE的面积，小莉思考后认为可以这样添加辅助线：如图2，在BD上截取BF=DE，连接AF根据小莉的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为．13．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、BC边上，且BD=BE，现增加一个条件，使得△ABE≌△CBD一定成立，则该条件可以是下列中的．①CE=AD；②∠BAC=∠BCA；③∠BAE=∠BCD；④AE⊥CD．14．如图，BD=CB，BE=CA，∠DBE=∠C=62°，∠A=43°，则∠BDE的度数等于．三、证明题15．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC=EF，16．如图，AB=AC，DB⊥AB，EC⊥AC，垂足分别为B,C，∠BAC=∠DAE．（1）求证：AD=AE；（2）若∠BAD=20°，∠DAE=110°，求∠CED的度数．17．如图，AB‖CD,AB=CD,点E和点F在线段BC上，∠A=∠D.（1）求证：AE=DF；（2）若BC=16，EF=6，求BE的长.18．如图，A为BE上一点，D为AF上一点，C为ED延长线上的一点，AB=AD，AE=AF，AF⊥BE.（1）证明：BF=DE；（2）若CE=BC+BF，∠ADC=110°，求19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，点E在AD上，找出图中的全等三角形，并任选其中一对进行证明．四、解答题20．如图，BE、CD相交于点O，延长DB，EC相交于点A，AB=AC，BD=CE.（1）求证：△ACD≌△ABE；（2）若∠A=20°，∠D=30°，求∠DOE的度数.21．图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE，（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ上AB于点Q，若PQ=6，AC=9，△ABC的面积是60，求22．如图，学校位于河的南岸点A处，在河的对岸点A的正北方向点B处有一建筑物，李老师带领同学们测量学校点A与建筑物点B之间的距离AB．测量学校点A与建筑物点B之间的距离AB测量工具测量角度的仪器、皮尺等测量小组第一小组第二小组测量方案示意图设计方案及测量数据如图1，在点A的正西方取点C，延长AC至点D，使AC=DC，在点D的正南方取点E，使B，C，E三点共线，连接DE．如图2，在BA的延长线上取点C，在点C的正东方取点D，使CD=AC，连接BD，在CD延长线上取点E，连接AE，使得∠CAE=∠CDB，测得DE=50米．任务一（1）在第一小组的方案中，测量出线段DE的长度，就可以得到点A与点B的距离AB，请说明理由．任务二（2）根据第二小组的方案和测量数据，求点A与点B的距离AB．23．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，AB=15cm.动点P从A出发，沿边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t秒．（1）当0<t≤4时，PC=______cm（用含t的式子表示）；（2）当4<t<7且△APC的面积等于△ABC面积一半时，求t的值；（3）如图2，在Rt△DEF中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A.在AB边有一动点Q，与点P同时从点A出发，沿边AB→BC→CA运动，回到点A停止.当△APQ≌△DEF时，求点Q的运动速度．24．已知，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA=∠AEC=∠BAC.

（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，BD，CE与DE的数量关系为.（2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，DE=10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）.是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由.

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A：图1，弯曲河道改直是利用了两点之间，线段最短，错误，不符合题意；

B：图2，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”是利用了三角形的稳定性，正确，符合题意；

C：图3，体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短，错误，不符合题意；

D：图4，一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等

的判定方法ASA，错误，不符合题意；

故答案为：B

【分析】根据图形所运用的数学原理逐项进行判断即可求出答案.2．【答案】D【解析】【解答】解：人字梯加上拉杆后，整体结构形成三角形，而三角形具有稳定性。

故答案为：D

【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用。人字梯两侧与中间拉杆组成三角形结构，三角形的形状不容易发生改变，因此可以增强梯子的稳定性。3．【答案】C【解析】【解答】解：A、添加∠BAC=∠DAE，可利用SAS证明△ABC≌△ADE，故此选项不符合题意；B、添加∠BAF=∠DAC可得∠BAC=∠DAE，可利用SAS证明△ABC≌△ADE，故此选项不符合题意；C、添加∠C=∠E，它们不是对应边的夹角相等，不能证明△ABC≌△ADE，故此选项符合题意；D、添加BC=DE，由SSS可得△ABC≌△ADE，故此选项不符合题意；故选：C．【分析】根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.4．【答案】C【解析】【解答】解：A、小刘同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据的SAS，错误；

B、小刘同学第一步作图是用圆规截取的线段A'B'=AB，错误；

C、小赵同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是HL，正确；

D、小赵同学第二步作图是用圆规截取的线段A'C'=AC，错误.故答案为：C.【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法以及尺规作图的原理.小刘同学先画直角，再在两条直角边上分别截取与原三角形两直角边相等的线段，由此可以判断选项A、B；小赵同学画好直角后，先在一条直角边上截取与原三角形一条直角边相等的线段，再以这条直角边的端点为圆心、以原三角形斜边长为半径画弧，与另一条直角边相交，从而确定第三个顶点，由此可以判断选项C、D.5．【答案】C【解析】【解答】

解：在△ABC和△MBC中：∠ABC=∠MBC=65°BC=BC∠ACB=∠MCB=30°，

∴△ABC≌△MBC(ASA)，

∴AB=MB=15米；

故选：C.6．【答案】B【解析】【解答】解：由图可知，已知线段AB，∠BAC=α，∠ABC=β，即已知三角形的两角及其夹边，故答案为：B.【分析】观察图形以及作图痕迹，已知线段AB、α、β，即可得出答案.7．【答案】A【解析】【解答】解：∵EB=CF，∴EB+BF=CF+BF，即BC=EF，A、添加AB=DE与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，该选项符合题意；B、添加DF∥AC可得∠C=∠DFE，由AAS可证明△ABC≌△DEF，该选项不合题意；C、添加∠E=∠ABC，由AAS可证明△ABC≌△DEF，该选项不合题意；D、添加AB∥DE可得∠ABC=∠E，由AAS可证明△ABC≌△DEF，该选项不合题意；故答案为：A

【分析】先根据线段的运算得到EB+BF=CF+BF，即BC=EF，进而结合三角形全等的判定对选项逐一分析即可求解。8．【答案】D【解析】【解答】解：A．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意；B．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意；C．如图：∵∠DFC=50°+∠EFC=∠B+∠BDF，∠B=∠C=50°，∴∠EFC=∠BDF，∵BD=CF=2，∠B=∠C=50°，∴根据ASA可知剪下的两个三角形全等；不符合题意；D．如图：同理可得：∠EFC=∠FDB，而∠B=∠C=50°，但两三角形对应边不一定相等，则两个三角形不一定全等，符合题意．故选：D．

【分析】对于每个选项，先观察图形中两个三角形的边和角的关系，然后判断是否满足SAS、ASA等全等判定条件。若满足，则两个三角形全等；若不满足，则两个三角形不一定全等。通过对每个选项的逐一分析，最终确定正确答案。9．【答案】D【解析】【解答】解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，在RtΔCDE和RtΔBDF中，BD=CDDE=DF∴RtΔCDE≅RtΔBDF(HL)∴CE=AF，在RtΔADE和RtΔADF中，AD=ADDE=DF∴RtΔADE≅RtΔADF(∴AE=AF，∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正确；∵RtΔCDE≅RtΔBDF，∴∠DBF=∠DCE，设AC交BD于O，∵∠AOB=∠COD，∴∠BDC=∠BAC，故③正确；∴∠DAE=∠DCB，∵∠DBC=∠DCB，∴∠DAE=∠DBC，∵RtΔADE≅RtΔADF，∴∠DAE=∠DAF，∴∠DAF=∠CBD，故④正确；综上所述，正确的结论有①②③④共4个．故答案为：D.【分析】根据角平分线的性质得到DE=DF，然后根据“HL”得到RtΔCDE和RtΔBDF全等判断①，得到CE=AF，然后得到RtΔADE和RtΔADF全等，即可得到AE=AF判断②；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠DCE，然后根据三角形的内角和定理得到∠BDC=∠BAC判断③；再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠DAF，得到∠DAF=∠CBD判断④解答即可．10．【答案】A【解析】【解答】解：∵CD=2BD

∴S△ABD=13S△ABC=6

∵∠BAD=∠ACF∴∠AEB=∠AFC在△ABE和△CAF中，∠AEB=∠AFCAB=AC∴△ABE≌△CAF(AAS)，∴S∴S故选：A．

【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、三角形全等的判定与性质、三角形面积计算等知识点，由于CD=2BD，S△ABC=18,求出∴S△ABD=1311．【答案】180°【解析】【解答】解：如图，标注字母，在△ABC与△EDF中，BC=DF∠ABC=∠EDF=90°∴△ABC≌△EDFSAS∴∠1=∠BAC．∵由平行线的性质可得∠BAC+∠2=180°，∴∠1+∠2=180°．故答案为：180°．

【分析】观察到在△ABC与△EDF中，有一组边相等BC=DF，一组直角相等∠ABC=∠EDF=90°，还有一组边相等AB=DE，根据全等三角形判定定理“边角边”（SAS），可以证明△ABC≅△EDF，进而根据全等三角形对应角相等的性质可得∠1=∠BAC，再根据平行线的性质可得∠BAC+∠2=180°，通过等量代换，从而求出∠1与∠2的度数和。12．【答案】4【解析】【解答】解：∵BD是△ABC的高，∴BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，∵∠E=∠C，∴∠ABD=∠E．在△ABF和△BED中，BA=BE∠ABD=∠E∴△ABF≌△BED(SAS)，∴S△ABF=S∴S△ABF∴S△BED故答案为：4．【分析】先通过等量代换推出∠ABD=∠E，再利用“边角边”证明△ABF≌△BED，再通过S△ABF=113．【答案】①②③【解析】【解答】解：①、∵CE=AD，BD=BE，

∴AB=CB，

又∠B=∠B，

∴△ABE≌△CBD（SAS），

∴结论符合题意；②、∵∠BAC=∠BCA，

∴AB=CB，

∵∠B=∠B，BD=BE

∴△ABE≌△CBD（SAS），

∴结论符合题意；③、∵∠BAE=∠BCD，∠B=∠B，BE=BD，

∴△ABE≌△CBD（AAS），

∴结论符合题意；④、增加添加AE⊥CD，不能判定△ABE≌△CBD，

∴结论不符合题意．∴增加一个条件，使得△ABE≌△CBD一定成立，则该条件可以是①②③．故答案为：①②③．

【分析】①、由线段的和差可得AB=CB，结合已知和图形，用边角边可判断两个三角形全等；

②、由等角对等边可得：AB=CB，结合已知和图形，用边角边可判断两个三角形全等；

③、由已知和图形，用角角边可判断两个三角形全等；

④、增加添加AE⊥CD，不能判定两个三角形全等.14．【答案】75°【解析】【解答】解：∵∠C=62°，∠A=43°，∴∠ABC=180°−∠C−∠A=75°，在△EDB和△ABC中，BD=BC∠DBE=∠C∴△EDB≌△ABCSAS∴∠BDE=∠ABC=75°，故答案为：75°．【分析】先利用三角形内角和定理得到∠ABC=75°，然后证明△EDB≌△ABCSAS15．【答案】证明：∵AD=BE，∴则AD+DB=BE+BD，即AB=DE，在△ACB和△EFD中，∵AC=EF∴△ACB≌△EFDSSS【解析】【分析】根据边之间的关系可得AB=DE，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.16．【答案】（1）证明：∵DB⊥AB，EC⊥AC，∴∠B=∠C=90°．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∠B=∠C,∴△ABD≌△ACEASA∴AD=AE．（2）解：∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°．∴在Rt△ACE中，∠CEA=70°．∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED．∵∠DAE=110°，∴∠AED=180°−∠DAE∴∠CED=∠CEA−∠AED=35°．【解析】【分析】（1）已知AB=AC，根据等腰三角形两底角相等可得∠B=∠C；又因为∠BAC=∠DAE，给等式两边同时减去∠DAC，即可得到∠BAD=∠CAE。结合已知AB=AC、AD=AE，可通过边角边判定定理证明△ABD≌△ACE，即可得到对应边BD=CE，完成结论证明；

（2）已知∠BAD=20°，结合第一问，可得∠CAE=20°。由AB=AC，结合三角形内角和，可算出∠B=70°，再根据全等三角形对应角相等，得到∠CEA=70°。又因为AD=AE，可得∠ADE=∠AED，即可算出∠AED的度数，最后通过∠CEA-∠AED得到∠CED的度数.（1）证明：∵DB⊥AB，EC⊥AC，∴∠B=∠C=90°．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∠B=∠C,∴△ABD≌△ACEASA∴AD=AE．（2）解：∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°．∴在Rt△ACE中，∠CEA=70°．∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED．∵∠DAE=110°，∴∠AED=180°−∠DAE∴∠CED=∠CEA−∠AED=35°．17．【答案】（1）证明：∵AB∥CD

∵∠B=∠C∵在△AEB与△DFC中∠A=∠DAB=CD∠B=∠C

∴AE=DF（2）解：∵△ABE≌△DCF

∴BE=CF∴BE-EF=CF-EF

∴BF=CE当BC=16，EF=6时，BF=所以BE=BF+EF=11【解析】【分析】(1)由平行的性质得∠B=∠C，结合已知条件可得△ABE≌△DCF，即可得AE=DF；

(2)由全等的性质知BE=CF，即得BF=CE，由此可得BE的长.18．【答案】（1）证明：∵AF⊥BE，∴∠BAF=∠DAE=90在△ABF与△ADE中，

AB=AD∠BAF=∠DAEAF=AE，∠BAF=∠DAE∴△ABF≅△ADE∴BF=DE；（2）解：连接AC，∵BF=DE，CE=BC+BF，∴BC=DC，在△ABC与△ADC中，

AB=AD∴△ABC≅△ADC(∴∠ABC=∠ADC=110∴∠BAC=180∴∠ACD=∠ACB=25∴∠BCE=50【解析】【分析】(1)通过证明△ABF≌△ADE，得出对应边相等从而证明BF=DE；

(2)先利用已知条件和(1)的结论得出线段相等关系，再证明△ABC≌△ADC，结合三角形内角和等知识求出∠BCE的度数.19．【答案】解：图中的全等三角形有：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE；∵AB=AC，AD⊥BC，∴D是BC的中点，BD=DC，∠BAE=∠CAE，∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACDSSS【解析】【分析】结合条件和图中信息，可以找出图中的全等三角形有△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE；结合条件可以利用SSS证得△ABD≌△ACD；根据SAS（AE=AE，∠BAE=∠CAE，AB=AC）证得△ABE≌△ACE；根据SSS（BE=CE，BD=DC，DE=DE，）证得△BDE≌△CDE．20．【答案】（1）证明：∵AB=AC，BD=CE，∴AB+BD=AC+CE，即AD=AE，在△ACD和△ABE中，AD=AB∴△ACD≌△ABE(SAS)（2）解：由(1)得△ACD≌△ABE，∴∠E=∠D=30°，∵∠A=20°，∴∠DCE=∠A+∠D=50°，∴∠DOE=∠DCE+∠E=80°【解析】【分析】（1）先得到AD=AE，然后利用“SAS”得到两三角形全等即可；（2）利用全等三角形的对应角相等得到∠E=∠D=30°，然后根据角的和差解答即可．21．【答案】（1）解：AP是∠BAC的平分线理由如下：在△ADF和△AEF中，AD=AEAF=AF∴△ADF≌△AEF∴∠DAF=∠EAF，∴AP平分∠BAC．（2）解：∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，∴△APC的高等于PQ，∵PQ=6．∴S△∵S∴AB=2S【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得△ADF≌△AEFSSS，则∠DAF=∠EAF，根据角平分线判定定理即可求出答案.

（2）根据角平分线性质可得PQ=622．【答案】解：（1）理由如下：由作图知AC=DC，∠ACB=∠DCE（对顶角）