山西省临汾市曲沃县第二高级中学校2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试题 含答案解析

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题中只有一项符合题目要求.1.已知向量，，若，则（）A.-1 B.1 C.-9 D.92.若复数满足，则的共轭复数是A. B. C. D.3.一组样本数据：1，2，6，11，5，12，4，15，9的上四分位数为（）A.6 B.4 C.11 D.11.54.在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，，则的大小为（）A. B. C.或 D.或5.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为（）A. B.C. D.6.如图，，设，则（）A. B. C. D.7.在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.18.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2025年国庆期间该市和两个景区的日接待人数的数据（单位：万人），绘制了如下折线图，则（）A.景区这7日数据的第80%分位数是8.7B.景区这7日数据的极差是1.7C.景区这7日数据的平均数比景区的两倍小D.景区这7日数据的方差比景区的大二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.若某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件B.若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取8人C.设一组数据的平均数为x，方差为：，若将这组数据的每一个数都乘以2得到一组新数据，则新数据的平均数为2x，方差为D.设A和B是两个概率大于0的随机事件，若A和B相互独立，则A和B一定不互斥10.已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则11.在中，，，，则（）A. B.的面积为C.外接圆直径是 D.内切圆半径是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个圆柱的内切球的体积为36，则圆柱的表面积为_________．13.设，为单位向量，在上的投影向量为，则_____14.三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设复数，．（1）若是实数，求；（2）若是纯虚数，求．16.已知平面向量，其中．（1）若为与方向相同的单位向量，求的坐标；（2）若且与垂直，求向量夹角的余弦值．17.中，角所对的边分别为，已知．（1）求的大小；（2）若的面积，求的值．18.如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.19.随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图.注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司.（1）求这200户居民本次问卷评分的中位数；（2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？（3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题中只有一项符合题目要求.1.已知向量，，若，则（）A.-1 B.1 C.-9 D.9答案：A解析：思路：根据两向量平行的充要条件求解即可.解答过程：因为，，，所以，解得.2.若复数满足，则的共轭复数是A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据复数代数形式的除法运算求出复数即可求解结果．解答过程：解：复数满足，所以．所以的共轭复数是．故选：B．3.一组样本数据：1，2，6，11，5，12，4，15，9的上四分位数为（）A.6 B.4 C.11 D.11.5答案：C解析：解答过程：将数据按照从小到大的顺序排列：，，所以这组数据的上四分位数为第个数据，即.4.在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，，则的大小为（）A. B. C.或 D.或答案：A解析：解答过程：在中，，，，由正弦定理，得，解得，因为，所以，所以，所以，故选项A正确.5.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：由题意知直观图为等腰梯形，，，，则；将直观图复原为原图，如图所示：则，，，作于F，则，所以，故四边形的周长为.6.如图，，设，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意可知：.7.在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.1答案：A解析：思路：根据题意得到该直四棱柱为长方体，通过平移直线找到两条异面直线所成角，结合直角三角形求解即可.解答过程：因为直四棱柱中，底面为矩形，故该直四棱柱为长方体.连接，因为四边形为矩形，则，所以或其补角即为异面直线与所成角，在长方体中，平面，因为平面，所以.因为，且，则，在中，，因此，异面直线与所成角的余弦值为.8.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2025年国庆期间该市和两个景区的日接待人数的数据（单位：万人），绘制了如下折线图，则（）A.景区这7日数据的第80%分位数是8.7B.景区这7日数据的极差是1.7C.景区这7日数据的平均数比景区的两倍小D.景区这7日数据的方差比景区的大答案：C解析：解答过程：对于A项，将景区A的数据从小到大排序得，因为，不是整数，故景区这7日数据的第80%分位数是第项为，故A错误；对于B项，景区这7日数据的极差是，故B错误；对于C项，因为景区的平均数：,景区的平均数：,所以景区这7日数据的平均数比景区的两倍小，故C正确；对于D项，由折线图可知景区的人数波动比景区的人数波动小，故景区这7日数据的方差比景区的小，故D错误.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.若某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件B.若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取8人C.设一组数据的平均数为x，方差为：，若将这组数据的每一个数都乘以2得到一组新数据，则新数据的平均数为2x，方差为D.设A和B是两个概率大于0的随机事件，若A和B相互独立，则A和B一定不互斥答案：ACD解析：思路：对于A，根据对立事件的定义分析判断，对于B，根据分层抽样的定义结合题意求解判断，对于C，根据平均数和方差的性质分析判断，对于D，根据独立事件和互斥事件的定义分析判断.解答过程：对于A，若某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件，所以A正确，对于B，由题意可知女运动员应抽取人，所以B错误，对于C，一组数据的平均数为x，方差为，若将这组数据的每一个数都乘以2得到一组新数据，则新数据的平均数为2x，方差为，所以C正确，对于D，因为A和B是两个概率大于0的随机事件，A和B相互独立，所以，所以A和B一定不互斥，所以D正确，故选：ACD10.已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：AC解析：思路：对于A，根据直线与平面垂直的性质定理即可判断；根据选项B的条件得来判断B；根据面面垂直的判定定理判断C；根据面面平行的判定定理判断D.解答过程：对于A，根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条不同直线互相平行，故A正确；对于B，因，不妨设直线的方向向量分别为，则可看成平面的法向量，又因，则，故，故B错误；对于C，根据面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，故C正确；对于D，根据面面平行判定定理，若，才能得到，因缺少的位置关系，故得不到，即D错误.11.在中，，，，则（）A. B.的面积为C.外接圆直径是 D.内切圆半径是答案：ACD解析：思路：A利用余弦定理计算来判断B利用三角形的面积公式计算即可；C利用正弦定理计算即可；D利用即可求出内切圆半径.解答过程：解：，由于在中，则，故，A正确；，B错误；设外接圆半径为，，C正确；设内切圆半径为，则，即，解得，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个圆柱的内切球的体积为36，则圆柱的表面积为_________．答案：解析：解答过程：设内切球半径为，由球的体积公式，代入得，解得，即，圆柱的内切球与圆柱的上下底面、侧面都相切，因此圆柱底面半径，圆柱的高，圆柱表面积为，代入得.13.设，为单位向量，在上的投影向量为，则_____答案：解析：解答过程：因为在上的投影向量为，所以，又为单位向量，所以，所以.14.三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________答案：解析：解答过程：由已知设点到平面距离为，则点到平面距离为，所以，考点：几何体的体积.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设复数，．（1）若是实数，求；（2）若是纯虚数，求．答案：（1）（2）解析：（1）因为是实数，所以，即，所以；（2），因为是纯虚数，所以，解得，所以，．16.已知平面向量，其中．（1）若为与方向相同的单位向量，求的坐标；（2）若且与垂直，求向量夹角的余弦值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据向量的数乘及向量的模求解即可.（2）根据向量垂直及向量数量积运算律求出，结合向量夹角的求法求解即可.（1）设由得，解得所以（2）因为与垂直，所以即，又，，所以.所以向量夹角的余弦值.17.中，角所对的边分别为，已知．（1）求的大小；（2）若的面积，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据二倍角公式，三角形内角和定理以及诱导公式即可得，解出即可得到的大小；（2）由可得，再根据余弦定理求出，然后根据正弦定理即可求出的值．（1）原式可化为：，解之得：或（舍去）∵，∴（2）因为，∴．由余弦定理得：．正弦定理得：，代入得．18.如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.答案：（1）连接与，两线交于点，连接，在中，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为底面，平面，所以.又为棱的中点，，所以.因为，，平面，所以平面，平面，所以.因为，所以.又，在和中，，所以，即，所以，又，，平面，所以平面.（3）当点为的中点，即时，平面平面.证明如下：设的中点为，连接，，因为，分别为，的中点，所以且，又为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，故，由（2）知：平面，所以平面，又平面，所以平面平面.解析：思路：（1）连接与，两线交于点，连接，利用三角形中位线性质得到，再利用线面平行的判定即可证.（2）应用线面垂直的性质、判定可得平面，从而得到，根据和得到，再利用线面垂直的判定即可证.（3）当点为的中点，设的中点为，连接，，易证四边形为平行四边形，从而得到，进而有平面，再利用面面垂直的判定即可证.（1）略（2）略（3）略19.随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图.注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司.（1）求这200户居民本次问卷评分的中位数；（2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？（3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率.答案：（1）.（2）480（3）.解析：思路：（1）在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1，解出的值，再根据中位数的公式计算得出结果；（2）先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区居民支持所属物业公司延续服务的户数；（3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取的户数，再从这5户中任意选取2户，利用古典概型，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务