山西省吕梁市2027届高三上册第一次学情调研数学试题 含答案解析

数学考试时间：120分钟分值：150分一、单选题1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.已知函数，则（）A. B.1C. D.3.下列函数中，是偶函数且在区间上有最小值的是（）A. B. C. D.4.若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（）A. B. C. D.5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（）个小时才能驾驶．（参考数据：，）A.6 B.7 C.8 D.96.已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，当时，，若，则（）A. B.1 C. D.7.设是两个随机事件，且，，，则下列说法不正确的是（）A. B.C. D.8.已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题9.已知，则（）A.最小值为1 B.最小值为2C. D.最小值为410.已知函数，则（）A. B.C.的个位数是9 D.11.函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（）A. B.C.是奇函数 D.零点个数大于1三、填空题12.若幂函数在上单调递增，则实数m的值为________．13.命题“，为假命题”，则实数的取值范围为______.14.已知定义在上的偶函数与奇函数满足．若恒成立，则实数的取值范围是___________．四、解答题15.设关于的不等式解集为A．（1）若，求实数的值；（2）若，且，求实数的取值范围．16.化简并计算下列各式：（1）；（2）；（3）.17.已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，．（1）求实数，的值；（2）求函数的解析式；（3）若，求实数的取值范围．18.已知，函数是奇函数，.（1）求实数的值；（2）若，使得，求实数的取值范围.19.共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下很好的商机．某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品．经市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎．使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为．该公司为了促进消费，用户使用共享电动车一次积2分，使用共享单车一次积1分，积分可以兑换礼品．每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立．（1）求某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分的概率；（2）从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总积分为随机变量，求的分布列和数学期望；（3）记某市民已使用该公司共享交通工具的累计积分恰为分的概率为，比如：表示累计积分为1分的概率，表示累计积分为2分的概率，试探求与之间的关系，并求数列的通项公式．

数学考试时间：120分钟分值：150分一、单选题1.设集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由对数函数单调性解不等式可化简集合A，后由并集定义可得答案.解答过程：，则，又，则.故选：C.2.已知函数，则（）A. B.1C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以，因为，所以，即，故选项A正确.3.下列函数中，是偶函数且在区间上有最小值的是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先根据偶函数的定义判断函数的奇偶性，再根据复合函数的单调性，判断函数在区间上是否有最小值.解答过程：对于函数，其定义域为，关于原点对称，令，则是偶函数.当时，，在区间上单调递减，所以在区间上无最小值，故选项A错误；对于函数，其定义域为，关于原点对称，令，则，所以是偶函数，当时，，令，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.根据复合函数的单调性可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为，故选项B正确；对于，其定义域为，关于原点对称，令，则，所以是奇函数，不符合题意，故选项C错误；对于，其定义域为，关于原点对称，令，则，所以函数为偶函数.由，得，因为在区间上，所以，所以在区间上单调递增，当时，，但始终大于1，所以该函数在区间上没有最小值，故选项D错误.故选：B4.若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据指数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有，即可得.解答过程：令，又在R上单调递减，所以要使在区间单调递增，则在区间单调递减，所以由的开口向上且对称轴为得，解得.故选：D5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（）个小时才能驾驶．（参考数据：，）A.6 B.7 C.8 D.9答案：C解析：解答过程：设他经过个小时后血液中酒精含量为，则，当时，，即，解得，因为时间必须大于小时才能使酒精含量低于，结合选项为整数，故至少需要经过小时才能驾驶.故选项C正确.6.已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，当时，，若，则（）A. B.1 C. D.答案：A解析：思路：利用是奇函数，可得，再用赋值法可求，，，然后结合是偶函数，可求出参数，即可求值.解答过程：由是奇函数可知：，再令得：，又因为当时，，所以，再令得：，又因为是偶函数，所以，即可得，又因为，所以，再令得：，所以，又因为当时，，所以，即当时，，则，故选：A.7.设是两个随机事件，且，，，则下列说法不正确的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：选项A：利用对立事件概率关系，由已知的补事件概率直接推导并集概率；选项B：通过计算两事件各自概率的乘积，并与已知交事件概率比较，验证独立性条件；选项C：分别计算条件概率与另一条件下的条件概率，对比两者是否相等来判定；选项D：依据条件概率定义，通过交事件概率与另一事件概率的比值进行验证，判断其是否满足题设关系.解答过程：选项A：，选项A正确；已知，又，故，由可得：，再由，代入得：；选项B：，等式成立，选项B正确；选项C：；，等式成立，选项C正确；选项D：，选项D错误.8.已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，换元构造函数，分析函数的奇偶性、单调性，再解不等式即得.解答过程：令，则，原函数化为，令，显然，即函数是奇函数，又函数都是上的增函数，因此函数是上的增函数，不等式，则，于是，解得，所以的取值范围是.故选：A二、多选题9.已知，则（）A.最小值为1 B.最小值为2C. D.最小值为4答案：BD解析：思路：根据给定条件，结合基本不等式逐项判断即可.解答过程：对于A，由，得，当且仅当时取等号，A错误；对于B，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，取，则，C错误；对于D，，当且仅当时取等号，D正确.故选：BD10.已知函数，则（）A. B.C.的个位数是9 D.答案：BD解析：思路：赋值法求系数和判断A、B；由，结合展开式通项得个位数由决定，即可判断C；由并应用二项式定理求对应项系数判断D.解答过程：由题设，令，则，A错；令，则，所以，即，B对；由，展开式通项为，显然个位数由决定，即个位数是1，C错；由，展开式通项为，，当时，，即，D对.故选：BD11.函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（）A. B.C.是奇函数 D.零点个数大于1答案：ACD解析：思路：分别令以及，即可得出；令，代入结合已知即可判断B项；令，代入已知化简即可判断C项；令，可得.依次令，求出的值.然后令，，求出的值.然后根据零点存在定理即可判断D项.解答过程：对于A项，令，由已知可得，，解得.令，由已知可得，，解得.故A正确；对于B项，令，代入已知条件可得，.又，所以有.故B错误；对于C项，令，代入已知条件可得，.因为，所以有，所以，是奇函数.故C正确；对于D项，令，代入已知有..令，由可得，.令，，由可得，.因为函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且，根据零点存在定理，可知在，使得.根据函数为奇函数，可知.所以，函数至少存在三个零点.故D正确.故选：ACD.三、填空题12.若幂函数在上单调递增，则实数m的值为________．答案：解析：思路：利用幂函数概念及单调性即可求解.解答过程：因为是幂函数，所以，解得或，又因为幂函数在上单调递增，所以，故舍去，所以，故答案为：13.命题“，为假命题”，则实数的取值范围为______.答案：解析：思路：将问题转化为命题“，”为真命题，令，利用导数求函数的最大值即可求得解.解答过程：因为“，”为假命题，所以命题“，”为真命题.即，成立.令,因为，所以是单调递增函数，，所以，即.故答案为：.14.已知定义在上的偶函数与奇函数满足．若恒成立，则实数的取值范围是___________．答案：解析：思路：根据题意，得到，联立方程组，求得，化为，设，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解.解答过程：由定义在上的偶函数与奇函数满足，可得，即，联立方程组，解得，由不等式，可得，即，转化为，设，则函数为单调递增函数，可得，则在上恒成立，即在上恒成立，因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题15.设关于的不等式解集为A．（1）若，求实数的值；（2）若，且，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：（1）不等式化简为，∵，所以，∴（2）由（1）可知，即，则，解得.∴实数的取值范围.16.化简并计算下列各式：（1）；（2）；（3）.答案：（1）（2）1（3）19解析：思路：使用指对运算法则求解.（1），，，，原式（2）（3）令，则，又，，，原式.17.已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，．（1）求实数，的值；（2）求函数的解析式；（3）若，求实数的取值范围．答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）根据条件可得，，解方程组即可；（2）先由（1）求得时的解析式，再利用是奇函数，有即可得的解析式；（3）先判断的单调性，再结合的定义域，列出关于的不等式组，求解不等式组即可.（1）由题意得，解得，．（2）由（1）可知，当时，．当时，，所以．因为是定义在上的奇函数，所以当时，．所以（3）因为当时，，反比例函数在上单调递增，所以函数在上单调递增．因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增．由题意，得不等式即，所以．解得，即实数的取值范围是．18.已知，函数是奇函数，.（1）求实数的值；（2）若，使得，求实数的取值范围.答案：（1）3（2）解析：思路：（1）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，然后检验，即可得到结果；（2）根据题意，将问题转化为，再由函数的单调性可得，由二次函数的值域可得，代入计算，即可得到结果.（1）因为函数是奇函数，所以，即，即，解得，因为，所以.当时，，此时的定义域为，关于原点对称，满足题意.综上，.（2）由题意得，，由（1）知，，易得在上单调递增，故.，当时，，所以，所以，解得，即实数的取值范围为.19.共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下很好的商机．某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品．经市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎．使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为．该公司为了促进消费，用户使用共享电动车一次积2分，使用共享单车一次积1分，积分可以兑换礼品．每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立．（1）求某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分的概率；（2）从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总积分为随机变量，求的分布列和数学期望；（3）记某市民已使用该公司共享交通工具的累计积分恰为分的概率为，比如：表示累计积分为1分的概率，表示累计积分为2分的概率，试探求与之间的关系，并求数列的通项公式．答案：（1）（2）的分布列为3456（3），解析：思路：（1）由二项分布的概率计算公式可得结果；（2）由二项分布的概率公式和数学期望的计算公式可得结果；（3）方法1