山西现代双语学校学校2026~2027学年高三上册开学考试数学试题 含答案解析

数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分试题个数：共19题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则中元素个数为（）A.0 B.3 C.5 D.82.下列函数是偶函数的是（）A. B.C. D.3.已知函数恒过定点，则函数不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（）A. B. C. D.5.若正实数，满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.6.已知函数在区间存在单调递增区间，则正数的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（）A.13 B.21 C.26 D.308.已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.已知是一次函数且，则B.与表示同一个函数C.若函数的定义域为，则函数的定义域为D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中只含有一个元素10.已知，则a，b满足的关系有（）A. B. C. D.11.已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（）A. B.C. D.函数有8个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，求的解析式为_________.13.已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数@@@PG1hdGg+PC9tYXRoPg==的取值范围是_____.14.设且，函数的定义域为R．若的值域为，则的取值范围为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知函数是偶函数．（1）求；（2）解不等式16.某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米.（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.17.已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且.（1）判断的奇偶性；（2）判断在上的单调性，并证明；（3）若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围.18.已知函数．（1）若不等式的解集为R，求m的取值范围；（2）解关于x的不等式；（3）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．19.已知函数，．（1）求；（2）设函数，对，，求的取值范围；（3）设函数，是否存在，使得关于的方程有且仅有四个解，，，，且满足．若存在，求；若不存在，请说明理由．

数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分试题个数：共19题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则中元素个数为（）A.0 B.3 C.5 D.8答案：C解析：思路：根据补集的定义即可求出．解答过程：因为，所以，中的元素个数为，故选：C．2.下列函数是偶函数的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：对于A，通过比较与进行判断，对于B，利用偶函数的定义分析判断，对于C，由函数的定义域是否关于原点对称进行判断，对于D，利用偶函数的定义分析判断.解答过程：对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确；对C，设，函数定义域为，不关于原点对称，则不是偶函数，故C错误；对D，设，函数定义域为，因为，则为奇函数，不是偶函数，故D错误.故选：B3.已知函数恒过定点，则函数不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：思路：由指数函数的性质可知恒过定点，再由指数函数的性质可知不过第二象限.解答过程：由已知条件得当时，，则函数恒过点，即，此时，由于由向下平移2个单位得到，且过点，由此可知不过第二象限.故选：B4.已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解.解答过程：由题知对一切成立，于是.故选：A5.若正实数，满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：对等式直接利用基本不等式，即可得到答案；解答过程：，，当且仅当，即等号成立，故选：B6.已知函数在区间存在单调递增区间，则正数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据对数（型）复合函数单调性分析求解即可.解答过程：由，解得：，所以函数的定义域为，令，二次函数开口向下，对称轴为，由，所以，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，所以要使函数在区间上存在单调递增区间，则且即且，解得，即正数的取值范围是.7.已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（）A.13 B.21 C.26 D.30答案：B解析：思路：设，根据题意得出，从而求的值；解答过程：设，其图象是开口向上，对称轴为的抛物线，如图所示，若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得，又因为，所以，故所有符合条件的a的值之和是.故选：B.8.已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.解答过程：因为当时，所以，又因为，则，，，，，则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.方法提示：关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.已知是一次函数且，则B.与表示同一个函数C.若函数的定义域为，则函数的定义域为D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中只含有一个元素答案：ABD解析：思路：根据待定系数法求解函数解析式判断A；根据同一函数及对数函数的定义判断B；根据抽象函数的定义域判断C；根据函数的定义即可判断D．解答过程：A，因为是一次函数，可设，所以，即，所以解得所以，A正确；B，与的定义域均为，又，所以对应关系相同，定义域也相同，故表示同一个函数，故B正确；C，函数的定义域为，由，得，则函数的定义域为，故C错误；D，由函数的定义知，若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只有唯一一个元素与之对应，故D正确．10.已知，则a，b满足的关系有（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质可判断A正确，根据，结合基本不等式可判断BCD的正误.解答过程：由，则，A：，正确；B：由A知：且，所以，即，故正确，C：由A、B知：，而，故错误，D：由上，，故正确.故选：ABD.11.已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（）A. B.C. D.函数有8个零点答案：ACD解析：思路：作出函数的图像，结合图象，可得判定A正确；结合图象得出，可得判定C正确；由二次函数的性质，得到，求得，再由，可判定B错误；令，令，得到，求得方程的根据，结合函数的图像，得到函数零点的个数，可判定D错误.解答过程：作出函数的图像，如图所示，对于A，方程有四个不同的根，即与的图像有4个交点，结合函数的图像，可得，所以A正确；对于C，由函数的图像，可得，即，解得，所以C正确；对于B，由函数的图像，可得，所以，且，又由，可得，即，所以，因为，所以，所以B不正确；对于D，由函数，令，则，令，即，解得，当时，由函数的图像，可得有0个根；当时，由函数的图像，可得有2个根；当时，由函数的图像，可得有3个根；当时，由函数的图像，可得有3个根，所以函数有8个零点，所以D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，求的解析式为_________.答案：解析：解答过程：配凑法：故答案为：换元法：令，则，代入可得故答案为：13.已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数@@@PG1hdGg+PC9tYXRoPg==的取值范围是_____.答案：解析：思路：先由给定不等式，判断出是整个实数域上的单调递减函数.分别让段的二次函数满足对称轴在区间右侧、段的反比例函数满足系数为正，保证两段各自单调递减.再验证分段点处左侧函数值不小于右侧极限值，衔接两段单调性，联立条件解得的取值范围.解答过程：题干中条件对任意不等实数恒成立，则函数在R上是严格单调递减函数，故是开口向上的抛物线，其对称轴为，即：

a2≥1⟹a≥2;在上递减的充要条件是系数，且

整理得8-a≥a⟹a≤4,综合三个条件，得的取值范围是.14.设且，函数的定义域为R．若的值域为，则的取值范围为_____.答案：解析：思路：对分为与两种情况讨论，再由对数函数以及分段函数的性质求解即可.解答过程：若，则的取值范围是．当时，，分两种情形讨论：若，则在单调递增，相应的取值范围是，因此要使的值域是，应当有，两端都取a为底可得，解得．当，则在单调递减，相应的取值范围是，此时无法满足的值域是，故舍去．综上可得．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知函数是偶函数．（1）求；（2）解不等式答案：（1）（2）解析：思路：（1）结合偶函数性质以及对数运算法则即可解出；（2）结合对数运算法则，将原函数化成对数形式，则不等式等价为，求解即可（1）是偶函数，，即对任意恒成立，，．（2）∵，则不等式等价于，由解得；由得，得，即，综上，不等式的解为16.某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米.（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.答案：（1）米（2）解析：思路：（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得；（2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得.（1）设甲工程队的总造价为元，则，，当且仅当，即时等号成立，∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元；（2）由题意可得，对任意的恒成立，则，即在恒成立，又，当且仅当即时等号成立，，又，故.17.已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且.（1）判断的奇偶性；（2）判断在上的单调性，并证明；（3）若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围.答案：（1）奇函数（2）在上单调递增.由题意，可知，假设，使得，则，而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立.设，且，则，因此，因为，且当时，，所以，又因为，所以，即，又因为，所以在上单调递增.（3）或解析：思路：（1）根据题意，令，即可判断；（2）根据题意，先证，恒成立，再结合定义法，即可证明单调性；（3）根据题意，先根据单调性求出的最值，再将原不等式转化为，构造关于的函数即可求解.（1）根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数.（2）略（3）根据题意，结合（1）（2）可知，在上单调递增，因此，，故，，因为，恒成立，所以恒成立，即恒成立，令，则，恒成立，故，解得或.18.已知函数．（1）若不等式的解集为R，求m的取值范围；（2）解关于x的不等式；（3）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．答案：（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或.（3）.解析：思路：（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果；（2），对，与分类讨论，可分别求得其解集（3），通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值