陕西省西安市鄠邑区第四中学2025-2026学年高二第二学期期末质量检测数学试题 含答案解析

数学满分:150分，考试时间:120分钟1.本试卷共4页，4大题，19小题.一、单选题：（本题共8小题，40分）1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.3.现有种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种4.是离散型随机变量，，那么和分别是()A. B.C. D.5.对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（）A. B. C. D.6.若，则实数（）A. B.或 C. D.或7.小明与小红两人组队同时参加了闯关游戏，两人各自独立闯关互不影响，已知小明能闯关成功的概率为，小红能闯关成功的概率为，则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为（）A. B. C. D.8.某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（）A. B. C. D.二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.）9.下列关于回归分析的说法正确的是（）A.相关系数表示两个变量正相关，表示负相关B.回归直线必过样本中心点C.残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D.相关系数的取值范围是，且越大，线性相关程度越强10.在的展开式中，下列说法正确的有（）A.常数项为 B.所有项的系数和为C.二项式系数最大的项为第项 D.所有项的二项式系数和为11.下列判断正确的是（）A.若随机变量服从分布，且，则B.若随机变量，则C.若随机变量服从超几何分布，则D.若随机变量，，则第Ⅱ卷主观题（共92分）三、填空题：（本题共3小题，15分）12.已知随机变量，则_______．（参考数据：，）13.根据最小二乘法得到与的经验回归方程为，则样本点的随机误差的效应（残差）为______．14.已知展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_______．四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.已知离散型随机变量的分布列如表所示：求：（1）常数的值；（2）和．16.某篮球运动员投篮的命中率为，现投了次球．（1）求恰有次命中的概率；（2）求至多有次命中的概率；（3）设命中的次数为，求17.某消费品企业销售部对去年各销售地的居民年收入（即此地所有居民在一年内的收入的总和）及其产品销售额进行抽样分析，收集数据整理如下：销售地ABCD年收入x（亿元）15203550销售额y（万元）16204048（1）在图a中作出这些数据的散点图，并指出y与x成正相关还是负相关？（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程？（3）若B地今年的居民年收入将增长20%，预测B地今年的销售额将达到多少万元？回归方程系数公式：，.参考数据：，.18.年美加墨世界杯足球赛正在如火如荼进行．某人为了了解我校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关，从全校学生中随机抽取名学生进行了问卷调查，得到了如下列联表：

男生女生合计收看

不收看

合计

已知在这名同学中随机抽取人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是（1）请将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“通过电视收看世界杯”与性别有关？（2）若从这名同学中的男同学中随机抽取人参加一活动，记“通过电视收看世界杯”的人数为，求的分布列和均值．

参考公式：，

19.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗年春节前夕，市某质检部门随机抽取了包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了包这种品牌的速冻水饺，记这包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．

数学满分:150分，考试时间:120分钟1.本试卷共4页，4大题，19小题.一、单选题：（本题共8小题，40分）1.设集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用交集的定义可求得集合.解答过程：集合，，则.故选：B.方法提示：本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由，可得.3.现有种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：D解析：解答过程：根据分步计数原理可知，先涂最上面的一块有4种方法，再涂中间左边一块有3种方法，再涂中间右边一块有2种方法，最后涂最下面一块，有2种方法，所以一共有种方法.4.是离散型随机变量，，那么和分别是()A. B.C. D.答案：D解析：思路：由期望和方差的运算性质求解即可解答过程：由期望和方差的运算性质知E(X1)=E(2X－5)=2E(X)-5=7D(X1)=D(2X－5)=D(X)＝2故选D方法提示：本题考查期望和方差的运算性质，熟记公式，准确计算是关键，是基础题5.对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据散点图中点的分布的特征，确定3个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案.解答过程：由散点图可知第1个图表示的正相关，故；第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中，故，且，故，综合可得，即，故选：C6.若，则实数（）A. B.或 C. D.或答案：B解析：解答过程：因为，且，所以令，得，.所以，解得或7.小明与小红两人组队同时参加了闯关游戏，两人各自独立闯关互不影响，已知小明能闯关成功的概率为，小红能闯关成功的概率为，则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由对立事件及条件概率公式即可求解．解答过程：由题可知，小明能闯关成功的概率为，此游戏被闯关成功的概率为，则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为，故选：B．8.某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解.解答过程：设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示，则.某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为所以.故选:B.二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.）9.下列关于回归分析的说法正确的是（）A.相关系数表示两个变量正相关，表示负相关B.回归直线必过样本中心点C.残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D.相关系数的取值范围是，且越大，线性相关程度越强答案：ABC解析：解答过程：对于A，因为相关系数表示两个变量正相关，表示负相关，所以A正确.对于B，回归直线必过样本中心点，所以B正确.对于C，因为残差平方和是实际值与回归预测值的偏差平方总和，残差平方和越小，说明预测值和实际值的差距越小，模型拟合效果越好，所以C正确;对于D，因为相关系数的取值范围是，且越大，线性相关程度越强，所以D不正确.10.在的展开式中，下列说法正确的有（）A.常数项为 B.所有项的系数和为C.二项式系数最大的项为第项 D.所有项的二项式系数和为答案：BD解析：解答过程：选项A：展开式通项为，令得，代入得常数项为，A错误;选项B：令代入原式，可得所有项的系数和为，B正确;选项C：时展开式共7项，二项式系数最大的为中间项即第4项，C错误;选项D：二项式所有项的二项式系数和为，代入得，D正确.11.下列判断正确的是（）A.若随机变量服从分布，且，则B.若随机变量，则C.若随机变量服从超几何分布，则D.若随机变量，，则答案：ACD解析：解答过程：选项A：0-1分布中随机变量仅能取0和1两个值，因此，A正确;选项B：二项分布的方差公式为，代入得，B错误;选项C：超几何分布的期望公式为，代入得，C正确;选项D：正态分布关于对称轴对称，因此，D正确.第Ⅱ卷主观题（共92分）三、填空题：（本题共3小题，15分）12.已知随机变量，则_______．（参考数据：，）答案：解析：思路：先由正态分布表达式读出均值与标准差，把所求区间拆成对称轴左侧半区间和右侧半区间，利用正态曲线左右对称，将已知总概率各取一半相加得到结果．解答过程：正态分布关于对称，标准差为，．13.根据最小二乘法得到与的经验回归方程为，则样本点的随机误差的效应（残差）为______．答案：解析：思路：根据残差的定义，先计算对应的预测值，再用实际观测值减去预测值即可得到结果．解答过程：当时，，所以样本点的随机误差的效应（残差）为．14.已知展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_______．答案：61解析：解答过程：分析：根据题设可列出关于的不等式，求出，代入可求展开式中常数项为.详解：的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即最大，，解得，又，则展开式中常数项为.点睛：在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式.四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.已知离散型随机变量的分布列如表所示：求：（1）常数的值；（2）和．答案：（1）（2），解析：思路：（1）利用离散型随机变量分布列概率和为、各概率非负的性质求解；（2）根据期望、方差的定义，代入分布列计算结果．（1）根据题意得，解得；（2）由（1）得，所以的分布列为所以，．16.某篮球运动员投篮的命中率为，现投了次球．（1）求恰有次命中的概率；（2）求至多有次命中的概率；（3）设命中的次数为，求答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用次独立重复试验的概率计算公式，求出恰有2次投中的概率；（2）利用次独立重复试验的概率计算公式，求得3次全命中的概率，再根据对立事件的概率关系求出至多有2次投中的概率；（3）由题意可知，命中的次数，根据二项分布的方差公式即可求得．（1）某篮球运动员投篮的命中率为，现投了次球．所以恰有次命中的概率为；（2）由题意知，3次全命中的概率为，所以至多有次命中的概率为；（3）设命中的次数为，则，所以的方差.17.某消费品企业销售部对去年各销售地的居民年收入（即此地所有居民在一年内的收入的总和）及其产品销售额进行抽样分析，收集数据整理如下：销售地ABCD年收入x（亿元）15203550销售额y（万元）16204048（1）在图a中作出这些数据的散点图，并指出y与x成正相关还是负相关？（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程？（3）若B地今年的居民年收入将增长20%，预测B地今年的销售额将达到多少万元？回归方程系数公式：，.参考数据：，.答案：（1）散点图见解析，y与x成正相关；（2）；（3）23.04万元.解析：思路：(1)根据表中给的数据描点再判断即可.(2)代入参考数据与公式计算出方程即可.(3)根据(2)中的回归方程,代入求解即可.解答过程：（1）如图，y与x成正相关.（2），，，，，，故所求线性回归方程为.（3）当时，，预测B地今年的销售额将达到23.04万元.方法提示：本题主要考查了线性回归方程的求解及其实际意义的理解,属于基础题型.18.年美加墨世界杯足球赛正在如火如荼进行．某人为了了解我校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关，从全校学生中随机抽取名学生进行了问卷调查，得到了如下列联表：

男生女生合计收看

不收看

合计

已知在这名同学中随机抽取人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是（1）请将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“通过电视收看世界杯”与性别有关？（2）若从这名同学中的男同学中随机抽取人参加一活动，记“通过电视收看世界杯”的人数为，求的分布列和均值．

参考公式：，

答案：（1）补全后的列联表如下：男生女生合计收看10616不收看6814合计161430依据小概率值的独立性检验，不能认为“通过电视收看世界杯”与性别有关。（2）的分布列为：012均值为。解析：思路：（1）首先根据收看电视的有16人，依次补全列联表，计算后比较临界值，即可判断；（2）根据超几何分