陕西省西安市交通大学附属中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试题 含答案解析

数学注意：本试题共4页，四道大题.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分.共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合则（）A. B.C. D.2.已知复数，则（）A. B. C. D.13.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.4.在正方体中，异面直线与所成角（）A.30° B.45° C.60° D.90°5.圆：与圆：的位置关系是（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切6.设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（

）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则7.已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为A. B. C. D.8.在直角梯形中，，，，E，F分别为，的中点，以A为圆心，为半径的圆交于G，点在弧上运动（如图）.若，其中，则的最大值是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知为第二象限角，，则（）A. B.C. D.10.如图，已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则下列说法正确的是（）A.圆锥的体积为 B.圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形C.圆锥的表面积为3π D.圆锥的外接球的表面积为11.已知点在圆：上运动.则下列结论正确的是（）A.的最大值为B.的最小值为C.若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为D.若，，则的最小值为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知两条直线：，：，若，则实数______.13.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根，则14.在一个底面半径为4cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内放入6个半径为2cm的铁球，则圆柱高的最小值为_____cm.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数.（1）求的最小正周期及最值；（2）求在上的单调递增区间.16.已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中，.（1）若，且，求向量的坐标；（2）若，求在上的投影向量；（3）若，且，求与的夹角的大小.17.如图，在三棱台中，若平面，，，，M，N分别为，中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.如图，已知的内角的对边分别为.（1）若，，，求的内角的值；（2）若，，的面积为，求的值；（3）若顶点在以为直径的半圆上运动，半圆圆心为，点在线段的延长线上，，，以为边作正三角形，且点与圆心分别在直线两侧，，将四边形的面积表示成关于的函数，并求四边形面积的最大值.19.已知圆的方程为.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）已知直线与圆交于点，，若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围；（3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于，，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，，记的面积为，的面积为，求的最大值.

数学注意：本试题共4页，四道大题.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分.共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：求出集合后结合交集的定义可求.解答过程：，故，故选：D.2.已知复数，则（）A. B. C. D.1答案：A解析：解答过程：，A正确.3.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将一般式化成斜截式，再根据即可求解解答过程：由变形可得，则，又，所以，故选：C方法提示：本题考查由直线的一般式求解直线倾斜角，属于基础题4.在正方体中，异面直线与所成角（）A.30° B.45° C.60° D.90°答案：C解析：解答过程：如下图，连接，，由正方体的性质知：，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，即，在三角形中，因为，所以三角形为等边三角形，所以.5.圆：与圆：的位置关系是（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切答案：D解析：解答过程：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，而，所以圆与圆内切.6.设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（

）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则答案：B解析：思路：利用线面垂直的性质推理判断A；利用线面平行的判定性质推理判断B；利用线线、面面平行关系判断C；利用面面垂直及线面平行关系判断D.解答过程：对于A，由，，得，而，则，A错误；对于B，由，得存在过的平面且与不重合，则，由，得存在过的平面，则，又，因此，又，则，B正确；对于C，由，，，得与相交或平行，C错误；对于D，由，，，得与相交、平行或异面，D错误.故选：B7.已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：本小题主要考查向量的数量积运算与均值不等式的应用，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.如图所示，设PA与PB夹角为，因为，所以，则，因为，所以，当且仅当时取等号.8.在直角梯形中，，，，E，F分别为，的中点，以A为圆心，为半径的圆交于G，点在弧上运动（如图）.若，其中，则的最大值是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：建立如图所示的坐标系，则，，由得，，，用参数进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．解答过程：解：建立如图所示的坐标系，则，，由得，，，，，，其中，所以当，即时，取得最大值．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知为第二象限角，，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：由同角的平方关系求出的值判断A；由诱导公式求出的值判断B；由两角和的正弦公式求出的值判断C；由二倍角公式求出判断D.解答过程：对于A，因为为第二象限角，，所以，故A正确；对于B，因为，故B正确；对于C，因为，故C错误；对于D，因为，故D正确.10.如图，已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则下列说法正确的是（）A.圆锥的体积为 B.圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形C.圆锥的表面积为3π D.圆锥的外接球的表面积为答案：ACD解析：解答过程：由题意可知，圆锥的直径为，母线长为，所以圆锥的高，所以圆锥的体积，A选项正确；圆锥的侧面展开图的弧长，半径为，所以圆心角，B选项错误；圆锥的表面积，C选项正确设圆锥的外接球半径为，则，则，所以外接球的表面积为，D选项正确.11.已知点在圆：上运动.则下列结论正确的是（）A.的最大值为B.的最小值为C.若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为D.若，，则的最小值为答案：ACD解析：思路：先由圆的方程可得圆心坐标及半径，对A转化为直线与圆有交点时斜率最大值可得；对B转化为直线与圆有公共点时的最小值；对C设出直线方程求得点坐标，再用两点距离公式并结合圆点坐标范围可得；对D直接转化圆上的点到原点的距离的最小值问题可得.解答过程：对原圆方程配方得，圆心，半径对A选项，令表示点与原点连线的斜率，即直线与圆有交点.所以圆心到直线的距离，即，平方整理得：

，

解得，故​最大值为​​，A正确.对B选项，设，即，即直线与圆有公共点，所以圆心到直线距离

，即，解得，​

所以的最小值为，不是，故B错误；对C选项，过斜率为​的直线为，令，得，

，因为在圆上，所以，因此，故C正确；对D选项，设，，，所以，因为，所以，所以，故D正确.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知两条直线：，：，若，则实数______.答案：解析：解答过程：两条直线：，：，因为，则，所以.13.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根，则答案：解析：思路：说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图像，根据图像判断即可.解答过程：解：定义在R上的奇函数，所以，，又，所以，8是函数的一个周期，所以，所以是函数的一条对称轴，函数的对称轴是，根据以上性质画出函数的大致图像:有图像知，，所以，故答案为：方法提示：把函数的奇偶性、单调性、周期性与方程的根的个数结合起来考查，中档题.14.在一个底面半径为4cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内放入6个半径为2cm的铁球，则圆柱高的最小值为_____cm.答案：解析：思路：根据题设分析每层放置铁球的个数，得6个球分3层，每层2个放置，总高最小，应用空间想象求出上下两层铁球球心的间隔距离，再由且即可得.解答过程：已知圆柱底面半径为，铁球半径为，若同一层放2个球：两球心相距，每个球心到圆柱中心轴的距离为，球心到圆柱侧壁的距离为，刚好等于球半径，可放下，若同一层放3个球：三个球心构成边长为的正三角形，其外接圆半径为，加球半径后大于，超出圆柱底面半径，放不下，因此6个球分3层，每层2个放置，总高最小，此时相邻两层的两个球错开放置，如下示意图，若为下层球心，为上层球心，且四个铁球两两相切，则四面体的各棱长为，将四面体补全为上图所示的正方体，则正方体的棱长为，即上层铁球的球心所在平面与下层铁球的球心所在平面的距离（上下两层铁球球心的间隔）为，最下层球心距底面、最上层球心距顶面均为球半径，3层共2个间隔，所以总高为.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数.（1）求的最小正周期及最值；（2）求在上的单调递增区间.答案：（1）最小正周期为，最大值为，最小值为.（2）单调递增区间为解析：思路：（1）化简得，由三角函数的性质求解即可；（2）由，求解即可.（1）因为.所以函数的最小正周期为，最大值为，最小值为.（2）由，得，所以函数的单调递增区间为.16.已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中，.（1）若，且，求向量的坐标；（2）若，求在上的投影向量；（3）若，且，求与的夹角的大小.答案：（1）或.（2）（3）解析：思路：（1）根据题意，利用共线向量的坐标表示和向量模的计算公式，列出方程组，即可求解；（2）根据题意，利用投影向量的计算公式，即可求解；（3）根据题意，利用垂直向量的坐标表示，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.（1）解：由向量，，因为，且，可得，解得或，向量的坐标为或.（2）解：由向量，，可得且，所以在上的投影向量.（3）解：由，且，可得，因为，可得，解得，所以，因为，所以，即与的夹角为.17.如图，在三棱台中，若平面，，，，M，N分别为，中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）因为三棱台的上下底面相似，所以，由题意得，又，分别为，中点，所以，且，则且，所以四边形是平行四边形，故，又平面，A1N⊄平面，所以平面；（2）解析：思路：（1）首先证明四边形是平行四边形，从而有，再由线面平行的判定定理证明结论；（2）构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求面面角的余弦值.（1）略（2）由平面，，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，根据题意得各点坐标，，，因为，，且都在平面内，所以平面，因此平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，，所以，令，得，，即，设两个平面的夹角为，平面夹角取锐角或直角，因此，即平面与平面​夹角的余弦值为.18.如图，已知的内角的对边分别为.（1）若，，，求的内角的值；（2）若，，的面积为，求的值；（3）若顶点在以为直径的半圆上运动，半圆圆心为，点在线段的延长线上，，，以为边作正三角形，且点与圆心分别在直线两侧，，将四边形的面积表示成关于的函数，并求四边形面积的最大值.答案：（1），（2）（3），，四边形面积的最大值为.解析：思路：（1）直接由正弦定理解三角形可得；（2）由三角形面积公式及余弦定理解得；（3）将四边形的面积分为两个三角形面积的和，分别求两个三角形面积可得函数关系，再结合正弦函数性质可得面积的最大值.（1）由正弦定理

，得，因为，所以，.因此，.（2）因为的面积为，且，所以，得.又由余弦定理，得，即，所以，因此（负值舍去）.故的值为.（3）由题意得，.在中，由余弦定理得.所以.又因为是正三角形，所以.所以四边形的面积，即，.因为，所以，，当时，即，.因此，，面积的最大值为19.已知圆的方程为.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）已知直线与圆交于点，，若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围；（3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于，，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，，记的面积为，的面积为，求的最大值.答案：（1）或（2）（3）解析：思路：（1）通过斜率存在和不存在，结合圆心到直线距离为1，即可求解；（2）设，由，得到，再结合的取值范围即可求解；（3）通过斜率存在和不存在，借助三角形面积公式求解和，即可求解.（1）设圆心