陕西省咸阳市2025-2026学年高一第二学期期末质量检测数学试题 含答案解析

数学本试卷共4页，满分150分，时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.某公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180，240，360．现采用分层随机抽样的方法从这三个部门的员工中抽取39人，调研员工对工作的满意度，则人工智能部门被抽取的人数为（）A.6 B.12 C.18 D.243.在复平面内，复数对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知平面向量，不共线，满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.5.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.某模型对图象中目标识别的准确率与训练样本量的关系为，当识别的准确率达到时，的值约为（参考数据：）（）A.1152 B.1560 C.1842 D.23037.在正方体中，下列说法错误的是（）A. B.与是异面直线C.平面平面 D.直线与平面所成角为8.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.10.已知，，为随机事件，且，，，则下列结论正确的有（）A.事件，是相互对立事件B.若事件，，两两互斥，则为必然事件C.若事件，相互独立，则D.若，则事件，相互独立11.设是定义在上的偶函数，且，当时，，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的虚部为________．13.在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，开关，闭合与断开的概率都是，且所有开关的闭合与断开是相互独立的，则灯亮的概率为________．14.已知球的体积为，正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）的四个顶点，，，均在球的球面上，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.从2名男学生（记为和）和3名女学生（记为，和）组成的总体中，采用有放回简单随机抽样的方法抽取2名学生．（1）写出该试验的样本空间；（2）求两次都是女生的概率．16.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间．17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角；（2）若边的中点为，，，求的面积．18.树人中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前25%的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数；（3）若成绩落在的平均成绩是57，方差是7；成绩落在的平均成绩为69，方差是4，求这两组数据的总平均数和方差．19.如图1是边长为2的正方形，将其沿折起，使得，得到如图2所示的三棱锥，其中，分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求二面角的余弦值．

数学本试卷共4页，满分150分，时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据一元二次方程的解法及交集的定义求解即可.解答过程：因为，所以.

2.某公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180，240，360．现采用分层随机抽样的方法从这三个部门的员工中抽取39人，调研员工对工作的满意度，则人工智能部门被抽取的人数为（）A.6 B.12 C.18 D.24答案：C解析：思路：根据分层抽样方法求解即可.解答过程：抽样比为，所以人工智能部门被抽取的人数为.3.在复平面内，复数对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：解答过程：由于，故复数对应的点是，位于第二象限4.已知平面向量，不共线，满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据平面向量数量积的运算律及垂直关系的向量表示求解即可.解答过程：由，得，即，整理得，又平面向量，不共线，所以.所以与的夹角为.5.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：解答过程：充分性：当时，，充分性不成立；必要性：当时，，所以若成立，则必须有，必要性成立.6.某模型对图象中目标识别的准确率与训练样本量的关系为，当识别的准确率达到时，的值约为（参考数据：）（）A.1152 B.1560 C.1842 D.2303答案：D解析：解答过程：令，得，，两边取对数，得，.7.在正方体中，下列说法错误的是（）A. B.与是异面直线C.平面平面 D.直线与平面所成角为答案：D解析：思路：画出图形根据点线面的位置关系，逐一判断即可得出答案.解答过程：对于A，且，所以四边形为平行四边形，所以，，故A结论正确；对于B，由图可知与是异面直线，故B结论正确；对于C，由选项A可知，平面，平面，故平面，又且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，故C结论正确;对于D，由于平面，所以直线与平面所成角为,，故D结论错误.8.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设点坐标为，已知，因此，顺时针旋转，等价于逆时针旋转，代入，，得到旋转后的向量：横坐标，纵坐标，已知，因此，对应坐标相等得方程组：解得，，即.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：根据不等式的基本性质即可得解答过程：选项A

，已知，（由得），根据同向不等式的可加性：，因此恒成立，A正确；选项B

，已知，两边同时除以正数，不等号方向不变：，化简得，即恒成立，B正确；选项C

，举反例：取，满足，此时，，，C错误；选项D

，作差比较：

，分析符号：，（，故），分母为正；，，分子，因此差为正，即恒成立，D正确.10.已知，，为随机事件，且，，，则下列结论正确的有（）A.事件，是相互对立事件B.若事件，，两两互斥，则为必然事件C.若事件，相互独立，则D.若，则事件，相互独立答案：C解析：思路：区分互斥、对立、独立：互斥仅无交集，对立事件需并集为必然，独立靠判定，逐一分析选项即可.解答过程：选项A，，所以A和B不是对立事件，A错误；选项B，若两两互斥，则，概率为1的事件不一定是必然事件，仅由无法推出其为必然事件，B错误；选项C，若相互独立，则，C正确；选项D，若，则，而，所以和不相互独立，D错误.11.设是定义在上的偶函数，且，当时，，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：由条件可得函数周期，再结合偶函数的性质，逐个选项判断即可.解答过程：因为是定义在上的偶函数，所以，又，即将替换为，可得，所以，的周期为，即，C错，当时，，则时，，由，得时，，所以，A正确，且，B正确，另外，，也可得到C错，对于D，，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的虚部为________．答案：解析：解答过程：由题，，虚部为.13.在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，开关，闭合与断开的概率都是，且所有开关的闭合与断开是相互独立的，则灯亮的概率为________．答案：##0.5625解析：思路：应用独立事件乘法公式结合对立事件概率公式计算求解.解答过程：记“开关闭合”为事件，“开关至少有一个闭合”为事件，则，因为所有开关的闭合与断开都是相互独立的，则，灯亮的概率为.14.已知球的体积为，正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）的四个顶点，，，均在球的球面上，则________．答案：解析：思路：先由球体积算出外接球半径，再套用正四面体外接球半径与棱长的关系式直接求出棱长.解答过程：由题，球体积，则，设正四面体边长为，其外接球半径为，则.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.从2名男学生（记为和）和3名女学生（记为，和）组成的总体中，采用有放回简单随机抽样的方法抽取2名学生．（1）写出该试验的样本空间；（2）求两次都是女生的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）样本空间需考虑两次抽取的所有有序结果，总数为个；（2）计算“抽到2人都是女生”的概率时，先找出事件包含的个结果，再用公式求解（1）所求样本空间为．（2）设事件为抽到的2人都是女生，则事件，又，，根据古典概型，得所求概率为．16.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）先用二倍角、辅助角公式统一化为单角正弦型，再套周期公式求值；（2）整体代换正弦函数增区间，解不等式得到的取值范围.（1），所以函数的最小正周期为．（2）由（1）知，由，解得，所以函数的单调递增区间为．17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角；（2）若边的中点为，，，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）通过正弦定理和余弦定理建立等式，求解出角的值；（2）首先根据是中点，利用向量中线公式建立长度与边、、角的关系，代入已知条件求出边的长度，再使用三角形面积公式计算面积。解答过程：解：（1）由及正弦定理得，整理得：，所以，又，所以．（2）因为边的中点为，所以，所以，所以，解得或（舍）．所以的面积为．18.树人中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前25%的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数；（3）若成绩落在的平均成绩是57，方差是7；成绩落在的平均成绩为69，方差是4，求这两组数据的总平均数和方差．答案：（1），74（2）84（3）65；37解析：思路：（1）用频率和为1求参数，再用“组中值×频率”算平均数；（2）求高分分界值时，先定位区间，再用频率列方程求解；（3）两组数据合并时，用加权平均求总均值，用分层方差公式求总方差.（1）由题意可得，解得，平均数为．（2）分数介于的频率为，的频率为，所以获荣誉证书的最低分数介于，设最低分数为，则，解得．（3）成绩在的学生人数为，成绩在的学生人数为，故，．19.如图1是边长为2的正方形，将其沿折起，使得，得到如图2所示的三棱锥，其中，分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求二面角的余弦值．答案：（1）因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面．