陕西省榆林市靖边中学2025-2026学年高二上册收心考试数学试题 含答案解析

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据5，9，1，3，7的中位数是（）A.1 B.3 C.5 D.72.已知空间向量，，若，则（）A.3 B.2 C.1 D.03.已知复数，则（）A. B. C. D.14.若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，5.如图，在直三棱柱中，△ABC为等腰直角三角形，且则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（）A.4 B.6 C. D.7.在正方体中，连接其任意两个顶点都可以得到一条线段，则这些线段所在的直线平行于平面的概率为（）A. B. C. D.8.在正三棱锥中，，点，分别是棱，的中点，则（）A.-2 B.-4 C.-8 D.-10二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题为假命题的有（）A.若，，则m，n相交或平行B.若，，则C.若，，则D.若，，则10.已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（）A.， B.，C.， D.，11.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.若，则角的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________．13.已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为__________.14.若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则该圆锥的侧面积为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角所对的边分别为，且，.（1）求的值；（2）若，求的面积.16.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；（2）在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率.17.如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且.（1）若点满足，求证：平面；（2）底面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.18.为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式．现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响．（1）若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率；（2）若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率；（3）假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率．19.如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点．（1）证明：；（2）当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值；（3）当二面角的余弦值为时，求．

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据5，9，1，3，7的中位数是（）A.1 B.3 C.5 D.7答案：C解析：思路：根据中位数的定义求解．解答过程：先将样本数据按照从小到大排序1，3，5，7，9，中位数是第三个数5.故选：C2.已知空间向量，，若，则（）A.3 B.2 C.1 D.0答案：B解析：思路：利用两向量垂直等价于数量积为0，得出方程，即可求出的值.解答过程：由题意，，，，∴，解得：.3.已知复数，则（）A. B. C. D.1答案：C解析：解答过程：，故.4.若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，答案：D解析：思路：根据基底的定义，结合空间向量的共面条件，可得答案.解答过程：因为，所以，，共面；因为，所以，，共面；因为，所以，，共面；因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底．故选：D.5.如图，在直三棱柱中，△ABC为等腰直角三角形，且则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：建系，由异面直线夹角的向量法即可求解.解答过程：由题意如图建立空间直角坐标系，可得：，则与，所以,所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（）A.4 B.6 C. D.答案：D解析：思路：根据三角形内角和定理，结合同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可.解答过程：因为，由正弦定理可得，则，，，，，为内角，，则，，,故选：D.7.在正方体中，连接其任意两个顶点都可以得到一条线段，则这些线段所在的直线平行于平面的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由题可知总有28条线段，找出与平面平行的即可得到概率.解答过程：根据题意，任意两个顶点连线共有条，平面平行的有共3条，所以概率为.故答案为：D.8.在正三棱锥中，，点，分别是棱，的中点，则（）A.-2 B.-4 C.-8 D.-10答案：C解析：思路：根据空间向量线性运算，先把向量用来表示，再用空间向量数量积运算即可求解解答过程：在正三棱锥中，，所以，则，又，，所以.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题为假命题的有（）A.若，，则m，n相交或平行B.若，，则C.若，，则D.若，，则答案：ACD解析：解答过程：对于A，若，，则直线m，n相交或平行或异面，故A错误；对于B，若，，则，故B正确；对于C，若，，则或，故C错误；对于D，若，，则n与平行或相交或在平面内，故D错误.10.已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（）A.， B.，C.， D.，答案：BCD解析：思路：根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论.解答过程：由题意，，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，点在平面内，且，∴，即，A项，，故A错误；B项，，故B正确；C项，，故C正确；D项，，故D正确.11.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.若，则角的最大值为答案：ACD解析：思路：对于A，由是锐角三角形，可得，取正弦化简判断，对于B，由题意可得，化简变形后进行判断，对于C，由选项A可知，两边加上，化简进行判断，对于D，利用余弦定理结合基本不等式分析判断.解答过程：对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，所以，所以，同理可得，所以，故A正确；对于B，因为是锐角三角形，所以，所以，所以，又，，所以，故B错误；对于C，因为是锐角三角形，所以，所以，所以，所以，又，所以，，所以，故C正确；对于D，因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，又，所以角的最大值为，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________．答案：解析：思路：利用投影向量的计算公式得到答案.解答过程：向量，所以向量在向量上的投影向量的坐标为：．.故答案为：13.已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为__________.答案：解析：思路：先求出与，计算模长和夹角余弦值，进而求得夹角的正弦值，最后利用平行四边形面积公式，求面积即可.解答过程：因为，，，所以，，则，，，所以，则以，为邻边的平行四边形的面积.故答案为：14.若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则该圆锥的侧面积为________．答案：解析：思路：作出截面图形，由圆锥的侧面积公式结合题意计算可得.解答过程：过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆和外接圆，且两圆同圆心，即的内心与外心重合，所以为正三角形，由题意的半径为，所以的边长为6，所以圆锥的底面半径为3，所以圆锥的侧面积．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角所对的边分别为，且，.（1）求的值；（2）若，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理求得正确答案.（2）利用余弦定理求得，再由三角形的面积公式求得的面积.（1）依题意，，，由正弦定理得.（2）若，则，由余弦定理得，，解得，所以.16.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；（2）在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）利用频率分布直方图中各组频率之和等于1求出的值，再根据平均数计算公式计算即可；（2）先计算出内的人数，分别表示出随机试验和事件所含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得.（1）由频率分布直方图可得，，解得，；这50名学生的物理成绩的平均数为：；（2）由频率分布直方图可知，成绩在内的学生有人，其中内有2人，设为，内有3人，设为，“从成绩在内的学生中随机抽取2人”对应的样本空间为：，而事件“2人成绩都在内”=，由古典概型概率公式可得，.即这2人成绩都在内的概率为.17.如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且.（1）若点满足，求证：平面；（2）底面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.答案：（1）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.所以，，，，，，所以，.设平面的一个法向量，所以，令，解得，，所以平面的一个法向量.若，则，所以，所以，，又平面，所以平面.（2）存在，.解析：思路：（1）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和，再计算，从而可证明；（2）假设底面内存在一点，使得平面，从而根据列式可求解.（1）略（2）假设底面内存在一点，使得平面，设，又，所以，又平面的一个法向量，所以，所以，解得，，所以底面内存在一点，使得平面，此时.18.为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式．现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响．（1）若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率；（2）若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率；（3）假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由事件的相互独立性的乘法公式和对立事件可求出答案。（2）记“甲答对i个问题”为事件，“乙答对i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得答案。（3）记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件，由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得答案。（1）记“乙至少有1个回答正确”为事件，所以，即乙至少有1个回答正确的概率是．（2）记“甲答对i个问题”为事件，“乙答对i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件所以，即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是．（3）记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件，所以，即甲恰好回答5次被退出比赛的概率是．19.如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点．（1）证明：；（2）当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值；（3）当二面角的余弦值为时，求．答案：（1）证明:因为，所以，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以．（2）（3）解析：思路：（