四川省部分校2026届高三上册9月开学联考数学试题 含答案解析

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.2.2024年四川实现地区生产总值64697.0亿元，从主要工业产品产量看，相比于上一年的产量，单晶硅､锂离子电池､汽油､多晶硅､集成电路､发电机组､天然气､发电量的增长率分别为，则这组数据的分位数为（）A. B. C. D.3.若为奇函数，当时，，则（）A.10 B. C.12 D.4.已知集合，则（）A. B.C. D.5.若一个圆锥与一个圆台的体积相等，且圆台的上､下底面半径分别为2，3，高为3，圆锥的底面半径为2，则该圆锥的高为（）A. B.19 C. D.6.甲､乙､丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥､长江索道､洪崖洞民俗风貌区､重庆动物园､仙女山､白帝城这六个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲､乙､丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有（）A.96种 B.100种 C.108种 D.120种7.已知为椭圆上一点，椭圆的四个顶点为，且，则（）A.点必在椭圆上 B.点必在椭圆上C.点必在椭圆上 D.点必在椭圆上8.若，则（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知双曲线，则（）A.B.双曲线的实轴长为C.双曲线的渐近线方程为D.当双曲线的离心率等于其虚轴长时，10.已知函数，则（）A.B.当时，与在上的单调性相同C.当与的最大值相等时，D.不论取何值，的图象总关于直线对称11.若正方体内放入两个半径相等的小球，且小球半径的最大值为，为棱上一点，且，则（）A.点到平面的距离为B.与底面所成角的正切值为C.异面直线与所成的角小于D.四棱锥外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.在等差数列中，，则公差__________.13.若向量与的夹角为为随机变量，且.设，则的概率为__________，__________.14.已知曲线，若圆与都相切，则圆的标准方程为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，分别是内角的对边，且.（1）求；（2）若，证明：为直角三角形.16.如图，在边长为3的正方形中，分别在边上，，将沿翻折，使得点与点重合，且平面平面，（1）证明：平面且.（2）求平面与平面的夹角.17.已知抛物线的焦点到直线的距离为，直线与交于两点.（1）求的准线方程；（2）若直线的方程为，求；（3）过两点分别作的切线，且相交于点，若点的纵坐标为，证明：直线过定点.18.已知函数.（1）证明：.（2）若在上只有一个零点，求的取值范围.（3）设是的两个零点，证明：.19.一个不透明的袋子中装有编号分别为的4个小球，每次从袋中随机摸出1个小球并记录编号后放回袋中，当连续两次摸出的小球编号相同时，停止摸球，设停止摸球时已摸球的次数为.记第次摸到的小球编号为.（1）求与；（2）设，求与；（3）当时，为随机变量，若是奇数，则，若是偶数，则，求.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据复数的乘法和加法运算求解.解答过程：.故选：A.2.2024年四川实现地区生产总值64697.0亿元，从主要工业产品产量看，相比于上一年的产量，单晶硅､锂离子电池､汽油､多晶硅､集成电路､发电机组､天然气､发电量的增长率分别为，则这组数据的分位数为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意，由百分位数的定义代入计算，即可得到结果.解答过程：将这组数据按照从小到大的顺序排列为，，因为，所以这组数据的分位数为第5个数，即.故选：D3.若为奇函数，当时，，则（）A.10 B. C.12 D.答案：D解析：思路：由奇函数性质结合题意可得答案.解答过程：因为为奇函数，时，,所以.故选：D4.已知集合，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：通过解绝对值不等式和根式不等式化简集合，再结合交集、并集的定义即可求解.解答过程：因为，所以.故选：C.5.若一个圆锥与一个圆台的体积相等，且圆台的上､下底面半径分别为2，3，高为3，圆锥的底面半径为2，则该圆锥的高为（）A. B.19 C. D.答案：A解析：思路：根据圆锥与圆台的体积公式即可求解.解答过程：设该圆锥的高为，则，解得.故选：A6.甲､乙､丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥､长江索道､洪崖洞民俗风貌区､重庆动物园､仙女山､白帝城这六个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲､乙､丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有（）A.96种 B.100种 C.108种 D.120种答案：B解析：思路：先安排甲，再将剩余的2人进行排列，得到答案,解答过程：先安排甲，再将剩余的2人进行排列，故这三人的不同选择方法共有种.故选：B7.已知为椭圆上一点，椭圆的四个顶点为，且，则（）A.点必在椭圆上 B.点必在椭圆上C.点必在椭圆上 D.点必在椭圆上答案：A解析：思路：由题不妨设，易得为的两个焦点，则，推得，利用椭圆的定义即可求解.解答过程：因椭圆的四个顶点为，不妨设，因为椭圆的焦点为，则为的两个焦点，则，所以，所以点在以为焦点，长轴长为6的椭圆上.设该方程为，依题意，则，即点必在椭圆上.故选：A.8.若，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：先变形得到，构造函数，求导得到其在上的单调性，从而得到，.解答过程：因为，所以.设函数，则，当时，单调递减，所以，所以，故.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知双曲线，则（）A.B.双曲线的实轴长为C.双曲线的渐近线方程为D.当双曲线的离心率等于其虚轴长时，答案：ABD解析：思路：根据双曲线标准方程的特点，可得双曲线C的焦点在x轴上，由此确定.对照确定的值，依次判断选项，可得正确答案.解答过程：选项A：依题意可得双曲线C的焦点在x轴上，所以所以选项A正确；选项B、C：对照焦点在x轴上的双曲线的标准方程：，知.所以双曲线的实轴长为；双曲线的渐近线方程为：，即.所以选项B正确，选项C错误；选项D：双曲线的离心率等于虚轴长时，，则，所以，解得.所以选项D正确.故选：ABD.10.已知函数，则（）A.B.当时，与在上的单调性相同C.当与的最大值相等时，D.不论取何值，的图象总关于直线对称答案：ACD解析：思路：对于A计算即可判断，对于B先判断的单调性，再利用复合函数判断的单调性即可判断，对于C由，根据与的最大值相等，即可求，进而判断，对于D验证是否成立即可判断.解答过程：由题意有对于A：，故A正确.对于B：当时，在上先减后增，令，则，又因为在上单调递减，在单调递减，由复合函数单调性可知，在上单调递增，故B错误.对于C：，当与的最大值相等时，且，得，故C正确.对于D：因为，所以不论取何值，的图象总关于直线对称，D正确.故选：ACD.11.若正方体内放入两个半径相等的小球，且小球半径的最大值为，为棱上一点，且，则（）A.点到平面的距离为B.与底面所成角的正切值为C.异面直线与所成的角小于D.四棱锥外接球的表面积为答案：BC解析：思路：当均落在该正方体的一条体对角线上且这两个小球相切，同时这两个小球均与正方体的三个面相切时，小球的半径取得最大值，进而可得正方体的棱长为4.对于A，连接，证得平面，点作，则平面，则即为点到平面的距离，计算即可；对于B，连接，则为与底面所成的角，计算即可；对于C，因为，所以异面直线与所成的角为与所成的角（或其补角），以为原点建立坐标系，根据向量求解判断即可；对于D，四棱锥外接球的球心为线段的中点，求得外接球半径，根据球的表面积公式计算即可.解答过程：设这两个小球的球心为，当均落在该正方体的一条体对角线上且这两个小球相切，同时这两个小球均与正方体的三个面相切时，小球的半径取得最大值，设半径的最大值为，则该正方体的体对角线为，所以该正方体的棱长为4.对于A，连接，设，在正方体中，平面，，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，过点作，则平面，因为，所以点到平面的距离为，故A错误；对于B，连接，则为与底面所成的角，且，故B正确；对于C，因为，所以异面直线与所成的角为与所成的角（或其补角），以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：则，则，所以异面直线与所成的角小于，故C正确；对于D，四棱锥外接球的球心为线段的中点，则四棱锥外接球的半径为，则四棱锥外接球的表面积为，故D错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.在等差数列中，，则公差__________.答案：5解析：思路：由题目给出的已知条件，直接代入等差数列的通项公式求公差即可.解答过程：在等差数列中，，所以公差.故答案为：5.13.若向量与的夹角为为随机变量，且.设，则的概率为__________，__________.答案：①.##②.6解析：思路：第一空，由数量积定义式结合可得，据此可得答案；第二空，由第一空结合可得答案.解答过程：第一空，.由，得，则的概率为；第二空，由第一空，.故答案为：；.14.已知曲线，若圆与都相切，则圆的标准方程为__________.答案：解析：思路：由，得，由，得，由，得，画出曲线的图像，利用对称性可设，即，解出即可.解答过程：由，得，则曲线表示圆的上半部分，由，得，则曲线表示圆的上半部分，由，得，则曲线表示圆的上半部分，画出曲线，如图所示.根据对称性可知，圆的圆心在轴的正半轴上，设圆的标准方程为，则，解得，故圆的标准方程为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，分别是内角的对边，且.（1）求；（2）若，证明：为直角三角形.答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）结合两角和差的正切公式，利用角的拼凑即可求出；（2）利用正弦定理角化边，得到边的关系，再由（1）利用余弦定理得到进一步的关系，最后利用勾股定理证明直角三角形即可.（1）.（2）证明：因为，由正弦定理得，所以.由（1）知，所以，由余弦定理，得，所以，所以为直角，故为直角三角形.16.如图，在边长为3的正方形中，分别在边上，，将沿翻折，使得点与点重合，且平面平面，（1）证明：平面且.（2）求平面与平面的夹角.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由线面平行的判定定理可证明平面，由面面垂直的性质定理可得，计算得到的值，由勾股定理求得的值；（2）以为坐标原点，的方向分别为轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量计算二面角可得结果.（1）证明：因为平面平面，所以平面.取的中点，连接.因为，所以，则，所以.又平面平面，平面平面，所以平面，所以.因为，所以，所以，所以.（2）以为坐标原点，的方向分别为轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则所以.设平面的法向量为，则，即令，得.设平面的法向量为，则，即令，得.由，得，所以平面与平面的夹角为.17.已知抛物线的焦点到直线的距离为，直线与交于两点.（1）求的准线方程；（2）若直线的方程为，求；（3）过两点分别作的切线，且相交于点，若点的纵坐标为，证明：直线过定点.答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）利用点到直线的距离公式，结合抛物线焦点坐标列方程求解，即可得准线方程.（2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合弦长公式即可计算弦长.（3）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到根与系数的关系，再利用导数得出切线的方程，联立切线的方程得到交点的坐标，最后结合点纵坐标条件推导直线过定点，即可得证.（1）根据题意作图如下：由题意知.因为点到直线的距离为，所以，解得或，又因为，所以，所以抛物线的准线方程为.（2）根据题意作图如下：将代入，得，则，所以.（3）证明：根据题意作图如下：由已知，直线与抛物线有两个交点，则其斜率一定存在.设.由，得，所以.由，得，则，所以过点的切线方程为，即，同理过点的切线方程为，由，得，即，又点的纵坐标为，所以，又，所以，解得，所以直线过定点.18.已知函数.（1）证明：.（2）若在上只有一个零点，求的取值范围.（3）设是的两个零点，证明：.答案：（1）将代入函数，得.设，则，当时，，单调递增，时，，单调递减，所以，所以，故，.（2）（3）因为是的两个零点，所以，则，即，因为，，所以，所以.设，，则，当时，，当时，，所以，即.解析：思路：（1）构造函数，通过求导分析的单调性，进而求得的最大值，若最大值小于0，即可证明.（2）将函数零点问题转化为方程的解的问题，将变形为，构造函数，通过求导分析在上的单调性、极值及极限情况，结合与直线的交点个数来确定的取值范围.（3）根据题意，，将这两个等式相加进行变形，结合基本不等式构造函数，分析与之间的关系，即可证明不等式.（1）略（2）由，得.设，则，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极大值，且极大值为，在处取得极小值，且极小值为，，当时，，故的取值范