四川省成都市石室天府中学2025-2026学年高一第二学期5月学业练习数学试题 含答案解析

数学（考试时间120分钟，满分150分）一.选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.2.平面四边形中（）A. B. C. D.3.设，则复数在复平面内对应点的坐标为（）A. B. C. D.4.已知向量，，若，则实数（）A.1 B.2 C. D.5.已知正四棱锥的底面边长为，它的体积为24，则侧棱长为（）A. B. C.5 D.66.已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则（）A. B. C. D.17.如图，已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的侧面积为（）A. B. C. D.8.已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（）A. B. C.3 D.6二.选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（

）A.直线与是相交直线 B.直线与是异面直线C.与平行 D.直线与共面10.如图，函数的图象经过，则（）A.B.C.函数向左平移个单位得到，在的最小值为D.当在区间上有最大值没有最小值时，的取值范围11.如图，边长为的正方形内接于圆，是弧（包括端点）上一点，则下列正确的是（）A.，存在实数，，使得B.的最大值为C.的最大值为2D.点为正方形内一点，则最小值为4三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分.）12.如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是________．13.如图，一张残损的纸条上写着：“在中，，，（隐约可见数字，‘6’），满足条件的有两个.”在残损处的条件可能是①②③④中的______.14.在中，角所对的边分别为，若，则面积的最大值是______．四.解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，.（1）若是纯虚数，求的值；（2）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，且，求.16.在中，角，，所对的边分别为，，且.（1）若，求的面积；（2）若，求的值.17.如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点．（1）当为的中点时，求证：平面（2）当平面，求的值，并说明理由．18.在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且.（1）求角A的大小；（2）若，，求a；（3）若为锐角三角形，，求的取值范围.19.如图，已知的三边，，所对的角分别为，，以为一边作等边，，位于边两侧，连结交于点.（1）若，求证：；（2）若，，求：（i）的值；（ii）记，，求面积关于的函数表达式，并求的最大值.

数学（考试时间120分钟，满分150分）一.选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：.2.平面四边形中（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：平面四边形中.3.设，则复数在复平面内对应点的坐标为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据复数的除法运算及复数的几何意义求解即可.解答过程：由题意得，则复数在复平面内对应点的坐标为.4.已知向量，，若，则实数（）A.1 B.2 C. D.答案：B解析：思路：利用向量垂直的坐标运算，即可求解参数.解答过程：因为，，所以，因为，所以，即，解得.故选：B.5.已知正四棱锥的底面边长为，它的体积为24，则侧棱长为（）A. B. C.5 D.6答案：C解析：思路：根据正四棱锥的体积公式求出正四棱锥的高，结合勾股定理求解即可.解答过程：设正四棱锥的底面正方形中心为，则即为正四棱锥的高.由题意知，，解得.正方形中，，则.在中，由勾股定理得.6.已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则（）A. B. C. D.1答案：B解析：思路：先确定与的夹角，再求，进而可解出.解答过程：因为向量在向量上的投影向量为，所以确定与的夹角为，所以，所以，所以.故答案为：B.7.如图，已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的侧面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：作出轴截面图，由题设及几何知识可得圆台上，下底面半径，然后由圆台侧面积公式可得答案.解答过程：因球的表面积为，则，其中为球半径.如下图，作出以下轴截面图，设球心为，球截面圆与圆台轴截面（等腰梯形）相切于，因为，，，所以，所以，同理可得，设，则，过作垂线，垂足为，则，，，则，即该圆台上底面半径为，下底面半径为，母线为，则圆台侧面积为：.8.已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（）A. B. C.3 D.6答案：D解析：思路：根据重心的性质先用将表示出来，然后利用向量共线定理得出，最后利用基本不等式的性质求出的最小值.解答过程：根据重心的性质，重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.所以.因为，所以.所以.因为三点共线，根据向量共线定理可得，化简得.所以.当且仅当时，即时等号成立，此时的最小值为6.故选：D.二.选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（

）A.直线与是相交直线 B.直线与是异面直线C.与平行 D.直线与共面答案：BD解析：思路：根据异面直线的概念结合正方体性质可判断AB；根据直线的平行的判定可判断C；利用四点共面可判断D.解答过程：对于A，三点在平面内，M点不在直线上，A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误；对于B，三点在平面内，不在直线上，M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确；对于C，取的中点E，连接，又N为的中点，则有，，所以四边形是平行四边形，所以，，则与不平行，故C错误；对于D，连接，因为M，N分别为棱的中点，所以，由正方体的性质可知：，所以，则有四点共面，所以直线与共面，故D正确.故选：BD.10.如图，函数的图象经过，则（）A.B.C.函数向左平移个单位得到，在的最小值为D.当在区间上有最大值没有最小值时，的取值范围答案：AD解析：思路：先求，进而判断AB，再根据平移变换结合三角函数的性质即可判断C，利用整体法结合三角函数性质即可判断D.解答过程：由题意得：，所以，所以，所以，所以，又，所以，，故A正确，B错误；所以，所以，由，所以，所以，故C错误；由，所以，由在区间上有最大值没有最小值，所以，所以，即，故D正确.11.如图，边长为的正方形内接于圆，是弧（包括端点）上一点，则下列正确的是（）A.，存在实数，，使得B.的最大值为C.的最大值为2D.点为正方形内一点，则最小值为4答案：ABD解析：思路：由，化简得到，可判定A正确；由，利用向量的数量积的运算公式，可判定B正确；取的中点，得到，结合向量的数量积的公式，可判定C错误；根据向量模长不等式，得到和，可得判定D正确.解答过程：因为正方形的边长为，可得，即圆的半径为，对于A，若，可得，则，可得，即，可得三点共线，因为点在弧上，所以当点与点中一点重合时，其余弧上的点不满足，所以存在使得，所以A正确；对于B，由向量的运算法则，可得，且，则，当时，取得最大值，所以B正确；对于C，取的中点，连接，可得，则，因为，所以，所以的最大值为，所以C不正确；对于D，根据模长不等式，可得对于正方形内任意一点，则，两式相加得，当且仅当为正方形的中心时，取等号，所以最小值为4，所以D正确.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分.）12.如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是________．答案：解析：思路：根据原图与直观图对应边长的关系，求出三角形边长，进而利用三角形面积公式计算即可.解答过程：由已知得，，所以原图形中，，且，如图，因此原图形的面积为.故答案为：.13.如图，一张残损的纸条上写着：“在中，，，（隐约可见数字，‘6’），满足条件的有两个.”在残损处的条件可能是①②③④中的______.答案：④解析：解答过程：①，此时三角形三边、、全部确定，这样的三角形是唯一的，不符合“有两个”的条件.②，，，即，此时三角形唯一，不符合“有两个解”的条件.③,设，,则，解得，即，解得，其中负根，边长不能为负，仅有1个正根，只能构成唯一三角形，不符合“有两个解”的条件.④，设，由余弦定理得到即，即，解得，解得，检验：时，三边为3、7、8，满足三角形三边关系；时，三边为5、7、8，同样满足三边关系；故④符合题意.14.在中，角所对的边分别为，若，则面积的最大值是______．答案：解析：思路：由正弦定理化简边角关系可得，结合余弦定理和面积公式可用表示面积，由二次函数的性质可得面积的最大值.解答过程：因为，由正弦定理有即，所以或（舍）.由余弦定理有，故，当且仅当时等号成立，故面积的最大值为.四.解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，.（1）若是纯虚数，求的值；（2）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，且，求.答案：（1）（2）或.解析：思路：（1）利用共轭复数的意义、复数乘法求出，再利用纯虚数的意义求解.（2）求出向量坐标，再利用向量夹角公式列式求解.（1）依题意，，则，由是纯虚数，得，解得，所以.（2）依题意，，，，由，整理得，解得或，所以或.16.在中，角，，所对的边分别为，，且.（1）若，求的面积；（2）若，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由得到，利用三角形的面积公式求解.（2）由结合正弦定理，通过计算得到，由得到，结合两角和的正弦公式及三角形内角A、B不为直角得到，由得到，从而计算出.（1）因为，所以，则，解得，将代入可得：.（2）因为，，所以，将代入得到，即，因为，所以，故，即，即，因为三角形内角不为直角，所以，所以，即，因为，所以，解得.17.如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点．（1）当为的中点时，求证：平面（2）当平面，求的值，并说明理由．答案：（1）取中点为，连接，在中，为的中点，为中点，，在平行四边形中，为的中点，，，四边形为平行四边形，面面，平面；（2），理由：连接，相交于，连接，面，面面面，，，即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点.解析：思路：（1）取中点为，连接，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论；（2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置.（1）略（2）略18.在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且.（1）求角A的大小；（2）若，，求a；（3）若为锐角三角形，，求的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可；（2）通过三角形的面积公式求出边长，再利用余弦定理求解即可；（3）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角的函数，再结合锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可.（1）因为，由正弦定理得，即，因为在中，，所以，又，所以.（2）因为，，，所以，解得.由余弦定理得.（3）因为，，结合正弦定理，得，所以，.在中，,所以.因为为锐角三角形，所以，所以，则，所以，所以.19.如图，已知的三边，，所对的角分别为，，以为一边作等边，，位于边两侧，连结交于点.（1）若，