四川省达州市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量监测数学试题 含答案解析

数学满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.2.已知，则（）A.1 B. C.2 D.3.在中，，，，则（）A.2 B.1 C. D.4.已知底面半径为3，高为4的圆柱与某球的体积相等，则该球的表面积为（）A. B. C. D.5.为了解某社区月均用水情况，随机抽取100户居民近半年月均用水量（单位：吨），将用水量数据按，，，，分组制成频率分布直方图，则（）A. B.估计样本的中位数为10C.估计样本的众数为10 D.估计样本的平均数为106.已知直线a，b，l，平面，，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，，，则D.若，，，，则7.正三棱柱中，，直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，是夹角为的两个单位向量，向量，满足，，则（）A. B. C. D.10.已知正方体，，，则（）A.平面B.平面C.点，B，，D在同一个球面上，该球的半径为D.与平面所成角的正切值为11.的外接圆半径为1，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（）A.平面，存在实数m，n使得B.若，则在上的投影向量为C.D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12.方程在复数集中根为________．（写出一个根即可）13.某校从报名的男生30人、女生20人中用按比例分层随机抽样的方法抽取10人前往张雪的机车研发基地开展研学活动，则应抽取男生人数为________．14.斜三棱柱的底面为等边三角形，，该三棱柱内能装一个半径为1的球，则三棱柱体积的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.甲、乙射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，运动员甲射击成绩的平均数，中位数，方差分别为7、7、1.2；乙每次命中的环数为：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4（1）求运动员乙射击成绩的平均数和中位数；（2）用样本方差估计总体方差的方法估计乙运动员的总体方差；如果你是教练，要从这两名选手中选择一名平均水平较高且发挥比较稳定的选手参加比赛，你应当如何做出选择？请阐述你的理由．16.已知向量，．（1）若与平行，求k的值；（2）若与垂直，求k的值；（3）若，求k的值．17.三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求A；（2）若，的面积为，求的值．18.如图，在三棱锥中，平面，平面平面，M，N，D分别是，，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）若，，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．19.已知三个角的对边分别为，点平面，记．（1）已知，，，①若为的内心，则，求；②若点线段，求的最小值；（2）若为的内心，角的平分线交线段于点，，求的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：.2.已知，则（）A.1 B. C.2 D.答案：B解析：思路：法一：先化简复数，求出其共轭复数后计算模长；法二：利用共轭复数的模等于原复数的模的性质直接求解.解答过程：法一：由题意可得：，

又因为，所以，其共轭复数，根据复数模的计算公式可得：，方法二：利用复数模的性质，且商的模等于模的商可得：

.3.在中，，，，则（）A.2 B.1 C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以，.4.已知底面半径为3，高为4的圆柱与某球的体积相等，则该球的表面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意得，设该球的半径为，则，解得，则该球的表面积为.5.为了解某社区月均用水情况，随机抽取100户居民近半年月均用水量（单位：吨），将用水量数据按，，，，分组制成频率分布直方图，则（）A. B.估计样本的中位数为10C.估计样本的众数为10 D.估计样本的平均数为10答案：C解析：思路：根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为求出的值，再结合中位数、众数、平均数的定义及计算公式逐一判断各选项即可.解答过程：对于A选项，由频率分布直方图的性质可知，所有小矩形的面积之和为，即，解得，故A错误，对于B选项，前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，所以中位数位于第三组内，设中位数为，则，解得，即估计样本的中位数为，故B错误，对于C选项，在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边的中点值，由图可知，最高矩形对应的区间为，所以估计样本的众数为，故C正确，对于D选项，估计样本的平均数为：

，故D错误.6.已知直线a，b，l，平面，，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，，，则D.若，，，，则答案：C解析：解答过程：选项A.若，，则或，故A不正确.选项B.若，，则或异面，故B不正确.选项C.若，，，，，根据面面平行的判定可知，故C正确；选项D.若，，，，缺少条件相交，不能推出，故D不正确.7.正三棱柱中，，直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用向量点积公式计算异面直线所成角的余弦值.解答过程：设，，，由正三棱柱性质及可得：

，，，直线的方向向量为，直线的方向向量为，所以，取绝对值得，所以，，设异面直线所成角为，，则.8.中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：先展开向量点乘等式，通过建立平面直角坐标系将向量关系转化为坐标关系，再结合三角形内角正切的定义推导得到对应等式.解答过程：设B为坐标原点，BC所在直线为轴正方向，垂直于为轴正方向，建立平面直角坐标系：令，（），（），则，，

所以，由，得，

因，故，即，因此，又因为，，所以，内角为钝角，即，又因为，，所以，内角为锐角，即，角为锐角，，，A选项错误；过A作轴垂线，垂足为，则，，在中，，，，在中，，，，联立两式整理得：，整理可得：.C选项正确，BD选项错误.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，是夹角为的两个单位向量，向量，满足，，则（）A. B. C. D.答案：ACD解析：解答过程：

选项A：将和两式相加，得，化简得，A正确.选项B：两式相减得，即.是夹角为的单位向量，故，得，B错误.选项C：，故，C正确.选项D：，D正确.10.已知正方体，，，则（）A.平面B.平面C.点，B，，D在同一个球面上，该球的半径为D.与平面所成角的正切值为答案：AB解析：思路：根据正方体的性质，结合线面垂直、线面平行的判定定理以及线面角的定义，分别对各选项进行分析.解答过程：在A选项中，在正方体中，，因为平面，平面，所以，又因为，，平面，根据直线与平面垂直的判定定理可得，平面，因为平面，所以，同理可证，，又因为，平面，所以平面，所以A选项正确，在B选项中，连接，，在正方体中，，平面，平面，根据直线与平面平行的判定定理可得：平面，同理可得，平面，因为，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面，B正确，在选项C中，在正方体中，点构成一个正四面体，正方体的对角线长为，正四面体的外接球直径就是正方体的体对角线长，所以外接球半径，C错误，在D选项中，因为平面，所以就是与平面所成的角，在正方体中，则，，为与DC1的交点，所以为DC1中点，则，在中，根据勾股定理可得：，在中，.11.的外接圆半径为1，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（）A.平面，存在实数m，n使得B.若，则在上的投影向量为C.D.的最小值为答案：ACD解析：思路：利用平面向量基本定理判断A；利用投影向量的意义判断B；利用正弦定理及二倍角公式、和差角的余弦公式化简判断C；利用数量积的定义，结合三角恒等变形及二次函数求出最小值判断D.解答过程：对于A，不共线，由平面向量基本定理得对任意向量，均存在实数，，使得，A正确；对于B，由，得，则在上的投影向量为，B错误；对于C，由正弦定理得，C正确；对于D，，要取得最小值，必有，取最大值，因此当时，取得最小值，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12.方程在复数集中根为________．（写出一个根即可）答案：（或写出一个即可）解析：解答过程：，故方程在复数集中根为.（或写出一个即可）13.某校从报名的男生30人、女生20人中用按比例分层随机抽样的方法抽取10人前往张雪的机车研发基地开展研学活动，则应抽取男生人数为________．答案：6解析：解答过程：，则应抽取男生人数为6.14.斜三棱柱的底面为等边三角形，，该三棱柱内能装一个半径为1的球，则三棱柱体积的最小值为________．答案：解析：思路：根据给定条件，过作出三棱柱的直截面并确定其内切圆半径范围及三棱柱高的范围，进而求出体积的最小值.解答过程：过点作于，连接，由，，得≌，则，即，又，平面，因此平面，斜三棱柱内能装一个半径为1的球，得该三棱柱的高，过球心垂直于棱的三棱柱的截面三角形能容纳球的截面大圆，即的内切圆半径，令正边长为，则，由，得，三棱柱的体积，当且仅当时取等号，所以三棱柱体积的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.甲、乙射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，运动员甲射击成绩的平均数，中位数，方差分别为7、7、1.2；乙每次命中的环数为：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4（1）求运动员乙射击成绩的平均数和中位数；（2）用样本方差估计总体方差的方法估计乙运动员的总体方差；如果你是教练，要从这两名选手中选择一名平均水平较高且发挥比较稳定的选手参加比赛，你应当如何做出选择？请阐述你的理由．答案：（1）运动员乙射击成绩的平均数为，中位数为（2）运动员乙的总体方差估计值为，应当选择甲参赛，理由为甲乙平均水平一致，甲发挥更稳定解析：思路：（1）先根据给定数据计算乙射击成绩的总和，再利用平均数公式求出平均数，接着将成绩排序后根据中位数定义求出中位数.（2）先根据样本方差公式计算乙队员射击成绩的方差，再比较甲乙两人的平均数和方差大小，选择平均水平较高且发挥更稳定的选手参赛即可.（1）根据题意可得：乙次射击成绩总和为，根据平均数公式（，），可得，将乙的射击成绩从小到大排序为，共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的算术平均数，即.（2）根据样本方差公式，又因为、，

所以，用样本方差估计总体方差，故乙的总体方差估计值为4，已知甲的平均数为，方差为，乙的平均数为，方差为，两人平均水平相同，由于方差越小成绩波动越小、发挥越稳定，甲的方差小于乙的方差，因此甲发挥更稳定，应选择甲参加比赛.16.已知向量，．（1）若与平行，求k的值；（2）若与垂直，求k的值；（3）若，求k的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据两向量平行得坐标关系列出方程，然后求解方程得到参数值.（2）利用向量垂直时其数量积为0建立方程求解值.（3）根据已知向量夹角余弦值等式，通过交叉相乘化简等式，进而求解出值.（1），即

，解得

.（2），即

，解得

.（3）.，由

，得

，化简得

，即

，两边平方：，得

，即

，检验

时，，符合，故

.17.三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求A；（2）若，的面积为，求的值．答案：（1）（2）解析：（1）因为

,所以

，即

.又

，得

，所以.（2）面积，得.因为，即，得.所求式.又

，所以.又，，故.代入得.18.如图，在三棱锥中，平面，平面平面，M，N，D分别是，，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）若，，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．答案：（1）证明：因为分别为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）证明：过点作，垂足为，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以；（3）解析：思路：（1）求证，利用线面平行的判定定理求证；（2）过点作，利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理求证；（3）设平面平面，利用线面平行的性质定理得出，进而得出，，即可得出平面与平面所成锐二面角的平面角为，利用余弦定理可求.（1）略（2）略（3）设平面平面，因为平面，平面，所以，则，因为