四川省广元市2025-2026学年高一第二学期期末综合素养测评数学试题 含答案解析

数学满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若是虚数单位，则（）A.1 B. C. D.2.已知平面向量，，则（）A. B. C.5 D.113.某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（）A.6人 B.16人 C.22人 D.28人4.已知圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形，则该圆柱侧面积为（）A. B. C. D.5.设，在复平面内z对应的点为Z，则满足的点Z的集合对应图形的面积为（）A. B. C. D.6.已知m，n为不同直线，，为不同平面，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，则7.某人在点观察河对岸的建筑物（在同一水平面上，在同一铅垂线上），已知在点观察建筑物上的点和点的仰角分别为和，，则（）A. B. C. D.8.将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于平面非零向量，，，下列命题正确的是（）A.与是否相等和，的方向无关B.C.D.在上的投影向量为（是与方向相同的单位向量）10.同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子朝上面的点数，用y表示绿色骰子朝上面的点数，用表示一次试验的结果.定义事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（）A. B.A与B互斥 C.A与B对立 D.A与C相互独立11.在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，P，Q分别是棱、的中点，过直线PQ的平面分别与棱、交于点E，F，则下列说法正确的是（）A.四边形PEQF为矩形B.C.四边形PEQF面积的最小值为D.四棱锥的体积为定值第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数满足，是虚数单位，则____.13.排球比赛的规则是5局3胜制（无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，为，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是________．14.在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动．在活动中，共有20道数学问题，甲、乙、丙三位同学独立作答，已知甲同学只能答对其中的12道题，乙同学只能答对其中的8道题，丙同学只能答对其中的n道题．（1）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人能答对的概率；（2）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三位同学中至少有一个人答对的概率为，求n的值．16.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值；（2）估计该年级学生成绩的中位数（精确到0.01）；（3）计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩的平均数为85，方差为12；成绩位于内的学生成绩的平均数为95，方差为10.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差.参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为m、、；n、、.记样本平均数为，样本方差为，.17.如图，在矩形ABCD中，已知，，，，相交于点N，，相交于点P．（1）若，求的值；（2）求的余弦值．18.如图，在正方体中，分别是棱的中点，点在直线上．（1）求直线与所成角的大小；（2）求证：平面；（3）求证：直线相交于一点．19.如图，平面凸四边形ABCD外接圆半径为1，．（1）求的大小；（2）求面积的最大值；（3）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理：圆的内接凸四边形的两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．求的最小值．

数学满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若是虚数单位，则（）A.1 B. C. D.答案：C解析：思路：根据虚数单位的循环计算结果．解答过程：由，，，，，……，可知，虚数单位以4为一个周期循环，因为，故．2.已知平面向量，，则（）A. B. C.5 D.11答案：A解析：解答过程：平面向量，，则.3.某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（）A.6人 B.16人 C.22人 D.28人答案：C解析：思路：由抽样比即可计算求解.解答过程：由题可得抽样比为.所以小学教师应抽取人.故选：C.4.已知圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形，则该圆柱侧面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形，则圆柱的底面周长即为正方形的边长，正方形的边长即为圆柱的高，所以正方形的边长为，圆柱的高为，则圆柱侧面积为..5.设，在复平面内z对应的点为Z，则满足的点Z的集合对应图形的面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设复数，则，不等式等价于，即，该图形为以原点为圆心，内半径为1，外半径为2的圆环，面积．6.已知m，n为不同直线，，为不同平面，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，则答案：D解析：思路：根据立体几何的相关定理结合空间想象能力判断各选项即可.解答过程：对于选项A：若平行于，，则平行于或,故A错误.对于选项B：，，,此时不能保证，必须增加条件，故B错误.对于选项C：平行于，平行于,则可以相交,也可以异面.故C错误.对于选项D：，平行于,即的法向量与垂直.故D正确.7.某人在点观察河对岸的建筑物（在同一水平面上，在同一铅垂线上），已知在点观察建筑物上的点和点的仰角分别为和，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：结合图形，根据正弦定理可得，进而求解即可.解答过程：因为，如图所示，在中，，,由正弦定理可得，则，在中，.故选：D．8.将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意得到翻折后四面体ABCD是2个直角三角形构成的，所以外接球球心在斜边的中点处，可得到半径进而求得体积，由翻折特性可知平面AOC，又可求体积.解答过程：翻折后所得图形如下图所示，易知BD的中点O为球心，故该四面体的外接球体积，又，平面AOC，，所以平面AOC，二面角的大小为，，,故所求体积之比为，故选：D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于平面非零向量，，，下列命题正确的是（）A.与是否相等和，的方向无关B.C.D.在上的投影向量为（是与方向相同的单位向量）答案：AC解析：思路：根据模长的定义，向量垂直的性质，及投影的定义逐一判断即可．解答过程：对于A，与是向量的模长，只与向量的长度有关，和向量的方向无关，故A正确；对于B，若，则，即，但不一定有，故B错误；对于C，若，则，则，故C正确；对于D，当与同向时，在上的投影向量为，故D错误．10.同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子朝上面的点数，用y表示绿色骰子朝上面的点数，用表示一次试验的结果.定义事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（）A. B.A与B互斥 C.A与B对立 D.A与C相互独立答案：ABD解析：思路：将事件对应的基本事件梳理清楚，进而判断事件之间的关系，计算概率．解答过程：同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，可知其中一共有36个样本点；事件“”代表两枚骰子点数和为7，包含共6个样本点，故，选项A正确；事件“为奇数”代表两枚骰子点数积为奇数，包括为奇数，为奇数，共个样本点，其中与事件无公共样本点，故事件与事件互斥，选项B正确；因为，，故事件与事件不对立，选项C错误；事件“”代表红色骰子向上点数大于3，共18个样本点，则；事件表示样本点，故，因为，故A与C相互独立，选项D正确．11.在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，P，Q分别是棱、的中点，过直线PQ的平面分别与棱、交于点E，F，则下列说法正确的是（）A.四边形PEQF为矩形B.C.四边形PEQF面积的最小值为D.四棱锥的体积为定值答案：BCD解析：思路：对于A，平面平行于平面时,四边形不是矩形，举出反例进行判断；对于B，连接，可证得全等于,从而进行判断；对于C，由四边形面积为分析判断；对于D，由分析判断.解答过程：A选项：取特殊情况,当平面平行于平面时，由直棱柱的性质，,故此时四边形不是矩形，所以A错误；B选项：连接于，连接交于，连接，因为平面平行于平面，平面平面，平面平面，所以平行于，同理可得平行于，所以四边形为平行四边形，在中，，因为为中点，所以为直四棱柱的中心，易得全等于，所以，B正确；C选项：因为四边形为菱形，边长为2，，则，可得，因为四边形面积为，所以四边形面积的最小值为，所以C正确；D选项：因为，点到平面的距离为定值，为定值，所以四棱锥的体积为定值，所以D正确.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数满足，是虚数单位，则____.答案：解析：思路：利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值.解答过程：由可得，故.故答案为：.13.排球比赛的规则是5局3胜制（无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，为，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是________．答案：解析：思路：分析出最后乙队获胜含3种情况；然后结合独立事件概率的乘法公式即可计算出结果.解答过程：最后乙队获胜含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P＝＋×＋×＝.故答案为：.14.在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为_________．答案：解析：思路：将正方体的侧面与平面展开到同一平面，的最小值就是点到直线的垂线段长度.解答过程：由题意知，是上的动点，平面，是上的动点，平面，要求的最小值，把平面和平面展成一个平面，如图，当时，最小，为等腰直角三角形，，其中，则，，，则，可得，则，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动．在活动中，共有20道数学问题，甲、乙、丙三位同学独立作答，已知甲同学只能答对其中的12道题，乙同学只能答对其中的8道题，丙同学只能答对其中的n道题．（1）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人能答对的概率；（2）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三位同学中至少有一个人答对的概率为，求n的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据古典概型,及相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）根据对立事件，及相互独立事件的概率，列出方程求解即可．（1）设“任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”，“任选一道题，丙答对”，则，，，所以，，，记“甲、乙两位同学恰有一人答对”，则有，且有与互斥，因为每位同学独立作答，所以，互相独立，则与，与，与均相互独立，所以，所以任选一道数学问题，甲、乙两位同学恰有一人答对的概率为．（2）记“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则，所以，解得．16.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值；（2）估计该年级学生成绩的中位数（精确到0.01）；（3）计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩的平均数为85，方差为12；成绩位于内的学生成绩的平均数为95，方差为10.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差.参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为m、、；n、、.记样本平均数为，样本方差为，.答案：（1）（2）77.14（3）解析：思路：本题主要考查频率分布直方图的性质、中位数的估计以及混合样本方差的计算.(1)根据频率分布直方图中各矩形面积之和为1，列出关于的方程求解.(2)利用频率分布直方图估计中位数，即累计频率达到0.5时对应的分数.(3)已知两组数据的平均数和方差，利用混合样本方差公式计算整体方差.（1）由直方图可知，五个小矩形的高度分别为,,,,，组距为10.频率之和为，解得（2）各组频率为：，，，，.前两组累计频率为，前三组累计频率为，故中位数落在区间内.设中位数为，则.解得，.（3）成绩在的频率为0.3，人数；成绩在的频率为0.1，人数.设两组平均数分别为，，方差分别为，.合并后平均分由分层方差公式：17.如图，在矩形ABCD中，已知，，，，相交于点N，，相交于点P．（1）若，求的值；（2）求的余弦值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用平行线相似得到线段比例，再通过向量加减法完成基底转换，求出的值；（2）利用坐标法，把几何角转化为向量夹角，用数量积公式直接计算三角函数值．（1）因为四边形为矩形，所以，所以，所以，所以，所以，，所以．（2）建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意有，，，，所以，，由图有，所以，所以的余弦值为．18.如图，在正方体中，分别是棱的中点，点在直线上．（1）求直线与所成角的大小；（2）求证：平面；（3）求证：直线相交于一点．答案：（1）（2）如图，连接AC，分别是棱的中点，所以，，因为平面，平面，所以平面，同理平面，因为平面，，所以平面平面，因为，平面，所以平面，所以平面；（3）如图，连接，因为分别是棱的中点，所以，因为分别是棱的中点，所以，所以，且，所以EF与MN相交，设，因为，，平面，所以平面，同