四川省泸州市2025-2026学年高二第二学期期末质量监测题数学试题 含答案解析

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的准线方程为A. B. C. D.2.设随机变量，若，则（）A. B. C. D.3.二项式展开式的第3项的二项式系数是（）A.15 B. C.20 D.4.如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（）A. B.C. D.5.已知是等差数列，则“数列是递减数列”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知随机变量，若，则（）A.88 B.90 C.92 D.947.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（）A. B. C. D.8.已知函数在区间上存在最小值，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线，圆，则（）A.过定点 B.与圆C总有两个不同的公共点C.存在实数，使圆关于对称 D.被圆C截得弦长的最小值为10.数列的前项和满足，前项的积为，则（）A. B.数列是等比数列C.有最大值 D.11.双曲线的左，右焦点分别为，是上一点，且轴，直线平分，是坐标原点．下列结论正确的有（）A.若，则的离心率为B.若，垂足为，则C.与有唯一公共点D.与轴的交点在直线上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有_____种．13.直线与曲线相切，则_____．14.底面边长为的正四棱锥的体积为，则该棱锥的外接球球心到其侧面的距离为_____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列为等差数列，是其前项和，且．数列满足，（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．16.某科技公司为优化智能客服系统，收集了10000名用户对AI客服的满意度评分（满分100分）从中随机抽取100名用户的评分数据作为样本，整理得到如下频率分布直方图．（1）求a的值；（2）若给满意度评分从高到低排名前的用户发放“AI体验官专属福利”，请估计获得福利的用户的最低评分（结果精确到1分）；（3）现从评分位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中评分落在内的人数为，求的分布列及数学期望．17.如图，在多面体中，平面，，，为中点，（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ADE夹角的余弦值．18.已知椭圆C：，过点和，过点的直线与交于A，B两点，A在第一象限．（1）求C的方程；（2）若，点，求的取值范围；（3）直线交轴于点，为中点，点关于轴的对称点为，延长交C于点，，求直线的斜率．19.已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）设函数.①若是的唯一极值点，且是极小值点，求的取值范围；②当时，证明：有且仅有一个零点．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的准线方程为A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程.解答过程：，抛物线的准线方程为，即，故选A.方法提示：本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.2.设随机变量，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由随机变量，得，所以.3.二项式展开式的第3项的二项式系数是（）A.15 B. C.20 D.答案：A解析：解答过程：由二项式定理得展开式的通项为，其中称为二项式系数.令，则第3项的二项式系数为.4.如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：由题意可知：，，所以.5.已知是等差数列，则“数列是递减数列”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：解答过程：因为数列是等差数列，设其公差为，若数列是递减数列，可得；若，则，所以数列是递减数列；综上所述：“数列是递减数列”是“”的充分必要条件.6.已知随机变量，若，则（）A.88 B.90 C.92 D.94答案：B解析：思路：根据正态分布的对称性可得.解答过程：因为，所以，所以.7.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设“王同学第i天去A餐厅用餐”为事件，“王同学第i天去B餐厅用餐”为事件.由题意知，（去每一家餐厅的概率相等），.根据全概率公式，.8.已知函数在区间上存在最小值，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先对函数求导，根据导数判断函数的单调性，找出函数的极值点，再结合函数在区间上存在最小值这一条件，确定的取值范围.解答过程：已知，则，令，即，解得或，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.因此，是函数的极大值点，是函数的极小值点，.因为函数在区间上存在最小值，所以极小值点必须在区间内，即，解可得.综上，的取值范围是.同时，还需满足，即，化简可得，因为恒成立，所以，解得.综上，的取值范围是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线，圆，则（）A.过定点 B.与圆C总有两个不同的公共点C.存在实数，使圆关于对称 D.被圆C截得弦长的最小值为答案：ABD解析：思路：求出直线所过定点判断A；确定定点与圆的位置判断B；由圆心与直线关系判断C；求出最短弦判断D.解答过程：对于A，直线过定点，A正确；对于B，点在圆内，与圆C总有两个不同的公共点，B正确；对于C，圆的圆心不满足方程，因此不存在实数，使圆关于对称，C错误；对于D，，圆半径，当时，被圆C截得的弦长取得最小值，该最小值为，D正确.10.数列的前项和满足，前项的积为，则（）A. B.数列是等比数列C.有最大值 D.答案：ABD解析：思路：根据已知条件求出数列的通项公式，进而判断各选项的正确性.解答过程：已知①，当时，，移项可得，即，所以选项A正确；当时，②，①②可得：，所以，移项可得，即,所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，所以.所以，则.因为，且，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，选项B正确；由，且随着的增大，也增大，所以会随着的增大而增大，无最大值，选项C错误；因为，所以，则，而是首项为，公比为的等比数列的前2026项和，根据等比数列求和公式可得：，所以，选项D正确.综上，答案是ABD.11.双曲线的左，右焦点分别为，是上一点，且轴，直线平分，是坐标原点．下列结论正确的有（）A.若，则的离心率为B.若，垂足为，则C.与有唯一公共点D.与轴的交点在直线上答案：ACD解析：思路：不妨设点在第一象限，与轴的交点为，根据角平分线性质可得，即可判断D；可得直线的方程为，与双曲线方程联立求解即可判断C；对于A：根据题意可得，即可得离心率；对于B：设，分析可知为的中点，，即可得结果.解答过程：不妨设点在第一象限，与轴的交点为，因为轴，则，，因为，即，则，解得，可得，即，故D正确；因为，直线的方程为，即，联立方程，消去y可得，解得，所以直线与双曲线有唯一公共点，故C正确；对于选项A：若，即，可得，所以双曲线的离心率为，故A正确；对于选项B：设，则，且为的中点，因为，且为的中点，所以，故B错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有_____种．答案：12解析：解答过程：因为选中的4人中恰有1名女生，即有3名男生，所以不同的选法共有种.13.直线与曲线相切，则_____．答案：解析：解答过程：直线的斜率为，因为，则，令，解得，当时，则，即切点坐标为，把代入可得，解得.14.底面边长为的正四棱锥的体积为，则该棱锥的外接球球心到其侧面的距离为_____．答案：解析：思路：由正四棱锥的体积可得，利用等体积法可得点到平面的距离为，设该棱锥的外接球球心为，解得，根据比例关系运算求解.解答过程：对于正四棱锥，，设正方形的中心为，连接，则底面，则正四棱锥的体积为，可得，则正四棱锥的侧棱长，可得的面积为，设点到平面的距离为，因为，解得，设该棱锥的外接球球心为，则，因为，解得，可得，所以该棱锥的外接球球心到其侧面的距离为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列为等差数列，是其前项和，且．数列满足，（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．答案：（1），（2）解析：（1）设等差数列的公差为，因为，即，又因为，即，可得，，所以；因为，，可知数列是首项和公比均为的等比数列，所以.（2）因为，则，可知数列是首项为，公比为的等比数列，是以.16.某科技公司为优化智能客服系统，收集了10000名用户对AI客服的满意度评分（满分100分）从中随机抽取100名用户的评分数据作为样本，整理得到如下频率分布直方图．（1）求a的值；（2）若给满意度评分从高到低排名前的用户发放“AI体验官专属福利”，请估计获得福利的用户的最低评分（结果精确到1分）；（3）现从评分位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中评分落在内的人数为，求的分布列及数学期望．答案：（1）（2）78（3）的分布列X012P解析：思路：（1）求各组频率，根据频率和为1列式求解即可；（2）分析可知给满意度评分从高到低前即上四分位数0.75，根据百分位数的定义运算求解；（3）可知随机变量X的可能取值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望.（1）由频率分布直方图可知每组频率依次为，则，解得.（2）可知给满意度评分从高到低前即上四分位数0.75，设为，因为，，可知，可得，解得，所以估计获得福利的用户的最低评分为78.（3）因为，的频率依次为；按分层随机抽样的方法选取8人，在内抽取人，在内抽取人，可知随机变量X的可能取值为0，1，2，则，，，则的分布列如下：X012P所以的数学期望.17.如图，在多面体中，平面，，，为中点，（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ADE夹角的余弦值．答案：（1）连结CF，因为，所以，所以四边形为平行四边形，因此；因为F为BD中点，，所以.因为平面，平面，所以.又因为平面，，所以平面.又因为，所以平面.（2）解析：思路：（1）根据等腰三角形三线合一和平面分别得到，，再根据线面垂直的判定定理证得平面，再根据即可证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法表示直线与平面所成角的正弦值即可求得BA长，再利用向量法求平面与平面ADE夹角的余弦值即可.（1）略（2）因为平面，平面，所以，又因为，所以以C为原点，所在直线分别为轴、轴，过C作与平行的线为轴，建立空间直角坐标系.所以，设，则.设平面的一个法向量，则，令，则，所以.，因此直线与平面所成角的正弦值为，解得.所以.设平面的一个法向量，，则，令，则，所以.设平面的一个法向量，，则，令，则，所以.平面与平面ADE夹角的余弦值为.18.已知椭圆C：，过点和，过点的直线与交于A，B两点，A在第一象限．（1）求C的方程；（2）若，点，求的取值范围；（3）直线交轴于点，为中点，点关于轴的对称点为，延长交C于点，，求直线的斜率．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）代入点和运算求解即可；（2）设直线：，，，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，换元可得，结合函数单调性求取值范围；（3）设直线：，根据题意可得，，代入椭圆方程可得，，与椭圆方程联立可得，进而可得斜率.（1）因为椭圆C：，过点和，则，解得，所以椭圆C的标准方程为.（2）若，可知直线的斜率不为0，且直线与椭圆C必相交，设直线：，，，联立方程，消去x可得，则，，可得，且，则，令，则，可得，令，，可知在内单调递增，则，即，则，可得，所以的取值范围为.（3）由题意可知：直线的斜率存在，设直线：，，，，则，因为为中点，则，可得，即，由题意可知：，，，因为，则，解得，即，因为点，均在椭圆上，则，解得，且，可得，，可知直线与椭圆必相交，且直线：，联立方程，消去y可得，解得或，则，，即，所以直线的斜率.19.已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）设函