四川省泸州市合江县中学2025-2026学年高二上册入学考试数学试题 含答案解析

数学一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（）A.事件A、B都是随机事件B.事件A、B都是必然事件C.事件A是随机事件，事件B是必然事件D.事件A是必然事件，事件B是随机事件2.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.1 B.2 C.3 D.43.由三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取1个数，恰为偶数的概率是（）A. B. C. D.4.（）A.1 B.-1 C. D.5.在矩形中，，点在边上，若，则的值为A.0 B. C.-4 D.46.图①是建筑工地上的塔吊，图②是根据图①绘制的塔吊简易直观图，点，，在同一水平面内．塔身平面，直线与的交点是的中点，起重小车挂在线段上的点，，．若，，的面积为，根据图中标注的数据，忽略自重对塔吊平衡的影响，在塔吊保持平衡的条件下可得点，之间的距离为（）（）A. B. C. D.7.中，，则一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形8.在中，，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9.实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，设z=x+yi，则下列说法正确的是（）A.z在复平面内对应的点在第一象限B.|z|=C.z的虚部是iD.z的实部是110.下列说法中正确的是（）A.在中，已知B.在中，的充要条件C.在中，若，则三角形为等腰三角形D.在四边形中，若，则四边形为菱形11.正方体的棱长为2，､､分别为､､的中点.则（）A.直线与直线垂直B.直线与平面平行C.平面截正方体所得的截面面积为D.四面体与四面体的公共部分的体积是三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分)12.计算：＝________.13.已知，，若，则实数______．14.已知、表示两条直线，、、表示平面，给出下列条件：①，，，；②，，；③，；④，.其中能推出的___________(把所有正确的条件序号都填上)四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分)15.求满足下列条件的实数x，y的值：（1）；（2）16.已知向量.（1）求向量与的夹角的大小；（2）若，求实数的值.17.某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图．组别分组频数频率第1组[20，30）40.08第2组[30，40）a

第3组[40，50）20b第4组[50，60）

0.32第5组[60，70）40.08合计

501.00（1）求a，b，c的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数；（2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104，在后50天内每日接待的顾客人数的平均数为51，方差为100，估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差．18.如图，四棱锥中，底面为矩形，E为PD的中点.（1）求证：平面；（2）若平面，求证：平面平面.19.甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同.（Ⅰ）求甲获得冠军的概率；（Ⅱ）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.

数学一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（）A.事件A、B都是随机事件B.事件A、B都是必然事件C.事件A是随机事件，事件B是必然事件D.事件A是必然事件，事件B是随机事件答案：D解析：思路：利用随机事件，必然事件的概念求解.解答过程：对于事件A，一年有365天或366天，由抽屉原理可知，367人中至少有2人生日相同，事件A为必然事件.对于事件B，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件B为随机事件;故选：D2.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：由圆锥的底面周长与侧面展开图的半圆弧相等，结合弧长公式列方程即可求母线长.解答过程：由题设，若母线长为，则，可得.故选：B3.由三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取1个数，恰为偶数的概率是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用古典概型概率公式求解即可.解答过程：由题意得三个数字中只有1个偶数，且设概率为，所以，即任取1个数，恰为偶数的概率是，故B正确.故选：B4.（）A.1 B.-1 C. D.答案：C解析：思路：根据复数的乘法法则，进行整理化简即可.解答过程：故选：C.方法提示：本题考查复数的三角形式的乘法，属基础题.5.在矩形中，，点在边上，若，则的值为A.0 B. C.-4 D.4答案：C解析：思路：先建立平面直角坐标系，求出B,E,F坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果.解答过程：如图所示，．以为原点建立平面直角坐标系，为轴，为轴，则，因此，故选C.平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.6.图①是建筑工地上的塔吊，图②是根据图①绘制的塔吊简易直观图，点，，在同一水平面内．塔身平面，直线与的交点是的中点，起重小车挂在线段上的点，，．若，，的面积为，根据图中标注的数据，忽略自重对塔吊平衡的影响，在塔吊保持平衡的条件下可得点，之间的距离为（）（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由线面垂直得，由，求出后结合面积用勾股定理计算可得．解答过程：根据条件得，．∵平面，平面，∴又，是中点，∴．∵，∴，∵，∴．由于的面积为，∴，解得，即，即．故选：A．7.中，，则一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形答案：D解析：思路：由已知，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断．解答过程：∵，由正弦定理可得，，∵，∴，∴即，∵，∴或，∴或，即三角形为等腰或直角三角形，故选D．方法提示：本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．8.在中，，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，设，由三角形的条件列出不等式组，即可求解.解答过程：因为中，，由正弦定理可得，设，则满足，解得，又由三角形的条件，可得，解得，综上可得，实数的取值范围为.故选：B.二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9.实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，设z=x+yi，则下列说法正确的是（）A.z在复平面内对应的点在第一象限B.|z|=C.z的虚部是iD.z的实部是1答案：ABD解析：思路：根据题意先求出z，进而根据复数的概念和几何意义求得答案.解答过程：实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，可化为x+y-2+(x-y)i=0，∴解得x=y=1，∴z=x+yi=1+i.对于A，z在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故A正确.对于B，|z|=，故B正确.对于C，z的虚部是1，故C错误.对于D，z的实部是1，故D正确.故选：ABD.10.下列说法中正确的是（）A.在中，已知B.在中，的充要条件C.在中，若，则三角形为等腰三角形D.在四边形中，若，则四边形为菱形答案：ABD解析：思路：利用正弦定理可判断A；利用正弦定理和正弦函数的单调性可判断B；利用正弦定理和二倍角的正弦公式即判断C；利用向量的运算和数量积即可判断D.解答过程：利用正弦定理可得：，故A正确；在中，，故B正确；若，则或，则三角形为等腰或直角三角形，故C错误；若四边形中，则四边形为平行四边形，又，则平行四边形的对角线垂直，则为菱形，D正确，故选：ABD.11.正方体的棱长为2，､､分别为､､的中点.则（）A.直线与直线垂直B.直线与平面平行C.平面截正方体所得的截面面积为D.四面体与四面体的公共部分的体积是答案：BCD解析：思路：A由即可知直线与直线所成角为，B利用线面平行的判定即可判断；C由及正方体性质易知截面为等腰梯形，即可求面积；D确定公共部分为正方体六个表面中心为顶点的正八面体，利用棱锥体积公式求体积即可.解答过程：由，故直线与直线所成角为，显然，A错误.由，面，面，而，则面即为面，所以面，B正确.面截正方体所得截面为等腰梯形，易知梯形面积为，C正确.四面体与四面体的公共部分是以正方体六个表面中心为顶点的正八面体，其棱长为，所以其体积为，D正确.故选：BCD三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分)12.计算：＝________.答案：－2＋i##i-2解析：思路：利用复数的运算法则运算即得.解答过程：法一：＝－2＋i.法二：＝＝＝＝－2＋i.故答案为：－2＋i.13.已知，，若，则实数______．答案：解析：思路：根据向量垂直的坐标表示计算即可.解答过程：，,,，，解得.故答案为：14.已知、表示两条直线，、、表示平面，给出下列条件：①，，，；②，，；③，；④，.其中能推出的___________(把所有正确的条件序号都填上)答案：②④解析：思路：对①②③④分别验证：①中，与可能平行也可能相交；②符合线面垂直的性质；③中与可能平行也可能相交；④符合面面平行的性质.解答过程：若，，，，则与可能平行也可能相交，故①不满足条件；若，，则，又由，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得，故②满足条件；若，，则与可能平行也可能相交，故③不满足条件；若，.根据平行于同一平面的两个平面平行，可得，故④满足条件；故答案为：②④.方法提示：多项选择题是2020年高考新题型，这是另一种形式的多项选择题，需要要对选项一一验证．四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分)15.求满足下列条件的实数x，y的值：（1）；（2）答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据复数相等的充要条件为实部和实部相等，虚部和虚部相等，得到方程组，解得；（2）复数为零的充要条件为实部和虚部同时为零，得到方程组，解得；解答过程：解：（1），解得；（2），解得方法提示：本题考查复数相等和复数为零求参数的值，属于基础题.16.已知向量.（1）求向量与的夹角的大小；（2）若，求实数的值.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）由，计算可求出答案；（2）先求出，再根据，可得，进而可列出方程，即可求出的值.解答过程：（1）由题意，.因为，故.（2），因为，所以，即，解得.17.某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图．组别分组频数频率第1组[20，30）40.08第2组[30，40）a

第3组[40，50）20b第4组[50，60）

0.32第5组[60，70）40.08合计

501.00（1）求a，b，c的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数；（2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104，在后50天内每日接待的顾客人数的平均数为51，方差为100，估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差．答案：（1）a＝6，，，47．（2）平均数49，方差为106解析：思路：（1）根据频率与频数的关系即可求解，由平均数的计算个数即可求解，（2）由整体平均数和方差的计算公式即可求解.（1）由表可知第4组的频数为，所以，，第2组的频率为，，前50天内每日接待的顾客人数的平均数为．（2）设前50天接待的顾客人数分别为，，…，，后50天接待的顾客人数分别为，，…，，则由（1）知，前50天内每日接待的顾客人数的平均数，方差，后50天内每日接待的顾客人数的平均数，方差，故这100天内每日接待的顾客人数的平均数为，方差为18.如图，四棱锥中，底面为矩形，E为PD的中点.（1）求证：平面；（2）若平面，求证：平面平面.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.解析：思路：（1）连接交于O点，连接，可得，从而得证.

（2）由条件可得，再证明平面，得到，由条件可得，从而得证.解答过程：（1）连接交于O点，连接.∵O为中点，E为中点，∴.又平面平面.∴平面.（2）∵平面平面，∴，又，且，∴平面.又平面，∴.∵E为中点，，∴.又，∴平面，又平面∴平面平面.方法提示：本题考查直线与平面平行与垂直的证明，在证明时要严格根据判定定理组织论据，考查推理论证能力，属于中等题.19.甲、乙、丙、丁4名棋手