四川省内江市2025-2026学年高一第二学期期末检测数学试题 含答案解析

数学本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.2.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（）A.向左移动个单位长度 B.向右移动个单位长度C.向左移动个单位长度 D.向右移动个单位长度3.已知是关于的方程的一个根，则（）A. B. C. D.4.如图所示，，，为的中点，则为（）A. B. C. D.5.下列说法正确的是（）A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.各侧棱都与底面垂直的四棱柱是长方体C.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.如果一个棱柱的所有面都是正方形，那么这个棱柱是正方体6.已知，，则（）A. B. C. D.7.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，则当底面水平放置时，水面高为（）A.2 B.4 C.6 D.88.设，，为平面内两两不共线的单位向量，若，且，，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.10.已知向量，，其中，则下列说法正确的是（）A.与向量同向共线的单位向量为B.若，则C.若与的夹角为钝角，则的取值范围是D.若，则向量在方向上的投影向量为11.如图，沿大正方体体心作三个截面将该正方体分成八个全等的小正方体，设其中一个小正方体的棱长为1，外接球球心为点.取大正方体六个表面的中心及八个小正方体的外接球球心这14个点，构成一个空间几何体Ω，则下列说法正确的是（）A.正方体的外接球半径为B.空间几何体Ω有24条棱C.空间几何体Ω为正十二面体D.空间几何体Ω的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.样本数据：4，6，8，10，12，14的第一四分位数为_____.13.在锐角中，设a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，，，则的面积等于_____.14.已知，，设函数的两个零点为，，则的值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，，其中.（1）若，求，及的坐标；（2）若，求的值.16.已知函数，.（1）求的值及函数的最小正周期；（2）设函数，求的值域和单调区间.17.如图是一个棱长为2的正方体被平面截去一部分后，剩余的部分为多面体，是的中点.（1）证明：；（2）证明：平面平面；（3）过点C，E，的平面与该多面体的表面相交，交线围成一个多边形，求该多边形的面积.18.已知分别为三个内角的对边，.（1）求；（2）设在边上，为直线上满足的一点，且.①求的最小值；②当取最小值时，求的长度.19.已知平面四边形中，为等边三角形，为直角三角形，，且，对角线与的交点为，如图，将沿翻折至，连接，F为线段上一动点（含端点），连接，.（1）求证：平面平面；（2）在翻折过程中，设，且.①当时，求二面角的平面角的余弦值；②求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.

数学本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据二倍角正弦公式计算即可.解答过程：,故选：A.2.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（）A.向左移动个单位长度 B.向右移动个单位长度C.向左移动个单位长度 D.向右移动个单位长度答案：C解析：思路：根据题意，结合三角函数的图象变换的规则，即可求解.解答过程：根据三角函数的图象变换得，将函数的图象上所有点向左移动个单位长度，即可得到.3.已知是关于的方程的一个根，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：将代入方程，得，即，解得．4.如图所示，，，为的中点，则为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，为的中点，所以，所以.5.下列说法正确的是（）A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.各侧棱都与底面垂直的四棱柱是长方体C.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.如果一个棱柱的所有面都是正方形，那么这个棱柱是正方体答案：D解析：解答过程：对于A，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥，A错误；对于B，长方体是底面为矩形，且侧棱与底面垂直的四棱柱，B错误；对于C，有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还需各侧棱延长后相交于一点，C错误；对于D，如果一个棱柱的所有面都是正方形，说明上、下底面是正方形的四棱柱，各侧面都是正方形，则有各侧棱都垂直于底面，且所有棱长都相等，所以这个棱柱是正方体，D正确．6.已知，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先求出，再用两角差的余弦公式进行求解.解答过程：因为，，，即，解得，则.7.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，则当底面水平放置时，水面高为（）A.2 B.4 C.6 D.8答案：C解析：思路：利用水的体积不变，分别计算侧面水平放置和底面水平放置时水的体积，建立方程求解即可.解答过程：设的面积为.当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱，其底面为梯形.因为水面恰好过的中点，根据相似三角形的性质.上方无水部分的小三角形面积与的面积之比为.所以水的截面(梯形)面积为.此时水的体积.当底面水平放置时，水的形状为直三棱柱，设水面高为.则水的体积.由水的体积不变可得，解得.8.设，，为平面内两两不共线的单位向量，若，且，，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据已知条件两边取平方得，，设相应坐标，利用模长公式即可求出的取值范围.解答过程：由，，为平面内两两不共线的单位向量，得，因为，所以，即，则，在平面直角坐标系中，令，，，则，，因为，，为平面内两两不共线的单位向量，则，可得，则，由得，，，则，所以，即.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.答案：AD解析：解答过程：由图可知，故A正确；，解得，则，故B错误；，，由于处在函数的增区间上，，，又，，故C错误；，，故D正确．10.已知向量，，其中，则下列说法正确的是（）A.与向量同向共线的单位向量为B.若，则C.若与的夹角为钝角，则的取值范围是D.若，则向量在方向上的投影向量为答案：ABD解析：解答过程：因为向量，所以，与向量同向共线的单位向量为，故A正确；若，则，所以，即，故B正确；若向量与共线，则，解得.此时，，所以与的夹角为.故C不正确；若，则，所以向量在方向上的投影向量就是向量在轴上的投影向量为，故D正确.11.如图，沿大正方体体心作三个截面将该正方体分成八个全等的小正方体，设其中一个小正方体的棱长为1，外接球球心为点.取大正方体六个表面的中心及八个小正方体的外接球球心这14个点，构成一个空间几何体Ω，则下列说法正确的是（）A.正方体的外接球半径为B.空间几何体Ω有24条棱C.空间几何体Ω为正十二面体D.空间几何体Ω的表面积为答案：ABD解析：思路：以大正方体体心为原点建立空间直角坐标系，八个小正方体外接球球心位于，六个面心位于.这14个点的凸包为菱形十二面体（每个面是菱形，相邻面心连线与相邻球心连线分别作为菱形对角线）.据此可判断外接球半径、棱数、是否为正十二面体及表面积.解答过程：以大正方体体心为原点建立空间直角坐标系，如图所示.小正方体棱长为1，其外接球半径等于体对角线的一半，即.以大正方体体心为原点时，八个小正方体外接球球心为，六个面心为.这14个点构成菱形十二面体：共有12个菱形面、24条棱，故不是正十二面体.每个菱形面的两条对角线分别为相邻面心距离与相邻球心距离1，于是每个菱形面积为，总表面积为.因此A、B、D正确，C不正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.样本数据：4，6，8，10，12，14的第一四分位数为_____.答案：6解析：思路：根据题意，利用百分位数的计算方法，即可求解.解答过程：由题意知，数据4，6，8，10，12，14，共6个数据，因为，可得数据的第一四分位数为数据6.13.在锐角中，设a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，，，则的面积等于_____.答案：解析：解答过程：因为，，，所以由余弦定理，得，整理得，解得或.因为为锐角三角形，所以最大角为锐角，所以，即，所以舍去，所以.所以的面积等于.14.已知，，设函数的两个零点为，，则的值为________.答案：解析：思路：利用零点条件，结合同角三角函数的平方关系构造关于的二次方程，结合韦达定理和方程变形计算目标式的值.解答过程：令，得，即，所以，所以，即，，所以，.所以，所以，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，，其中.（1）若，求，及的坐标；（2）若，求的值.答案：（1），，.（2）.解析：（1）已知向量，当时，，则，，.（2）若，则存在，使得，则，于是，解得，则，.16.已知函数，.（1）求的值及函数的最小正周期；（2）设函数，求的值域和单调区间.答案：（1），最小正周期.（2）值域为；单调递增区间为，单调递减区间为.解析：思路：（1）由，求得，根据最小正周期的公式求得函数的最小正周期；（2）结合（1）的结论求得的解析式，根据正弦型函数的值域和单调性的求法，求得的值域和单调区间.（1）函数，由，得，又，所以.所以.函数的最小正周期为.（2）由（1）得，所以，因为，所以；当，即时，单调递增；当，即时，单调递减.所以的值域为；的单调增区间为，减区间为.17.如图是一个棱长为2的正方体被平面截去一部分后，剩余的部分为多面体，是的中点.（1）证明：；（2）证明：平面平面；（3）过点C，E，的平面与该多面体的表面相交，交线围成一个多边形，求该多边形的面积.答案：（1）证明：因为，，所以四边形为平行四边形，所以，因为四边形为正方形，所以⊥，故；（2）证明：由（1）得，因为平面，平面，所以平面，又，，故四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，所以平面，因为，平面，所以平面平面；（3）解析：思路：（1）作辅助线，得到线线平行，进而得到垂直关系；（2）得到平面，平面，从而得到面面平行；（3）找到交线围成一个多边形为四边形，并得到其为等腰梯形，求出各边，得到面积（1）略（2）略（3）取的中点，连接，因为为的中点，所以，又，，故四边形为平行四边形，故，故，所以过点C，E，的平面与该多面体的表面相交，交线围成一个多边形为四边形，正方体棱长为2，故，，又，同理，不平行，故四边形为等腰梯形，高为，所以等腰梯形的面积为.18.已知分别为三个内角的对边，.（1）求；（2）设在边上，为直线上满足的一点，且.①求的最小值；②当取最小值时，求的长度.答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）根据正弦定理结合三角变换可求的大小；（2）①建立如图所示的平面直角坐标系，根据数量积为零可得的轨迹，从而可求的横坐标的范围，结合二次函数的性质可求最小值；②结合①中的结果可求取最小值时的长度.（1）因为，由正弦定理可得，而为三角形内角，故，故，故即，而，故，故.（2）①建立如图所示的平面直角坐标系，其中，因，故可设.设，则.因为，即，而，由可得，则即，故，当且仅当且，时等号成立，此时，故此时直线对应的一次函数为，而对应的一次函数为，则，故，由可得，即，满足在边上；②由①可得取最小值时，，此时.19.已知平面四边形中，为等边三角形，为直角三角形，，且，对角线与的交点为，如图，将沿翻折至，连接，F为线段上一动点（含端点），连接，.（1）求证：平面平面；（2）在翻折过程中，设，且.①当时，求二面角的平面角的余弦值；②求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.答案：（1）证明：为等边三角形，故，故在的垂直平分线上，又，故在的垂直平分线上，故为的垂直平分线，折叠过程中，始终有，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以平面平面；（2）①；②解析：思路：（1）证明出为的垂直平分线，从而得到线线垂直，线面垂直，面面垂直；（2