四川省仁寿第一中学校（北校区）2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试题 含答案解析

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每个小题只有一个选项符合题目要求.1.已知复数满足，则（）A. B. C.4 D.82.某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（）A.40人 B.36人 C.30人 D.24人3.已知是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则4.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.5.已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（）A.， B.， C.， D.，6.函数的一个对称中心是（）A. B. C. D.7.四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为（）A. B. C. D.8.在正四棱锥中，，当过，，三点的球的体积最小时，该球被平面所截截面的面积为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（）A. B.事件A与事件C相互独立C.事件A与事件E相互独立 D.事件A与事件B相互独立10.如图，设Ox，Oy是平面内相交成的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标，记为.在该坐标系中，，，则（）A. B.C. D.在上的投影向量为11.如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使A，B，C三点重合于点，得到三棱锥，下列关于该三棱锥的说法正确的有（）A.B.点到平面的距离为C.三棱锥的外接球的体积为D.点G，H分别是，上的动点，则周长的最小值为三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.将答案直接填在答题卷相应的横线上.12.某市在2025高考模拟测试评卷中，实行双评加抽样三评的评卷方法.已知收到有效的数学答卷为5万份，有效的物理答卷为3万份，有效的化学答卷为2.5万份.若双评后利用分层抽样的方法抽取210份样卷进行三评，则应抽取数学样卷的份数为______.13.定义：向量叫向量与的外积，且的模为（其中表示向量与的夹角）．已知点，则_________．14.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则该勒洛四面体内切球的半径是______.四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设复数.（1）若是实数，求m的值；（2）若是纯虚数，求复数z的共轭复数.16.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）．（1）求选取的市民年龄在内的人数及a的值；（2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；（3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率．17.已知向量，若，与的夹角为．（1）求；（2）求与夹角的余弦值．18.在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，，求的取值范围；（3）设的面积为，边上的中线长为2，求的长．19.已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，M是PB的中点.（1）证明：平面；（2）判断直线CM与平面的位置关系，并证明你的结论；（3）求二面角的余弦值.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每个小题只有一个选项符合题目要求.1.已知复数满足，则（）A. B. C.4 D.8答案：A解析：思路：首先化简复数，再代入模的公式.解答过程：由条件可知，，所以.2.某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（）A.40人 B.36人 C.30人 D.24人答案：D解析：思路：确定高一、高二、高三的人数比，由分层抽样特征即可求解；解答过程：由题意可知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则高一年级，高二年级与高三年级的学生人数比为，根据分层抽样的特征可知，抽取的学生中，高一年级有人，故选：D3.已知是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：A解析：思路：根据线面的位置关系逐一判断每个选项.解答过程：若，则，A选项正确.若，则，也可能相交，B选项错误；若，则，也可能，C选项错误；若，则，还可能，，和相交但不垂直，D选项错误.故选：A.4.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据给定条件，利用投影向量的意义求解.解答过程：向量，，则，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B5.已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（）A.， B.， C.， D.，答案：A解析：解答过程：因为一组数据，，的平均数为，方差为，所以数据，，，的平均数为，方差为.6.函数的一个对称中心是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用余弦函数的对称中心求出函数的对称中心，再逐一检验各选项即得.解答过程：由，可得，即函数的对称中心为，结合各选项，可知仅满足题意，故B正确，A，C，D均错误.故选：B.7.四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：运用几何法作出直线与平面所成角，根据几何关系求出其正弦值，即可得解.解答过程：因为平面，底面是正方形，所以因为是平面内的两条相交直线，所以平面，则平面，因此是直线与平面所成角，，，，又直线与平面的夹角的范围为，，即直线与平面所成角为.8.在正四棱锥中，，当过，，三点的球的体积最小时，该球被平面所截截面的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：分析过，，三点的球体积最小时，球心为正三角形的中心，再求出球心到截面的距离，利用求截面圆半径即可得解.解答过程：由题意，是边长为4的正三角形，设过，，三点的球心为，半径为，则球中过，，三点的截面圆圆心为的中心，截面圆的半径.设球心到截面圆的距离为，则，要使球的体积最小，则最小，当时，有最小值为，此时、重合，即球心为的中心，如图，作出符合题意的图形，设为正方形的中心，为的中点，连接、、、，过作，交于点N，则为正四棱锥的高，，由知，平面，且，即球心到截面的距离为，所以截面圆的半径为，所以球被平面所截截面的面积为.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（）A. B.事件A与事件C相互独立C.事件A与事件E相互独立 D.事件A与事件B相互独立答案：ABD解析：思路：求出事件的概率，再根据相互独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案.解答过程：根据题意，，，，，对于A，由于是不放回的取球，则，故A正确；对于B，因为，所以事件与相互独立，故B正确；对于C，因为，所以事件与不相互独立，故C错误；对于D，因为，所以事件与相互独立，故D正确.故选：ABD.10.如图，设Ox，Oy是平面内相交成的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标，记为.在该坐标系中，，，则（）A. B.C. D.在上的投影向量为答案：ABD解析：思路：以，为基底，结合数量积运算逐一判断即可.解答过程：因为，为单位向量，且夹角为，所以，因为，，所以，所以，A正确；，B正确；，C错误；在上的投影向量为，D正确.11.如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使A，B，C三点重合于点，得到三棱锥，下列关于该三棱锥的说法正确的有（）A.B.点到平面的距离为C.三棱锥的外接球的体积为D.点G，H分别是，上的动点，则周长的最小值为答案：ACD解析：思路：利用线面垂直可证判断A；利用等体积法可求到平面的距离判断B；求得外接球的半径，进而求得体积判断C；展开到一个平面，如图1，即的长为最小值，可判断D.解答过程：因为，，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；设点到平面的距离为，由，得，解得，故B错误；因为，所以三棱锥的外接球即为以为同一顶点的长方体的外接球，所以，所以，所以三棱锥的外接球的体积为，故C正确；将沿转动到与在同一平面内，图1所示：则周长的最小值为，由勾股定理可得，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.将答案直接填在答题卷相应的横线上.12.某市在2025高考模拟测试评卷中，实行双评加抽样三评的评卷方法.已知收到有效的数学答卷为5万份，有效的物理答卷为3万份，有效的化学答卷为2.5万份.若双评后利用分层抽样的方法抽取210份样卷进行三评，则应抽取数学样卷的份数为______.答案：100解析：思路：根据分层抽样的定义列式求解即可.解答过程：由题意，应抽取数学样卷的份数为.故答案为：10013.定义：向量叫向量与的外积，且的模为（其中表示向量与的夹角）．已知点，则_________．答案：5解析：思路：根据新定义计算求解.解答过程：因为点，所以，，所以则．故答案为：5.14.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则该勒洛四面体内切球的半径是______.答案：解析：思路：根据勒洛四面体和正四面体的对称性，由正四面体的外接球的球心为勒洛四面体内切球的球心，勒洛四面体内切球的半径为正四面体的棱长减去其外接球的半径求解.解答过程：解：如图所示：设O为底面的中心，为其外接球的球心，半径为R，由勒洛四面体和正四面体的对称性知:为勒洛四面体内切球的球心，由题意，勒洛四面体内切球的半径为正四面体的棱长减去R，则，在中，，解得，所以该勒洛四面体内切球的半径是，故答案为：四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设复数.（1）若是实数，求m的值；（2）若是纯虚数，求复数z的共轭复数.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用复数的乘法运算化简，根据实数条件得到虚部为零，求得的值；（2）利用复数的除法运算化简，利用纯虚数的条件求得的值，进而得解.（1）由题知若是实数，则，解得；（2）由题知若是纯虚数，则，解得，所以.16.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）．（1）求选取的市民年龄在内的人数及a的值；（2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；（3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率．答案：（1），（2）平均数为，第80百分位数为.（3）解析：思路：（1）先求出年龄在内的频率，再求出频数；根据直方图面积为1求解a的值；（2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值；（3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可.（1）由题意可知，年龄在内的频率为，故年龄在内的市民人数为.由图可得：，解得；（2）平均数为前三组的频率和为，第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组，第80百分位数为.（3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为，所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈，所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人.记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种.其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种，所以至少有一人的年龄在内的概率为.17.已知向量，若，与的夹角为．（1）求；（2）求与夹角的余弦值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先应用平面向量的数量积定义计算得，再结合模长及数量积公式计算求解；（2）应用夹角余弦公式结合数量积公式及模长公式计算求解.（1）因为，与的夹角为，所以，∴，∴．（2）由（1）可知，∴．∵，设与的夹角为，∴．18.在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，，求的取值范围；（3）设的面积为，边上的中线长为2，求的长．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据向量的数量积，结合三角函数性质求解即可.（2）根据正弦定理、辅助角公式及正弦函数性质求解即可.（3）根据三角形面积公式得到，根据为中点得到，结合向量数量积的运算律得到，代入余弦公式求解即可.（1）由题意，又