四川省遂宁市2025-2026学年高二第二学期期期末教学质量监测数学试题 含答案解析

数学总分150分.考试时间120分钟.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知离散型随机变量的方差，若离散型随机变量，则（）A.2 B.3 C.4 D.52.如图，若电路从到只有一条支路接通，则不同的路径有（）A.6种 B.7种 C.8种 D.9种3.某学校计划开设一门特色课程，现对男女生参加该课程的意愿程度进行调查，得到如下的列联表：（单位：人）性别参加该课程的意愿合计愿意参加不愿意参加男生30女生30合计50100则由列联表计算（）（附：，）A. B.5 C. D.44.曲线在点处的切线的倾斜角为（）A. B. C. D.5.为了解户籍性别对前沿工科选择倾向的影响，某县域高中从高三学生中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男生60人，女生40人，绘制不同群体中倾向选择前沿工科与不选择前沿工科的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择前沿工科的对应比例，则（）A.是否倾向选择前沿工科与户籍无关B.是否倾向选择前沿工科与性别有关C.倾向选择前沿工科的人员中，男生人数与女生人数相同D.倾向不选择前沿工科的人员中，农村户籍人数多于城镇户籍人数6.在的展开式中，第3项的二项式系数为15，则（）A.10 B.15 C.20 D.257.已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加两个数据后，得到新的经验回归方程，则此时数据的残差为（）A. B. C.1 D.28.初等函数被定义为：由常数与基本初等函数（幂、指数、对数、三角等）经有限次有理运算（加、减、乘、除）和有限次复合得到的、能用一个解析式表示的函数.如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数.根据以上材料，对于初等函数，则（）A.的单调递增区间B.有极大值C.的单调递减区间D.有极小值2二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知为样本空间上的两个随机事件，其中，，则（）A.B.如果与为互斥事件，则C.如果，则D.如果与相互独立时，则10.已知函数，则（）A.当时，有两个极值点B.当时，过点可作曲线的两条切线C.，使得有两个零点D.，点都是曲线的对称中心11.某商场开展为期5天的庆五一抽消费券活动，活动要求：在商场消费满200元的顾客可以通过手机扫码参与消费券抽奖活动，已知第一次中奖的概率为；从第2次抽奖开始，若前一次未中奖，则本次中奖的概率为，若前一次中奖，则本次中奖的概率为，记第次中奖的概率为，则（）A.B.数列为等比数列C.对任意正整数，都有D.当时，越大，越小第Ⅱ卷（非选择题，满分92分）注意事项：1.请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上.2.试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.展开式中常数项为________.13.一箱6罐的饮料中2罐有奖券，从中一次性任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率是______.14.已知，并满足，则______.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.某医院某科室现有3名医生和4名护士.（结果用数字作答）（1）①若4名护士排成一行，则有多少种不同的排法？②若7人排成一行，甲、乙两人必须排在两端，则有多少种不同的排法？（2）该科室开展义诊活动，需要临时从中抽调3名医护人员，为了保障该科室工作正常运作，该科室内至少需要留有1名医生和2名护士，则不同的抽调方案共有多少种？16.已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若，且函数有2个零点，求的取值范围.17.在综艺答题闯关节目中，每轮比赛，两位参赛选手各答一道题目，计分规则：一人答对、一人答错时，答对者得2分，答错者得0分；两人都答对，每人各得1分；两人都答错，则两人均得0分.已知甲，乙两人实力相当，每轮答题正确率都为，且两人答题相互独立，每轮比赛也相互独立，比赛共进行3轮.（1）设表示在3轮比赛中，甲得2分的轮数，求的分布列和数学期望；（2）若比赛结束后，累计得分高者获胜晋级，求甲最终获胜晋级的概率是多少？18.重庆某大型电动摩托车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入，该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：，，，且的方差为2，的方差为8.06，现有①和②两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中均为常数.（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为9（百万元）时，产品的年销售量是多少？（3）该公司生产的电动摩托车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动摩托车的年净利润除受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）.附：①相关系数，回归直线中公式分别为，；②参考数据：.19.已知函数，其导函数为，且函数.（1）求的单调区间；（2）设为的极小值，证明：.（3）若恒成立，求的取值范围.

数学总分150分.考试时间120分钟.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知离散型随机变量的方差，若离散型随机变量，则（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：C解析：思路：应用方差性质计算求解.解答过程：根据方差的性质，代入题干已知条件可得.2.如图，若电路从到只有一条支路接通，则不同的路径有（）A.6种 B.7种 C.8种 D.9种答案：C解析：解答过程：根据电路知识及分类加法计数原理、分步乘法计数原理可知，共有种不同路径.3.某学校计划开设一门特色课程，现对男女生参加该课程的意愿程度进行调查，得到如下的列联表：（单位：人）性别参加该课程的意愿合计愿意参加不愿意参加男生30女生30合计50100则由列联表计算（）（附：，）A. B.5 C. D.4答案：D解析：思路：完成下列联表，根据公式代入求值即可.解答过程：根据表中数据完成如下列联表，如下：

愿意参加不愿意参加合计男生302050女生203050合计5050100则.4.曲线在点处的切线的倾斜角为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以，所以切线的倾斜角为.5.为了解户籍性别对前沿工科选择倾向的影响，某县域高中从高三学生中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男生60人，女生40人，绘制不同群体中倾向选择前沿工科与不选择前沿工科的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择前沿工科的对应比例，则（）A.是否倾向选择前沿工科与户籍无关B.是否倾向选择前沿工科与性别有关C.倾向选择前沿工科的人员中，男生人数与女生人数相同D.倾向不选择前沿工科的人员中，农村户籍人数多于城镇户籍人数答案：D解析：思路：结合所给比例图，依次分析判断4个选项即可.解答过程：对A，城镇户籍倾向选择前沿工科的比例为80%，农村户籍倾向选择前沿工科的比例为40%，∴是否倾向选择前沿工科与户籍有关，故A不正确；对B，男性倾向选择前沿工科的比例为60%，女性倾向选择前沿工科的比例为60%，∴是否倾向选择前沿工科与性别无关，故B不正确；对C，男性倾向选择前沿工科的比例为60%，人数为人，女性倾向选择前沿工科的比例为60%，人数为人，∴倾向选择前沿工科的人员中，男性人数比女性人数多，故C不正确；对D，倾向不选择前沿工科的人员中，农村户籍人数为人，城镇户籍人数为人，∴倾向不选择前沿工科的人员中，农村户籍人数多于城镇户籍人数，故D正确．6.在的展开式中，第3项的二项式系数为15，则（）A.10 B.15 C.20 D.25答案：B解析：解答过程：因为在的展开式中，第3项的二项式系数为15，所以，解得舍去)，所以.7.已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加两个数据后，得到新的经验回归方程，则此时数据的残差为（）A. B. C.1 D.2答案：A解析：思路：分别求修正前和修正后的样本点中心，再代入回归直线方程求解回归后的直线方程，再代入残差公式.解答过程：因为，所以，因为经验回归方程过点，所以，所以增加两个数据后的，，修正后的回归直线为，而修正后的回归直线过点，即，所以，解得，所以修正后的回归直线为，所以数据相对于修正后的回归直线的残差为．8.初等函数被定义为：由常数与基本初等函数（幂、指数、对数、三角等）经有限次有理运算（加、减、乘、除）和有限次复合得到的、能用一个解析式表示的函数.如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数.根据以上材料，对于初等函数，则（）A.的单调递增区间B.有极大值C.的单调递减区间D.有极小值2答案：B解析：解答过程：依题意，，，求导得：，由，得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以有极大值，无极小值.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知为样本空间上的两个随机事件，其中，，则（）A.B.如果与为互斥事件，则C.如果，则D.如果与相互独立时，则答案：ABD解析：思路：由条件概率计算公式，结合独立事件乘法公式，互斥事件积事件概率，逐项判断即可.解答过程：对于A，，A正确，对于B，因为与为互斥事件，所以，所以，B正确，对于C，因为，所以，所以，C错误，对于D，因为与相互独立，所以，所以，D正确.10.已知函数，则（）A.当时，有两个极值点B.当时，过点可作曲线的两条切线C.，使得有两个零点D.，点都是曲线的对称中心答案：ACD解析：思路：对于A，求导确定单调性即可判断，对于B，设切点坐标，求得切线方程，代入点，求解即可，对于C，求导，令，通过极小值为0，求解判断即可，对于D，由对称中心的概念列出等式求解即可.解答过程：求导得

，选项A，当

时，，令

，解得

，由二次函数性质可知，在左右导数符号改变，因此

有两个极值点，A正确，选项B，当

时，，，设切点为

，切线斜率

，切线方程为：

，代入

整理得

，该方程只有1个实根，因此只有1条切线，B错误，选项C，当

时，设

，则，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以

的极小值为

，令极小值

，得

，此时极大，由三次函数的性质可知：

在

有1个零点，

是第二个零点，共2个零点，故，使得有两个零点，C正确.选项D，若

是对称中心，需满足

，验证得：

对任意

恒成立，因此

恒为对称中心，D正确.11.某商场开展为期5天的庆五一抽消费券活动，活动要求：在商场消费满200元的顾客可以通过手机扫码参与消费券抽奖活动，已知第一次中奖的概率为；从第2次抽奖开始，若前一次未中奖，则本次中奖的概率为，若前一次中奖，则本次中奖的概率为，记第次中奖的概率为，则（）A.B.数列为等比数列C.对任意正整数，都有D.当时，越大，越小答案：ABC解析：思路：由全概率公式直接求解可判断A；由全概率公式求出，再由构造法证得是以为首项，以为公比的等比数列可判断B；由B选项求出，分为奇数和偶数可判断C；判断的单调性可判断D.解答过程：对于A，由，故A项正确；对于B，依题，整理可得，又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故B项正确；对于C，由B可得：，当为奇数时，，所以奇数项大于，当为偶数时，，偶数项小于，故正确，即C项正确；对于D，因为，由于是负数，并非单调递减，D项错误.第Ⅱ卷（非选择题，满分92分）注意事项：1.请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上.2.试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.展开式中常数项为________.答案：240解析：思路：先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的常数项.解答过程：展开式的通项公式令,所以的展开式的常数项为,故答案为.方法提示：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.13.一箱6罐的饮料中2罐有奖券，从中一次性任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率是______.答案：解析：解答过程：一箱6罐的饮料中2罐有奖券，从中一次性任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率是.14.已知，并满足，则______.答案：解析：思路：由可得，构造函数，其中，求导，得到函数的单调性，进而得到，即，再由可得，构造函数，其中，求导，得到，令，其中，求导，得到，进而求解.解答过程：由可得，由题意可知，构造函数，其中，则，所以函数在上单调递增，由可得，所以，由可得，则，且，①由可得，则，由题意可知，构造函数，其中，则，所以函数在上单调递增，由，即，可得，所以，由可得，且，则，②令，其中，则，所以函数在上为增函数，由①②可得，所以，可得，所以.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.某医院某科室现有3名医生和4名护士.（结果用数字作答）（1）①若4名护士排成一行，则有多少种不同的排法？②若7人排成一行，甲、乙两人必须排在两端，则有多少种不同的排法？（2）该科室开展义诊活动，需要临时从中抽调3名医护人员，为了保障该科室工作正常运作，该科室内至少需要留有1名医生和2名护士，则不同的抽调方案共有多少种？答案：（1）①24种；②240种（2）30种解析：思路：（1）①由全排列数即可求解；②先排甲乙，剩余5人全排列即可；（2）分2名医生1名护士和1名医生2名护士，两类情况讨论即可求解.（1）①4名护士排成一行有种排法；②先排甲、乙，再排其余5人，根据分步乘法计数原理，共有种排法；（2）要使科室内至少留有1名医生和2名护士，则有以下两类情况：①抽调的3名医护人员由2名医生1名护士组成，则有种；②抽调的3名医护人员由1名医生2名护士组成，则有种.所以不同的抽调方案共有种.16.已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若，且函数有2个零点，求的取值范围.答案：（1）极小值为，无极大值（2）解析：思路：（1）通过求导，确定函数单调性即可求解；（2）将问题转换成方程有2个实数解，通过研究函数的单调性进而可求解.（1）当时，则，于是，令，即，解得当时，，则在单调递减，当时，，则在单调递增，故有极小值为，无极大值（2）当，有2个零点，即方程有2个实数解，设，，令，得当时，，则在单调递减，且时，当时，，则在单调递增，且时，，的最小值为，所以要使函数有2个零点，则需，故的取值范围为.17.在综艺答题闯关节目中，每轮比赛，两位参赛选手各答一道题目，计分规则：一人答对、一人答错时，答对者得2分，答错者得0分；两人都答对，每人各得1分；两人都答错，则两人均得0分.已知甲，乙两人实力相当，每轮答题正确率都为，且两人答题相互独立，每轮比赛也相互独立，比赛共进行3轮.（1）设表示在3轮比赛中，甲得2分的轮数，求的分布列和数学期望；（2）若比赛结束后，累计得分高者获胜晋级，求甲最终获胜晋级的概率是多少？答案：（1）0123（2）解析：思路：（1）确定每轮比赛“甲得2分”的概率，再结合二项分布即可求解；（2）分①甲3轮都得2分，②甲有2轮得2分，另1轮乙得2分或分差为0，③甲有1轮得2分，另外2轮分差为0，三种情况讨论求解即可.（1）每轮比赛“甲得2分”的概率为因为每轮比赛相互独立，故服从二项分布，，，，故的分布列为0123的数学期望为，或；（2）每轮比赛甲得2分的概率为，乙得2分的概率为，两人均得1分或均得0分，即两人分差为0的概率为.甲最终获胜可分为以下三种情况：①甲3轮都得2分，其概率为；②甲有2轮得2分，另1轮乙得2分或分差为0，其概率为；③甲有1轮得2分，另外2轮分差为0，其概率为.综上，甲最终获胜的概率为18.重庆某大型电动摩托车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入，该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：，，，且的方差为2，的方差为8.06，现有①和②两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中均为常数.（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为9（百万元）时，产品的年销售量是多少？（3）该公司生产的电动摩托车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动摩托车的年净利润除受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）.附：①