四川省雅安市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量检测数学试题 含答案解析

数学满分150分，答题时间120分钟一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知平面向量，若，则（）A. B. C.1 D.2.已知i为虚数单位，则（）A. B.1 C. D.i3.若为钝角，，则（）A. B. C. D.4.已知某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度6.已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若，，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则7.如图，已知，设，则（）A. B. C. D.8.如图，是圆形公园边界上的四个点，四边形区域为草坪，测得，．现要扩大草坪面积，但区域内的草坪固定不动，设计者拟在弧上重新选一点，将原来的区域改为区域，那么重新种植后，草坪总面积（四边形的面积）的最大值是（）A. B. C. D.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量为单位向量，，则下列说法正确的是（）A.与的夹角为 B.C.向量与向量垂直 D.若与共线，则10.如图，在正四棱柱中，为线段上一动点，则下列说法正确的是（）A.直线与直线无交点B.直线不可能与直线垂直C.三棱锥的外接球的体积为D.点到平面的距离为11.在锐角中，，则（）A. B.C. D.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上．12.______．13.已知在中，分别是角的对边，，则满足条件的的个数为______．14.用一根长为18cm的铁丝围成正三角形框架，其顶点为，将一个球放置在这个框架上（如图），若是球面上一点，且三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为______．四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数满足：．（1）求的虚部；（2）记在复平面上对应的点分别为，求与夹角的余弦值．16.如图，在棱长为4的正方体中，为的中点．（1）求证：平面；（2）过三点作正方体的截面，求该截面的面积．17.已知函数满足下列两个条件：①函数的最大值为2；②函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间；（3）求方程在区间上所有解的和．18.在中，角所对的边分别为，已知．（1）判断的形状；（2）若边上的两条中线相交于点，求；（3）若在边上，在边上，且，设，求的最大值．19.如图，在四棱锥中，为等边三角形，为边中点，连接，平面平面．（1）求证：平面；（2）若．（ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；（ⅱ）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

数学满分150分，答题时间120分钟一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知平面向量，若，则（）A. B. C.1 D.答案：D解析：思路：利用平面向量共线的坐标充要条件列方程求解参数.解答过程：由题意得

，整理得，解得.2.已知i为虚数单位，则（）A. B.1 C. D.i答案：A解析：思路：应用复数的乘方计算求解.解答过程：.故选：A.3.若为钝角，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题设，则.4.已知某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据圆锥轴截面为等边三角形的特征求出底面半径和母线长，再代入侧面积公式计算即可.解答过程：由题意，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形：圆锥底面圆的直径与轴截面的底边等长，因此底面半径，底面圆周长；圆锥的母线长与轴截面的边长等长，即.圆锥的侧面展开图为扇形，扇形面积公式为，代入数值计算得侧面积.5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度答案：C解析：解答过程：因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.6.已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若，，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：C解析：思路：根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可.解答过程：若，，，则或m，l异面，故A错误；若，，则或，故B错误；若，，则，故C正确；若，，则或，故D错误．故选：C．7.如图，已知，设，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用向量减法的三角形法则将已知等式中的向量转化为以点为起点的向量，进而解出.解答过程：由题意可知，，.因为，所以，即，整理得，所以.又因为，，所以.8.如图，是圆形公园边界上的四个点，四边形区域为草坪，测得，．现要扩大草坪面积，但区域内的草坪固定不动，设计者拟在弧上重新选一点，将原来的区域改为区域，那么重新种植后，草坪总面积（四边形的面积）的最大值是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意计算的值，然后利用余弦定理得到等量关系，利用基本不等式计算四边形的面积的最大值即可.解答过程：设，，则.设四边形的面积为.根据余弦定理，.故,化简得，,所以.于是重新选一点后,.又因为根据余弦定理,即所以,当且仅当时取等号.所以.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量为单位向量，，则下列说法正确的是（）A.与的夹角为 B.C.向量与向量垂直 D.若与共线，则答案：ABD解析：思路：根据条件得，对于A，利用向量的夹角公式计算可得；对于B，利用向量数量积的运算律即可求；对于C，通过判断是否成立即得；对于D，利用向量共线定理得即得解.解答过程：因为，由，可得，解得，对于A，，又，则，A正确；对于B，因为，则，B正确；对于C，由，即向量与向量不垂直，C错误；对于D，因向量与向量共线，为不共线的向量，则有，解得，D正确.10.如图，在正四棱柱中，为线段上一动点，则下列说法正确的是（）A.直线与直线无交点B.直线不可能与直线垂直C.三棱锥的外接球的体积为D.点到平面的距离为答案：AD解析：思路：选项A，与所在平面平行，两直线无交点；选项B，取与点重合时的特殊位置证两直线垂直；选项C，三棱锥的外接球即为正四棱柱的外接球，直接求半径后得体积；选项D，利用等体积法求距离.解答过程：选项A，在正四棱柱中，平面，因为平面，平面，所以不在同一平面且不平行，是异面直线，因此无交点，A正确；选项B，当与点重合时，在正四棱柱中，因为底面是正方形，所以，平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，此时，B错误；选项C，三棱锥的外接球即为正四棱柱的外接球，则外接球半径，则外接球体积为，C错误；选项D，由题，，因为，所以为等腰三角形，则中边上的高，设点到平面的距离为，因为，所以，D正确.11.在锐角中，，则（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：根据给定条件，利用同角公式、和差角的正余弦公式求解判断ABC；利用数量积的定义及正弦定理求解.解答过程：因为是锐角三角形，所以，则，因此.由，得，A错误.由

两式相加得：2sin⁡A两式相减得：2cos两式作商得：tanAtanB=2⟹tan，且为锐角，因此.由余弦和角公式：，B正确；设角对边为，则，.向量点积：.由正弦定理，得，代入得：

,

D正确.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上．12.______．答案：解析：思路：将所求式子中的角变形为，然后利用诱导公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．解答过程：．故答案为方法提示：此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．13.已知在中，分别是角的对边，，则满足条件的的个数为______．答案：2解析：思路：根据三角形的类型及正弦定理比较的大小关系，即可得三角形的个数.解答过程：由，满足，则的个数为.14.用一根长为18cm的铁丝围成正三角形框架，其顶点为，将一个球放置在这个框架上（如图），若是球面上一点，且三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为______．答案：解析：思路：根据题意，求得正边长和面积，以及内切圆的半径为，设球的半径为，求得球心到平面的距离为，结合三棱锥体积的最大值，列出方程，求得，进而求得球的表面积，得到答案.解答过程：由题意，正的周长为，可得其边长为，可得，设正的内切圆的半径为，可得，设球的半径为，则球心到平面的距离为，要使得三棱锥体积的最大，则点到平面的距离最大，设三棱锥的高为，可得，所以三棱锥的体积的最大值为，即，可得，解得，所以球的表面积为.四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数满足：．（1）求的虚部；（2）记在复平面上对应的点分别为，求与夹角的余弦值．答案：（1）（2）解析：（1）由，得，因此的虚部为；（2）由（1）知，所以，所以，故.16.如图，在棱长为4的正方体中，为的中点．（1）求证：平面；（2）过三点作正方体的截面，求该截面的面积．答案：（1）证明：连接交于点，连接，在正方形中，对角线与互相平分，所以为的中点，在中，因为为的中点，所以，又因为平面，且平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）连接交于点，证得，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）取的中点，证得，得到过三点作正方体的截面为梯形，进而求得截面的面积.（1）略（2）取的中点，连接，因为分别是的中点，可得，在正方体中，可得，所以，所以过三点作正方体的截面为梯形，因为正方体的棱长为4，可得，过点作，可得，所以该截面的面积为.17.已知函数满足下列两个条件：①函数的最大值为2；②函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间；（3）求方程在区间上所有解的和．答案：（1）（2）,（3）解析：（1）由条件①得.由条件②知，则，，故.（2）令()，解得，所以单调递增区间为().

（3），即，，则或()，解得或，，在内解为，，，，其和为.18.在中，角所对的边分别为，已知．（1）判断的形状；（2）若边上的两条中线相交于点，求；（3）若在边上，在边上，且，设，求的最大值．答案：（1）①当时，是等腰三角形；②当时，是直角三角形.（2）（3）解析：思路：（1）由正弦定理实现边角互化，通过的两种情况，精准判断三角形形状；（2）先排除等腰情况，利用直角三角形性质、重心分中线比例，再用余弦定理求夹角；（3）借助正弦定理将边比转化为角的关系，利用的最大值快速锁定的最大值.（1）由正弦定理得．即，又，，，所以或，①当时，是等腰三角形；②当时，是直角三角形.因此是等腰三角形或直角三角形.（2）若，则，，不满足三角形三边关系，舍去；若，则，，因为点是边上的两条中线的交点，所以为此的重心，且根据重心性质可得，则.（3）若为等腰三角形，且，在中，由正弦定理得，其中，故，结合得，，整理得，故，由辅助角公式可得，其中，故，解得，若为直角三角形，即，​在中，，即，因此.19.如图，在四棱锥中，为等边三角形，为边中点，连接，平面平面．（1）求证：平面；（2）若．（ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；（ⅱ）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．答案：（1）因为为等边三角形，为边中点，