四川省资阳市2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试题 含答案解析

数学本试卷共19题，共150分，共4页．考试用时120分钟．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A.4 B.6 C.8 D.92.在的展开式中，各项系数的和等于（）A.16 B.32 C.36 D.643.设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（）A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.84.将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（）A. B.3 C. D.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.6.某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）关于时间（单位：s）的函数关系式为，该弹簧振子在时的瞬时速度为（）A. B.C. D.7.某年级半期考试的数学成绩，若规定大于或等于90分为A等，则在参加考试的学生中随机抽取一名，他的成绩为A等的概率为（）参考数据：若，则，A.0.3173 B.0.15865C.0.0455 D.0.022758.已知张奖券中只有张有奖，现有人依次不放回地各随机抽取张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件“第个人抽取并中奖”，则（）A.事件与独立 B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.随机变量的分布列为234若，则（）A. B. C. D.10.已知数列是首项和公比均为的等比数列，记数列的前项和为，则（）A. B.存在，且，使得C. D.取得最大值时的值为411.已知，，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.记等差数列的前项和为，已知，，则_______.13.由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的所有正整数的个数为___________．14.已知函数若函数有3个相异零点，则实数的取值范围是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的取值范围．16.记为等比数列的前项和．已知．（1）求的通项公式；（2）判断，，是否成等差数列？请说明理由．17.如图，一个质点在随机外力作用下，从原点0出发，每次向左或向右移动一个单位，且向左移动的概率为，向右移动的概率为．（1）求质点移动2次后，位于-2对应的位置的概率；（2）求质点移动4次后，质点所在位置对应的数字为随机变量，求的分布列和数学期望．18.已知数列的首项，且满足．（1）证明：数列是等比数列；（2）记数列的前项和为，（i）求；（ii）若不等式对任意正整数都成立，求的取值范围．19.已知函数，其中．（1）当时，求的单调区间；（2）若，求的值；（3）设，证明：．

数学本试卷共19题，共150分，共4页．考试用时120分钟．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A.4 B.6 C.8 D.9答案：B解析：解答过程：.2.在的展开式中，各项系数的和等于（）A.16 B.32 C.36 D.64答案：A解析：解答过程：令，则，因此在的展开式中，各项系数的和等于16.3.设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（）A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8答案：C解析：思路：根据两点分布概率性质可得解.解答过程：随机变量服从两点分布，，根据两点分布概率性质可知：，解得，故选：C.方法提示：本题考查了两点分布概率性质的简单应用，属于基础题.4.将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（）A. B.3 C. D.答案：C解析：思路：应用分步计数法求不同的投法种数.解答过程：第一封信的投法有3种，第二封信的投法有3种，∴根据分步计数原理可知一共有（种）投法.故选：C.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据函数的奇偶性以及对数函数的值域求解即可.解答过程：的定义域为.因为，所以函数关于原点对称，排除选项AC.当时，，，因此，故排除D，选B.6.某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）关于时间（单位：s）的函数关系式为，该弹簧振子在时的瞬时速度为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据导数的运算法则，求得，得到弹簧振子在时的瞬时速度，得到答案.解答过程：由，可得，则，所以该弹簧振子在时的瞬时速度为.7.某年级半期考试的数学成绩，若规定大于或等于90分为A等，则在参加考试的学生中随机抽取一名，他的成绩为A等的概率为（）参考数据：若，则，A.0.3173 B.0.15865C.0.0455 D.0.02275答案：B解析：解答过程：由题意知，根据对称性得他的成绩为A等的概率为：8.已知张奖券中只有张有奖，现有人依次不放回地各随机抽取张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件“第个人抽取并中奖”，则（）A.事件与独立 B.C. D.答案：C解析：思路：利用事件的独立性、全概率公式和条件概率公式求解即可.解答过程：选项A：判断事件与是否独立，需验证：由抽签原理，任意第个人中奖概率，因此，计算（前两人都中奖）：，不满足独立定义，A错误；选项B：由全概率公式计算：，B选项错误；选项C：由上述计算，，C选项正确，选项D：由条件概率公式：：，，因此：，D选项错误.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.随机变量的分布列为234若，则（）A. B. C. D.答案：AD解析：思路：由分布列的性质列方程可求出，再由方差的公式可求出.解答过程：由题可知，解得，则.故选：AD.10.已知数列是首项和公比均为的等比数列，记数列的前项和为，则（）A. B.存在，且，使得C. D.取得最大值时的值为4答案：ABC解析：思路：A利用等比数列的通项公式求解；B举反例；D根据增减性判断；C利用数学归纳法求证.解答过程：由题意得，，则，故A正确；因为，所以B正确；因为，所以，若，则，则，则，故取得最大值时的值为3，故D错误；因为，，，，均满足；假设当时成立，即，则当时，综上，成立，故C正确.11.已知，，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.答案：BCD解析：思路：根据给定条件，构造函数，求导探讨单调性，利用函数单调性逐项比较判断作答.解答过程：令函数，求导得，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，，当且仅当时取等号，因此当且时，恒有，则，A错误；显然有，则，即有，B正确；，C正确；，D正确.故选：BCD方法提示：思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.记等差数列的前项和为，已知，，则_______.答案：10解析：思路：直接根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组求出首项和公差，再用求和公式直接求即可.解答过程：设等差数列的公差为，则由已知得，解得，故答案为：10.13.由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的所有正整数的个数为___________．答案：48解析：思路：根据优先法，先确定万位有2种选法，再根据排列的概念，可得到后4位共有种排法，根据分步相乘计数原理，即可求解.解答过程：由题意，组成没有重复数字且比30000大的正整数，所以万位只能在3，4中二选一，共有2种选法，其余4个数，分别排在千位、百位、十位和个位，共有种排法，所以由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的所有正整数的个数为.14.已知函数若函数有3个相异零点，则实数的取值范围是___________．答案：解析：思路：利用导数得到函数单调性，画出函数图象，数形结合得到答案解答过程：当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，又当时，，所以当时，，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，当，，大致图像如下：若函数有3个相异零点，即有3个相异的根，所以实数的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解；（2）由（1）知，求得函数的单调性，求得函数的极值和端点的函数值，进而得到的取值范围．（1）解：由函数，可得．则，即切点坐标为，切线斜率为，故曲线在点处的切线方程为，即.（2）解：由（1）知：，令，可得．当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，当时，取极大值，极大值为；当时，取极小值，极小值为．又因为且，所以当时，的取值范围是．16.记为等比数列的前项和．已知．（1）求的通项公式；（2）判断，，是否成等差数列？请说明理由．答案：（1）（2），，成等差数列；由（1），可得．由于，所以，成等差数列．解析：思路：（1）利用等比数列通项公式构造方程组，解方程组求出，进而求出通项公式；（2）求出，由推出成等差数列．（1）设等比数列的公比为，由题意，得，解得，所以，．（2），，成等差数列；由（1），可得，由于，所以，成等差数列．17.如图，一个质点在随机外力作用下，从原点0出发，每次向左或向右移动一个单位，且向左移动的概率为，向右移动的概率为．（1）求质点移动2次后，位于-2对应的位置的概率；（2）求质点移动4次后，质点所在位置对应的数字为随机变量，求的分布列和数学期望．答案：（1）（2）分布列为：024数学期望．解析：思路：（1）利用独立事件的乘法公式；（2）结合二项分布的思想列分布列，利用期望公式计算即可.（1）欲使质点移动2次后，位于对应的位置，只需质点连续两次向左运动，故质点移动2次后，位于对应的位置的概率为．（2）质点移动4次后，所在位置对应的数字为．则；故分布列为：024所以数学期望．18.已知数列的首项，且满足．（1）证明：数列是等比数列；（2）记数列的前项和为，（i）求；（ii）若不等式对任意正整数都成立，求的取值范围．答案：（1）由，得，则，即，又，所以，是首项和公比均为的等比数列（2）（i）；（ii）．解析：思路：（1）只要证为常数即可；（2）由（i）知，分组求和即可；（ii）由，得，所以．设，利用作差法，判断出数列的单调性，即可求解.（1）略（2）（i）由（1）得，则．则令，相减可得，整理得，故．（ii）由，得，所以．设，则．当时，；当时，；当时，，可得；故当或4时，有最大值为，所以．19.已知函数，其中．（1）当时，求的单调区间；（2）若，求的值；（3）设，证明：．答案：（1）的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）（3）由（2）知，，故当时，．下面利用和进行证明．可得，即当时，．解析：思路：（1）求导后解不等式，由导数正负直接判断函数单调区间；（2）分离参数并构造函数，利用导数研究最值，结合恒成立条件确