文海大联考2026届G20高三上册起点考试数学试题 含答案解析

数学满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知一组数据为：，则这组数据（）A.中位数为 B.众数为C.百分位数为 D.平均数为2.已知复数（是虚数单位），则（）A. B.C. D.3.已知集合，，则（）A. B. C. D.4.不等式的解集为（）A.或 B. C. D.5.在△ABC中，a＝2，b＝5，c＝6，则cosB等于（）A. B. C. D.6.设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（）A.3 B.4 C.5 D.67.在等差数列中，若，则此数列前30项和等于（）A.810 B.840 C.870 D.9008.已知，则（）A. B. C. D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设公比为的等比数列，若则（）A. B.当时，C.和的等比中项为4 D.10.已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（）A.曲线在点处的切线方程为B.的极大值为C.函数的极小值点为D.不等式的解集为11.已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为，一条渐近线为，则下列结论正确的是（）A.当时，的离心率为B.当时，直线与仅有一个公共点C.到的距离为1D.若在上的射影为则经过三点的圆的方程为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，在方向上的投影为3，则________．13.已知，则________.14.已知棱长为1的正方体，在其内部放入两个相外切的球和球（可与正方体表面相切），半径分别为，则的最大值为______．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证阴过程或演算步骤.15.已知函数的最小正周期为．（1）求的值，并求的单调递减区间；（2）求在上的值域．16.设椭圆经过点，其离心率.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于、两点，求的面积.17.如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）若，，．求二面角的大小．18.已知函数，为自然对数的底数.（1）试判断函数的零点个数并说明理由；（2）证明：.19.甲同学与乙同学进行如下游戏：在个白色小方格中，甲同学将从上往下数的第i行，从左往右数的第j列涂黑，而乙同学从除黑色方格以外的任意一格出发，只能往前、后、左、右四个方向移动，且不能经过黑色方格.若乙可以不重复的一次性经过所有白色方格，则乙获胜，否则甲获胜，记甲涂黑的方格为.（1）若，甲同学随机涂黑一个方格，求甲获胜的概率.（2）若甲将涂黑，求证：当m为奇数时，甲一定获胜.（3）若m为奇数，乙从出发，甲将涂黑，其中i，j不同时为1，求证：甲获胜的概率.

数学满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知一组数据为：，则这组数据（）A.中位数为 B.众数为C.百分位数为 D.平均数为答案：C解析：思路：根据中位数、众数、百分位数和平均数的定义和求法依次判断各个选项即可.解答过程：将数据按从小到大顺序排列为：，共个数；对于A，，中位数为第个数和第个数的平均数，即，A错误；对于B，出现次数最多的数为和，众数为和，B错误；对于C，，百分位数为第和第个数的平均数，即，C正确；对于D，平均数为，D错误.故选：C.2.已知复数（是虚数单位），则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由条件得到，然后用共轭复数的定义即可.解答过程：由已知有，故.故选：A.3.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先求出集合，再根据交集的定义即可得解.解答过程：，所以.故选：A.4.不等式的解集为（）A.或 B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意结合绝对值性质可得，再结合分式不等式运算求解.解答过程：因为，即，可得，等价于，解得，所以不等式的解集为．故选：D．5.在△ABC中，a＝2，b＝5，c＝6，则cosB等于（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：.

故选：A.6.设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：C解析：思路：由抛物线，求出焦点，再结合题意求出直线的方程为：，在求出点及点，从而可求解.解答过程：由抛物线，则焦点，准线：，又因为直线的斜率为，则直线的方程为：，因，所以可得点，又，所以，即得点，则.故选：C.7.在等差数列中，若，则此数列前30项和等于（）A.810 B.840 C.870 D.900答案：B解析：思路：利用等差数列的性质可求数列前30项和.解答过程：设此数列前30项和为，则，故选：B.8.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意，利用两角和与差的正弦公式可求得，再利用二倍角公式即可求得.解答过程：因为，则，即，所以，则.故选：B.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设公比为的等比数列，若则（）A. B.当时，C.和的等比中项为4 D.答案：ABD解析：思路：对于ABC根据等比数列的性质及通项公式求解判断即可，对于D结合基本不等式即可判断.解答过程：由题意，，即，故A正确；当时，，所以，故B正确；因为，所以和的等比中项为4或，故C错误；由，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：ABD.10.已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（）A.曲线在点处的切线方程为B.的极大值为C.函数的极小值点为D.不等式的解集为答案：BCD解析：思路：先求出当，的解析式，再根据导数的几何意义判断A；根据极大值的定义判断B；根据极小值点的定义判断C；把不等式是等价转化为或求解可判断D.解答过程：当时，，所以，则，又，所以A错误；当时，当时．，所以的极大值为，又为奇函数，所以当时，有极小值，无极大,值，所以B正确；，当或时，当时，，所以的极小值点为，所以C正确；根据，或；或，等价于或，则，所以D正确．故选：BCD11.已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为，一条渐近线为，则下列结论正确的是（）A.当时，的离心率为B.当时，直线与仅有一个公共点C.到的距离为1D.若在上的射影为则经过三点的圆的方程为答案：ABC解析：思路：对A，直接求出离心率即可得出；对B，可得与渐近线平行，即可判断；对C，利用点到直线距离公式可求；对D，可求得圆的方程为.解答过程：当时，双曲线为所以所以则正确；当时，其渐近线为直线与渐近线平行，且过顶点(1，0)与双曲线仅有一个公共点，则B正确；因为到渐近线的距离为则C正确；设为坐标原点，得结合得则从而所以经过点的圆的方程为（只有当时，方程才是)，则D错误.故选：ABC.方法提示：本题考查双曲线的性质，解题的关键是正确理解双曲线的有关性质，能利用性质进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，在方向上的投影为3，则________．答案：10解析：思路：由投影公式求出数量积，从而求解出结果．解答过程：在方向上的投影为3，所以，则所以故答案为：1013.已知，则________.答案：2解析：思路：求出函数的导数，进而求出导数值.解答过程：由，求导得，所以.故答案为：214.已知棱长为1的正方体，在其内部放入两个相外切的球和球（可与正方体表面相切），半径分别为，则的最大值为______．答案：解析：思路：要想最大，则两球都分别与正方体体对角线顶点相邻的三个面都相切求解.解答过程：当球和球相切，此时两球球心均在体对角线上，且球与平面，平面，平面相切，球与平面，平面，平面相切，此时取得最大值，其中，，，，故，解得，故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证阴过程或演算步骤.15.已知函数的最小正周期为．（1）求的值，并求的单调递减区间；（2）求在上的值域．答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据余弦型函数周期公式及余弦型函数单调性求解即可；（2）根据自变量范围，利用整体替换思想结合余弦函数性质求解.（1）由题意可知．所以即所以所以所以的单调减区间为（2）因为，所以，所以，所以，所以函数在上的值域为.16.设椭圆经过点，其离心率.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于、两点，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据椭圆上一点的坐标以及离心率列出方程组，解方程可得结果；（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，根据点到直线的距离公式求出三角形的高，进而求出三角形面积.（1）因为椭圆经过点，其离心率，所以，解得，，所以椭圆的方程为.（2）由得，，，设，则，所以.因为点到的距离为，所以.17.如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）若，，．求二面角的大小．答案：（1）证明：如图，取中点，连接，，在中，，分别为，的中点，所以且，在菱形中，因为且，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，且平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）添加适当辅助线，证明出四边形为平行四边形，再通过线线平行证明线面平行；（2）由线面垂直得出线线垂直，再证明为正三角形，得出，建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，再利用公式求解，即可求出二面角．（1）略（2）解：因为平面，，，平面，所以，，．连接，因为，，且，（或者证所以，在菱形中，，即为正三角形，又因为为中点，所以，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为且．又因为为正三角形且，所以，则，，，则，，由平面，可得平面的法向量为，设平面的法向量为，则，取，可得，，所以，所以，所以二面角的大小为．18.已知函数，为自然对数的底数.（1）试判断函数的零点个数并说明理由；（2）证明：.答案：（1）两个，理由见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）求出函数导函数，讨论其单调性后结合零点存在性定理可判断函数零点个数；（2）方法一，令，则等价于，令，利用函数的导数，通过函数的最值判断证明即可；方法二：令，则等价于，令，利用函数的导数，通过函数的最值判断证明即可.（1）的定义域为，当时，恒有，故在内没有零点.当时，由得，令得，令得，所以在上单调递减，在上单调递增.又，故存在，，使得，，所以在两个零点.综上，函数有两个零点.（2）方法一：令，则时，，且.于是等价于，令，可得，令，可得，当时，，函数是增函数，当时，，函数是减函数，所以时，函数取得最大值：，所以，即.方法二：令，则，于是等价于，即，令，则有.令，即，解得；令，即，解得，所以在单调递减，上单调递增，所以，即.所以，即.19.甲同学与乙同学进行如下游戏：在个白色小方格中，甲同学将从上往下数的第i行，从左往右数的第j列涂黑，而乙同学从除黑色方格以外的任意一格出发，只能往前、后、左、右四个方向移动，且不能经过黑色方格.若乙可以不重复的一次性经过所有白色方格，则乙获胜，否则甲获胜，记甲涂黑的方格为.（1）若，甲同学随机涂黑一个方格，求甲获胜的概率.（2）若甲将涂黑，求证：当m为奇数时，甲一定获胜.（3）若m为奇数，乙从出发，甲将涂黑，其中i，j不同时为1，求证：甲获胜的概率.答案：（1）（2）我们为格子标号：1黑格12121212121212121212121乙不妨从1出发，则乙的路线必定是1→2→1→2…，若乙要获胜，则标号为1的格子数与标号为2的格子数之差的绝对值不大于1，若最后是2，则说明1的数量和2的数量相同，若最后是1，则说明1比2多一个，由于m为奇数，则第1,3，5，7…m列，1的数量比2的数量多1个，这样的列数一共有个，也就是1比2的数量多，同理，第2，4，6，…列，2的数量比1的数量多一个（不考虑黑格），这样的列一共有列，因此1的数量比2的数量多个，但实际情况是第二列中1的数量和2的数量一样多，因此1的数量比2的数量多两个，这说明乙无法不重复地一次性经过所有白色方格，因此当m为奇数时，甲一定获胜.（3）受到（2）的启发，我们仍然为格子标号：1212121212121212121212121乙的路线仍然是1→2→1→2→…,乙获胜只需要使1和2一样多，或1比2多一个，我们考虑1比2多两个的情况：若不考虑涂黑的格子，由（2）可知：1比2的数量多1个当且仅当涂黑2时，1比2的数量多两个，此时甲一定获胜，第1，3，5…m列每列个2，第2，4，6…列每列有个2，因此一共有个2，又因为甲可以涂黑除了共个方格，因此甲获胜的概率.解析：思路：（1）不难看出只有当甲不涂黑方格的四个角和中心处，甲一定获胜，